Вот вам для разминки мозгов.

← →
Rouse_ © (2006-12-28 21:14) [0]

Равны ли два числа: единица и 0.99999 и т.д. (короче кол-во девяток достигает бесконечности)?

← →
palva © (2006-12-28 21:15) [1]

Равны

← →
default © (2006-12-28 21:18) [2]

это вопрос определений мозги тут не причём:)
определено так что равны

← →
Nic © (2006-12-28 21:18) [3]

Не равны

← →
TUser © (2006-12-28 21:19) [4]

Курант считает, что равны.

← →
Nic © (2006-12-28 21:20) [5]

1 = 0,(9) + 0, ... 1,
где ... = 000000000000000000000000.. кол-во нулей стремится к бесконечности.

← →
Думкин © (2006-12-28 21:22) [6]

Смотря что почем считать и как при ком договориться.

← →
default © (2006-12-28 21:22) [7]

можно задать вопрос типа если они не равны, то назовите хотя бы конечное число на которое различаются подобные числа
и фиг - не получится назвать
предельная логика тут:)

← →
Ученик чародея © (2006-12-28 21:23) [8]

Они различаются e(дельта эпсилон), которое в своб очередь стремится к нулю. Вышку учить нужно первый семестр - пределы.

← →
default © (2006-12-28 21:23) [9]

можно задать вопрос типа если они не равны, то назовите хотя бы минимальное конечное число на которое различаются подобные числа
и фиг - не получится назвать
предельная логика тут:)

← →
Nic © (2006-12-28 21:24) [10]

Nic © (28.12.06 21:20) [5] Не верно?

Если не округлят и считать абсолютно точно, то не равны.
Если округлять или считать маленькую неточность несущественной, то равны :) ИМХО.

← →
Nic © (2006-12-28 21:25) [11]

default © (28.12.06 21:23) [9]
0, 000000000000000000....(нулей бесконечно много)...000...1

← →
default © (2006-12-28 21:27) [12]

Nic © (28.12.06 21:25) [11]
под конечным я имел ввиду представляемое конечным числом разрядов

← →
Nic © (2006-12-28 21:28) [13]

> default © (28.12.06 21:27) [12]

А какое это имеет значение?
Тогда и 0,(9) нельзя предаставить в виде числа с конечным числом разрядов.

← →
Nic © (2006-12-28 21:30) [14]

Получается, что разница стремится нулю, но не равна ему..

← →
default © (2006-12-28 21:30) [15]

Nic © (28.12.06 21:28) [13]
ты не понял
вот например, есть два числа 0,56334545454...
0, 5633553535353...
для них я легко назову непериодическую дробь на которую они как минимум отличаются
например, в данном случае, можно назвать одну стотысячную

← →
Gero © (2006-12-28 21:31) [16]

Предлагаю определить методом закрытого голосования.

← →
default © (2006-12-28 21:32) [17]

нет, всё наоборот:) я вообщем про епсилон говорил:) точность:)
ну сути дела это не меняет

← →
Nic © (2006-12-28 21:33) [18]

> default © (28.12.06 21:30) [15]

И всё же, если мы не можем назвать число Nic © (28.12.06 21:30) [14], то им можно пренебречь?

← →
vrem (2006-12-28 21:34) [19]

типа равны, если одно превращается в другое, т.к. различие это ближайшая половина, если считать по определению движения.
Но если они сами по себе, не превращаются друг в друга,
то что получается - такие числа не могут быть близко и быть независимыми? по определению движения? :)

← →
TUser © (2006-12-28 21:35) [20]

Вопрос на самом деле не формальный. Что такое 0,(9)? Это есть точка в континууме действителньых чисел, определяемая пределом 9/10, 99/100, 999/1000, .... Спрашивается, совпадает ли эта точка с точкой 1?

Определение. An=(10^n-1)/10^n.
Теорема. lim (An) (n->inf) = 1. Док-во. lim (An) (n->inf) = lim ((10^n-1)/10^n) = lim (1-1/10^n) = lim (1) + lim (1/10^n) = 1 + 0 = 1. xnl

Следовательно единица и рассматриваемая точка совпадают. Значит это одно и тоже.

← →
default © (2006-12-28 21:35) [21]

Nic © (28.12.06 21:33) [18]
короче наука в данном вопросе следует логике предела и поэтому принимают равенство

← →
TUser © (2006-12-28 21:37) [22]

> default © (28.12.06 21:23) [9]
> 0, 000000000000000000....(нулей бесконечно много)...000.
> ..1

Если нулей бесконечно много, то это число есть предел последовательности, а предел этот равен нулю, а если два числа различаются на ноль, то они равны.

← →
Думкин © (2006-12-28 21:43) [23]

1. Если брать обычное и топологии и метрики и т.п то равны. Ибо у нас если два объекта различны, то расстояние между ними строго больше 0. Это от метрики скачем если. Если топологически, то от Хаусдорфа - отделимость. Если точки различны, то у каждой есть 2 открытых непересекающихся множества содержащие эти точки. Все что у нас в обычном - этому удовлетворяет. Для указанных записей для действительных чисел вводимых хоть Дедекиндом - нет ни окрестностей, ни вводя метрику согласованно, расстояния больше 0.
2. Но нас кто-то связал? Если число рассматривать как десятичную запись, то очень даже просто рассматривать эти два числа(?), как совершенно различные. Это конечно уже не обычные действительные числа - ну и что?

← →
Zeqfreed © (2006-12-28 21:44) [24]

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

← →
default © (2006-12-28 21:45) [25]

можно вспомнить про соответствие точек континуума и действительных чисел

смотрим на 0,9999999.
делим едининичный интервал на 10 частей и переходим в 10 кусок - там точка
потом делим этот десятый интервал на 10 частей и переходим в десятый его кусочек - там сидит точка
и тд
поскольку мы горим желанием установить соответсвие между точками континуума и действительными числами(причём очень желательно - взаимнооднозначное, кстати взаимная однозначость падаем из-за различимости подобных чисел...но разумного выхода не видно...), то какую же точку как не 1 будет представлять дробь 0,9999...?

← →
Думкин © (2006-12-28 21:47) [26]

> TUser © (28.12.06 21:37) [22]

Ты сразу вводишь топологию, причем с сильными условиями. А если расматривать без топологии?

← →
TUser © (2006-12-28 21:52) [27]

> Думкин © (28.12.06 21:47) [26]

Я не настолько крут. Просто сказал, как я это понимаю. А про топологию - я даже не понял, о чем вы. Завтра умных людей спрошу.

← →
vrem (2006-12-28 21:55) [28]

Короче - если точки совпадают, то движения быть не может,
по определению движения, а движение есть - значит точки не совпадают.

← →
Mickey74 © (2006-12-28 21:58) [29]

В МНР Тьюринга НЕ РАВНЫ! В обычном ПК размер мантисы накладывает ограничение на неравенство, поэтому РАВНО!

← →
Ученик чародея © (2006-12-28 21:59) [30]

Если они равны, то в теории относительности содержится бред, так как при этом тело может достичь скорости света на конечных величинах энергии.

А если еще ввести квантование метрики пространства-времени...

← →
Думкин © (2006-12-28 22:03) [31]

> TUser © (28.12.06 21:52) [27]

Топология - это всего лишь показать на множестве с точками(пространстве), какие его подмножества - являются открытыми или замкнутыми. При этом 2 свойства у них.

Этого мало. И их сужают.

Хаусдорфовым пространством называется топологическое пространство, обладающее свойством, что для любой пары точек существуют непересекающиеся окрестности. Окрестность - открытое множество содержащее точку.

Дело в том, что обычно и рассматривают Хаусдорфовы пространства. ТО пространства действительных чисел, которым мы пользуемся - Хаусдорфово. И в нем двум указанным записям соответствует одна точка. А если бы две - то оно бы было не Хаусдорфово. А это - мозги вывихнуть легче.

Но вовсе не обязательно рассматривать эти записи как действительные числа и все становится пучком - ведь они же различаются записью? Пусть тогда и будут различны, как некие записные числа. Как строки.

← →
Думкин © (2006-12-28 22:04) [32]

> Ученик чародея © (28.12.06 21:59) [30]

На данный момент бред содержится только в твоих словах.

← →
TUser © (2006-12-28 22:20) [33]

> Ученик чародея © (28.12.06 21:59) [30]

Нет, последовательность достигает единицы в пределе, а при приближении к этому пределу энергия растет, и предел этиого роста - inf.

← →
Думкин © (2006-12-28 23:02) [34]

> TUser © (28.12.06 21:35) [20]
> Вопрос на самом деле не формальный. Что такое 0,(9)? Это
> есть точка в континууме действителньых чисел, определяемая
> пределом 9/10, 99/100, 999/1000, .... Спрашивается, совпадает
> ли эта точка с точкой 1?

Собственно тут все и сказано - ты работаешь в действительных числах. И даешь фактически определение действительного числа через рациональные. Поэтому тут и нельзя дернуться никуда - и 1 и 0,(9) - это одно и тоже действительное число.

По Дедкинду грубо(более строго - у Фихта в первом томе): Действительное число - это сечение. Сечение - это два множества рациональных чисел, причем каждое в одном больше чем каждое в другом. Два приведенных числа определяются одним и тем же сечением.

И наше мировозрение по числам так уж устроено, что если мы знаем, что 2 числа различны, значит в сильный микроскоп мы сможем их различить - увидеть, что между ними что-то есть. Это и есть Хаусдорфовость. Издалека они могут сливаться, но чем ближе тем яснее видно, что различны. При этом они сливаются с другими близкими им. Но мы знаем что и с теми они когда нибудь станут различимы - надо только взять микроскоп помощнее(уменьшить окрестности - ту самую дельту). Это наши мысли о действительных числах, которые мы формализуем потом. А про указанные числа мы так мыслить не в состоянии и вынуждены мыслить их как одно и тоже.

← →
Думкин © (2006-12-28 23:03) [35]

> Сечение - это два множества рациональных чисел, причем каждое
> в одном больше чем каждое в другом

и каждое рациональное лежит в одном из них.

← →
Kirr. (2006-12-28 23:04) [36]

> Zeqfreed © (28.12.06 21:44) [24]
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Тут парочка простых, классных доказательств:

I.
1/3 = 0.33333...
1/3 * 3 = 0.3333.... * 3
(1*3)/3 = 0.9999......
1 = 0.9999.....

II.
c=0.9999...
10c - c = 9.9999... - 0.9999...
9c = 9
c=1

← →
oO (2006-12-28 23:14) [37]

2 Думкин
Неужели здесь нашелся человек с высшим образованием не только в дипломе, но и в голове? Респект!! Читал - как бальзам на душу =)

← →
palva © (2006-12-28 23:15) [38]

> Тут парочка простых, классных доказательств:

А чем
1/3 = 0.33333...
очевиднее чем
1 = 0.9999.....

И вообще о каком доказательстве может идти речь, если даже не дано определение числа 0.9999.....

← →
Ученик чародея © (2006-12-29 00:09) [39]

> Думкин © (28.12.06 23:02) [34]

Все это относительно и в данной ситуации зависит от того, что вам нужно доказать другому. Так что действует принцип неопределенности или точнее принцип субъективной определенности значения.

← →
ferr © (2006-12-29 00:14) [40]

> Все это относительно и в данной ситуации зависит от того,
> что вам нужно доказать другому. Так что действует принцип
> неопределенности или точнее принцип субъективной определенности
> значения.

Ты сам-то понял что сказал? Я лично не понял, но явно ерунду.
По поводу таких словесных(только ли..) завихрений у Фейнмана была классная история..

← →
Ученик чародея © (2006-12-29 01:09) [41]

>
> ferr © (29.12.06 00:14) [40]
>
> Ты сам-то понял что сказал? Я лично не понял, но явно ерунду.
>
> По поводу таких словесных(только ли..) завихрений у Фейнмана
> была классная история..

Нечеткая логика, где происходит смысловой составляющей одного комплексного смыслового выражения? Да, в некторых случаях удобно к использованию в задачах не имеющих рационального решения в поставленных условиях - помогает для выделения и изменения условий в комплексе которых решения становится существующим.

Тоесть если разделить [0] на дискретную и непрерывную системы то решения существует, причем видно явно - в дискретной различие существует, только если минимальная разница между числами превышает или равна нижней границе битовой решетки(минимальному кванту). Так как битовая решетка не может быть бесконечной то эти числа равны. В непрерывной же числа всегда различны и не могут быть равны, так как всегда найдется епсилон0, которое и будет различать эти числа.

PS
Так как я IT-шник, то субъективно я определяют мир как дискретную систему и стало быть 0.(9) и 1 равны.

← →
_uw_ (2006-12-29 01:27) [42]

Вот четкая логика. Открываем школьный учебник и быстро находим формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

s = a1 / (1 - q).

В нашем случае a1 = 9 / 10, q - 1 / 10. Подставляем это в формулу из школьного учебника и получаем:

s = 9 / 10 * 1 / (1 - 1 / 10) = 1.

Итак, 0.9(9) = 1.

← →
_uw_ (2006-12-29 01:28) [43]

При этом третью строку читаем так:

В нашем случае a1 = 9 / 10, q = 1 / 10. Подставляем это в формулу из школьного учебника и получаем

Вот теперь - полная логика.

← →
kaif © (2006-12-29 01:49) [44]

равны

← →
_uw_ (2006-12-29 01:53) [45]

Еще бы! С учебником не поспоришь.

← →
Ученик чародея © (2006-12-29 02:01) [46]

> _uw_ (29.12.06 01:27) [42]
> _uw_ (29.12.06 01:28) [43]

А теперь запишите 0.(9) именно весь бесконечный период в память своего компьютера. Вот вам математика и реальность.

← →
kaif © (2006-12-29 02:06) [47]

2 Ученик чародея © (29.12.06 02:01) [46]
В памяти компьютера +0 и -0 могут отличаться.
Теперь будем считать это реальностью? :)

← →
AntiUser © (2006-12-29 02:07) [48]

Это как мы спорили с одним человеком. Он мне доказывал, что вероятность возникновения какого бы то ни было события, МОЖЕТ равняться нулю. Я утверждал обратное. Так и остались при своем мнении.

Ведь если вероятность возникновения события равна нулю, то возникновения, собственно, и не может быть. Так?

← →
kaif © (2006-12-29 02:23) [49]

AntiUser © (29.12.06 02:07) [48]
Ведь если вероятность возникновения события равна нулю, то возникновения, собственно, и не может быть. Так?

Почему?
Вероятность того что непрерывная случайная величина примет какое-либо точное значение всегда точно равна нулю. Тем не менее непрерывная случайная величина всегда принимает какое-то определенное значение.
И это не просто может быть, но так оно и есть.
Мы живем в мире чудес.
Просто этого никто не замечает.

Если в казино выпадут в рулетку подряд все номера:
1,2,3,4,5,6,7,8,...
народ скажет "такого не может быть, это маловероятно!"

Однако если выпадет любая другая ровно столь же маловероятная комбинация, например:

17,22,5,1,11,8,8,5...

никто и глазом не моргнет.

:)

← →
AntiUser © (2006-12-29 02:27) [50]

Ну как же? Вероятность того, что выпадут все 36 номеров подряд все же существует. Путь она и ничтожна мала, но она не равна нулю.

← →
kaif © (2006-12-29 02:32) [51]

AntiUser © (29.12.06 02:27) [50]
Ну как же? Вероятность того, что выпадут все 36 номеров подряд все же существует. Путь она и ничтожна мала, но она не равна нулю.

А я и не сказал, что равна нулю. Я всего лишь сказал, что она ровно такова же, как и вероятность того "отстоя", что "выпадает каждый день в реальности". :)

← →
TUser © (2006-12-29 05:46) [52]

> Тоесть если разделить [0] на дискретную и непрерывную системы
> то решения существует, причем видно явно - в дискретной
> различие существует, только если минимальная разница между
> числами превышает или равна нижней границе битовой решетки(минимальному
> кванту). Так как битовая решетка не может быть бесконечной
> то эти числа равны. В непрерывной же числа всегда различны
> и не могут быть равны, так как всегда найдется епсилон0,
> которое и будет различать эти числа.

Как раз в диксретной числовой модели эти числа различны. В оперативной памяти, например. А в непрерывной - на идеальной математической числовой прямой - равны, т.к. соответствуют одной и той же точке. Вот смотри. Допустим есть точка А, обладающая свойством 0,(9)<A<1. Тогда с неизбежностью 0<A-0,(9)<1-0,(9)=0,(0)=0, т.е. А одновременно и больше, и меньше нуля. А так не бывает, следовательно где-то противоречие, и скорее всего - в предположении о том, что точка А существует. Значит, ее не бывает, а раз не может быть точки, расположенной между этими двумя числами, то есть только две возможности. Либо 0,(9) больше единицы, что явно не так, либо равно ей.

зы. На самом деле такое "доказательство" шарлатанское. Зато, используется только школьная арифметика.

← →
Думкин © (2006-12-29 06:01) [53]

> _uw_ (29.12.06 01:27) [42]

Тут неявно используется понятие предела. А соответсвенно и топология и Хаусдорфовость множества действительных чисел.

> Ученик чародея © (29.12.06 00:09) [39]

Это софистика.

← →
evvcom © (2006-12-29 09:50) [54]

Не равны.
lim 0.(9) = 1 - это да, но 0.(9) <> 1

← →
Ega23 © (2006-12-29 10:02) [55]

ИМХО, от эпсилон зависит. :о)

← →
Rouse_ © (2006-12-29 10:04) [56]

Равны и доказательство уже приводилось выше, чтобы не быть голословным:

1/3 = 0.3 в периоде. Это никто отрицать не будет.
Но 1/3 * 3 (= 1) = 0.3 в периоде * 3 (0,9 в периоде).
Вывод = два числа одинаковы.

Или доказательство по равности вещественных числе.
А именно - между двумя разными вещественными числами можно поставить как минимум еще одно вещественное.
Т.е. между 0,99999999 и 0,99999998 можно поставить 0,999999985
Между единицей и 0,9 в периоде поствить число нельзя - соответственно равны :)

← →
Ega23 © (2006-12-29 10:06) [57]

> Или доказательство по равности вещественных числе.
> А именно - между двумя разными вещественными числами можно
> поставить как минимум еще одно вещественное.
> Т.е. между 0,99999999 и 0,99999998 можно поставить 0,999999985
> Между единицей и 0,9 в периоде поствить число нельзя - соответственно
> равны :)

Ты изначально привёл 0.99999 и т.д., а не 0.(9) :о)

← →
Rouse_ © (2006-12-29 10:07) [58]

> Ega23 © (29.12.06 10:06) [57]

Не я изначально правильно привел, просто немного выпимши был и забыл что это называется "в периоде" - по правильному :)

← →
Ega23 © (2006-12-29 10:12) [59]

> Не я изначально правильно привел, просто немного выпимши
> был и забыл что это называется "в периоде" - по правильному
> :)

Это гнилая отмаза не катит, тут технари собрались, а не философы... :о)

← →
pasha_golub © (2006-12-29 11:15) [60]

Не взлетит. В смысле, не равны.

Короче, скажите мне как представить 0.(9) в виде обычной дроби? :) Она ведь должна представлятся однозначно. например, 0.(3) = 3/9 = 1/3, 0.(7) = 7/9, 0.(22) = 22/99 и т.д.

← →
Agent13 © (2006-12-29 11:18) [61]

> Короче, скажите мне как представить 0.(9) в виде обычной
> дроби? :)

Ну так 0.(9) = 9/9 = 1/1 = 1 :)

← →
Думкин © (2006-12-29 11:21) [62]

> Rouse_ © (29.12.06 10:04) [56]

Подобные рассуждения, все-таки содержат некорректность. Но для первого приближения могут и сойти.

← →
ocean © (2006-12-29 11:23) [63]

(9)/(10)
О, блин, проблема, и 62 поста!

← →
Внук © (2006-12-29 11:24) [64]

>>0.99999 и т.д. (короче кол-во девяток достигает бесконечности)
Это не число. Десятичная дробь не может иметь 9 в периоде. По определению. Иначе нарушается однозначность записи чисел.

← →
ocean © (2006-12-29 11:24) [65]

я имею в виду, разница бесконечно мала, и по жизни несущественна, но для нас математиков это важно

← →
Думкин © (2006-12-29 11:27) [66]

> ocean © (29.12.06 11:24) [65]

Как раз по жизни это иногда очень существенно ибо вводит порядок в рассуждения и высказывания.

← →
pasha_golub © (2006-12-29 11:56) [67]

> Это не число. Десятичная дробь не может иметь 9 в периоде.
> По определению. Иначе нарушается однозначность записи чисел.
>

> Внук © (29.12.06 11:24) [64]

Я не понял про однозначность.

← →
Внук © (2006-12-29 12:06) [68]

>>pasha_golub © (29.12.06 11:56) [67]
Я про то, что 1.00000000(0) и 0.9999999(9) - это одно и то же число. Нелогично запрещать записывать числа с нулевой дробной частью, поэтому запрещают девятку в периоде. На уровне определения.

← →
evvcom © (2006-12-29 12:16) [69]

> [56] Rouse_ © (29.12.06 10:04)
> Но 1/3 * 3 (= 1) = 0.3 в периоде * 3 (0,9 в периоде).

Где-то ты нас дуришь, а где понять не могу :))

> Или доказательство по равности вещественных числе.
> А именно - между двумя разными вещественными числами можно
> поставить как минимум еще одно вещественное.

Аналогично. Вроде все логично, но... Видимо, это доказательство для чисел с конечной записью числа.

Во, народ прет под Новый год! :-)

← →
pasha_golub © (2006-12-29 12:17) [70]

> Внук © (29.12.06 12:06) [68]

> На уровне определения.

Круто! Не знал. Это правило, я так понимаю, для всех позиционных систем счисления введено?

← →
Внук © (2006-12-29 12:30) [71]

Вот чего не знаю, того не знаю. Но по логике вещей должно быть так.

← →
ocean © (2006-12-29 12:40) [72]

А вот это > 1.00000000(0) уже точно равно 1, так что неоднозначности нет.

← →
Rouse_ © (2006-12-29 13:30) [73]

> evvcom © (29.12.06 12:16) [69]
> > [56] Rouse_ © (29.12.06 10:04)
> > Но 1/3 * 3 (= 1) = 0.3 в периоде * 3 (0,9 в периоде).
>
> Где-то ты нас дуришь, а где понять не могу :))

:))))))))))))))))))))))))))))))))

← →
Kerk © (2006-12-29 13:34) [74]

Чего ж вы курите, когда перемножаете дроби? :)

← →
Rouse_ © (2006-12-29 13:50) [75]

> Чего ж вы курите, когда перемножаете дроби? :)

Не буду оригинальным - гладиолусы ;)

← →
palva © (2006-12-29 13:52) [76]

> Десятичная дробь не может иметь 9 в периоде. По определению. Иначе нарушается однозначность записи чисел.

Ну да. Об этом можно прочитать в любом учебнике матанализа, где теория действительного числа строится через десятичные дроби, например в двухтомнике Виктора Садовничего. Или здесь посмотреть можно
http://ural.openet.ru/Assets/aMATH0041/ma2_3.htm

← →
vrem (2006-12-29 14:27) [77]

Попробую ещё раз -
Есть задача - как может тело передвинуться от точки А к точке Б, если вначале тело должно достичь половины расстояния между этими точками, а что достичь этой половины - нужно достчиь половины половины расстояния между точками, то есть четверти расстояния между точками и так до бесконечности. Вопрос - как же тела двигаются.
Ответ - при движении тело находится как в начальной точке - А, так и ближайшей половине расстояния - одновременно, и в этом и есть суть движения и его определение.
Тема этой ветки - разве различие между двумя приведёнными числами не является как бы "ближайшей половиной"? Если эти два числа есть одно и тоже, то не возникает ли противоречие с определением движения?
Про одновременное нахождения тела в двух точках сразу сказали тут на форуме, прошу уточнить. :)

← →
Внук © (2006-12-29 14:40) [78]

>>vrem (29.12.06 14:27) [77]
Задачка про Ахилесса и черепаху. Только я не вижу аналогии с сабжем. А насчет Ахилесса - ошибка в том, что бескнечно деля расстояние, почему-то не хотят бесконечно уменьшать время. Как только мы согласимся, что бесконечно малое расстояние покрывается за бесконечно же малое время, все становится на свои места. А то как то странно - сначала было два непрерывных процесса - движение и течение времени, а потом один начали рассматривать дискретно, а другой забыли.

← →
kaif © (2006-12-29 17:47) [79]

Насчет объяснения через сокращающиеся отрезки времени.
При таком объяснении непонятно, зачем в апрории про Ахиллеса и черепаху черепахе вообще нужно куда-то ползти.
ИМХО, Ахиллес не догонит черепаху даже в том случае, если та стоит на месте и терпеливо ждет. Ведь сначала Алиллес пройдет половину пути до стоящей черепахи, затем половину оставшегося пути и так далее...

:))

Кто-нибудь из математиков может мне пояснить, зачем в этом парадоксе черепахе вообще потребовалось куда-то ползти?

Может быть все же здесь есть проблема?

И дело не только в сокращении промежутков времени?
Иначе зачем Зенону нужно, чтобы черепаха куда-то вообще успевала двигаться?
Может быть здесь парадокс происходит вовсе не из отсутствия у Зенона понятия предела, а из отсутствия у него понятия о системе отсчета, связанной с черепахой?

Вот здесь немного говорится о логических моментах в этой апории, связанных с числом отрезков:

http://www.zenon.megaeda.ru/page4.htm

Я не стал вникать. Но буду рад, если математики прокомментируют.

← →
Внук © (2006-12-29 18:21) [80]

>>kaif © (29.12.06 17:47) [79]
Мне думается, черепаха была нужна для контраста. За ради так любимого некоторыми красного словца и эффекту :)
P.S. Ссылку не читал :)
P.P.S. А вообще эти апории, имхо, говорят не о том, что древние не владели элементарными понятиями, а о том, что уже они осознавали неуниверсальность аристотелевой логики в применении к описанию явлений.

← →
default © (2006-12-29 18:31) [81]

Rouse_ © (29.12.06 10:04) [56]
это всё жалкая иллюзия доказательства

← →
default © (2006-12-29 18:34) [82]

ибо если ты включишь логику, а не интуициию, то у тебя будет возможность понять что где-то ранее подобное равенство просто постулировалось, пусть не прямо пусть косвенно, но это не меняет дела

← →
Vudu © (2006-12-29 18:51) [83]

> Равны ли два числа: единица и 0.99999 и т.д.

Конечно неравны разница составляет +0 или -0, смотря с какой стороны смотреть

← →
kaif © (2006-12-29 18:55) [84]

2 Внук © (29.12.06 18:21) [80]
Жаль, что не прочитал. Посмотри ссылку. Там показано, что апория глубже, чем кажется на первый взгляд. И затронутая там проблема связана с возможностью отображения всех элементов бесконечного множества на свою часть. Эту апорию всерьез рассматривали и после Зенона, например, Галиллей и Кузанский, если верить ссылке.
Я полагаю, что Зенон не был дурак и прекрасно видел, что временные отрезки сокращаются. Проблема вроде бы логически в том, что при однозначном сопоставлении всех отрезков выходит, что Ахиллес должен иметь хотя бы на один отрезок больше, чем черепаха, иначе он не может пересечь ее траекторию.

Я думаю все же, что понятия "движение" у греков и у нас совершенно различаются. Греки мыслили себе некоторое "абсолютное движение", движение вообще, которое кардинально есть иная субстанция, нежели покой. Даже марксисты метафизически определяют жизнь как "форму движения материи".

Но мы (технари) знаем, что всякое движение относительно (условно).
Нет никакого движения вне системы отсчета.
Но тогда возникает много философских проблем.
В частности, становится совершенно неясным, что иметь в виду под "жизнью".
Если движение относительно, то и жизнь тогда относительна.

И то, что мы называем живым в одной системе отсчета вполне возможно мертво в некоторой иной системе и наоборот.

Замкнем некоторую систему событий и проследим все причинностные связи в ней. И мы увидим, что живой организм при таком рассмотрении вообще ничем не отличается от любого неживого механизма.

А в бурно разлагающемся на солнце трупе носорога может найтись больше "всякого движения материи", чем в замороженной маленькой рептилии. Хотя если ту разморозить и отогреть, то она может довольно скоро начать шустро бегать по полу, а вот труп носорога - уже вряд ли. Так что из них более живое? Жизнью мы называем то, что интуитивно мы склонны так называть. И с некоторой точки зрения в этом назывании кроме слова ничего и нет. А с иной точки зрения - это слово очень много чего значит. Например, весьма важно, вот этот смертельно больной сам умер или ему "помогли". Хотя и то и другое - всего лишь цепь детерминированных событий и мы не должны были бы их различать, будь мы истинные киники.

:)

← →
Kirr. (2007-01-09 19:02) [85]

> Если движение относительно, то и жизнь тогда относительна.
>
>
> И то, что мы называем живым в одной системе отсчета вполне
> возможно мертво в некоторой иной системе и наоборот.
>
> Замкнем некоторую систему событий и проследим все причинностные
> связи в ней. И мы увидим, что живой организм при таком рассмотрении
> вообще ничем не отличается от любого неживого механизма.
>
>
> А в бурно разлагающемся на солнце трупе носорога может
> найтись больше "всякого движения материи", чем в замороженной
> маленькой рептилии. Хотя если ту разморозить и отогреть,
> то она может довольно скоро начать шустро бегать по полу,
> а вот труп носорога - уже вряд ли. Так что из них более
> живое? Жизнью мы называем то, что интуитивно мы склонны
> так называть. И с некоторой точки зрения в этом назывании
> кроме слова ничего и нет. А с иной точки зрения - это слово
> очень много чего значит. Например, весьма важно, вот этот
> смертельно больной сам умер или ему "помогли". Хотя и то
> и другое - всего лишь цепь детерминированных событий и мы
> не должны были бы их различать, будь мы истинные киники.
>

Потрясающе! Когда я читал Экхарта Толле, который сказал, что смерти нет, и что нам кажется, что другие умирают - это лишь наш уровень осознания я его тогда не совсем понял. После этого поста это стало намного ощутимее.

kaif! Мне что-то сильно захотелось, чтобы вы прочитали Экхарта Толле "Сила момента Сейчас" ("The Power of Now"). Готов выслать книжку в оригинале (на английском). На русском могу линки выслать на книжку.

← →
partizan (2007-01-09 19:47) [86]

Числа 0,(9) (0,9999....) просто не существует.
Девятка не может быть в периоде.

А если говорить про придел посл. чисел 0.9, 0.99, 0.999 и .т.д - то он естественно равен 1

← →
Mike Kouzmine © (2007-01-09 20:36) [87]

Если движение относительно, то и жизнь тогда относительна.

Это только у спортсменов жизнь=движение.

← →
_uw_ (2007-01-09 21:04) [88]

А мне кажется, что движение - вполне абсолютно. Не могу себе представить, как подобрать систему отсчета, в которой червяки, копошащиеся в трупе разлагающегося носорога, вдруг все разом стали бы неподвижны.

> partizan (09.01.07 19:47) [86]
> Числа 0,(9) (0,9999....) просто не существует.
> Девятка не может быть в периоде.

Доказательство, пожалуйста, приведи :)

← →
vrem (2007-01-09 21:09) [90]

[88] _uw_ (09.01.07 21:04)
А движения вообще нет, пример с проводами - возможно пустить по ним 50 герц, а можно 100 герц - изменение есть, а провода неподвижны. иллюзии же всё,

← →
_uw_ (2007-01-09 21:11) [91]

vrem (09.01.07 21:09) [90]

Верно, у таких проводов движения нет.

"Движенья нет" - сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить... (c)
:))

← →
доцент (2007-01-09 22:01) [93]

> Rouse_
http://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число
Даны 4 определения вещественного числа. Согласно последнему 0.(9) и 1 - одно число просто по определению. Если брать за основу другие определения, то доказательство требуется. Но то, что ты привел в качестве "доказательства", таковым не является. Ты даже не прояснил, что именно ты считаешь определением вещественного числа.

Решил присоедениться к серъезному обсуждению :)

Должны совпадать, так как:
1/9 = 0.111111111..... итд (бесконечное число единиц),
теперь умножим это на 9 и с одной стороны получим:
0.99999999999999999.... итд,
а с другой (1/9)·9 = 1
значит совпадают!

Хотя конечно это фигня, так как все-равно они отличаются на бесконечно малую!

>>так как все-равно они отличаются на бесконечно малую
А что такое "бесконечно малая"?

То есть, я немного знаком с теорией пределов, но вот в таком контексте... Мне бы хотелось узнать, каков смысл фразы "два числа различаются на бесконечно малую"...

Интересно, а те, кто полагают, что 0.9999... не равно 1, что скажут про такую запись?

1/3 = 0.3333...

Или, может, у них есть альтернативные идеи о том, как записать 1/3 в десятичной системе?

Они скажут, что 1/3 и 0.(3) тоже отличаются на бесконечно малую :)

При такой суровой пьянке уместен вопрос.
А на ваш взгляд, визуально, они равны?

reonid © (10.01.07 18:09) [97]
бесконечно малая величина числом не является.

Да, но она является поводом отказа в равенстве.

isasa © (10.01.07 22:34) [100]
>бесконечно малая величина числом не является.
>>Да, но она является поводом отказа в равенстве.

Разность двух вещественных чисел является вещественным числом.
А 0.(9) - это вполне определённое вещественное число,
сумма бесконечного ряда 9*10^-i, и разность
1 - 0.(9)
есть тоже вполне определённое вещественное число.
И оно равно нулю.

Да, но если
А=В+БМВ, то это не значит, что А=В?

Немного не так,
А-В=0 ?
0<>БМВ

Покурил(не траву) решил добавить. Предел и то, что к нему стремиться,, все таки разные вещи. :)

lim( 0,(9) ) = 1

← →
_uw_ (2007-01-11 00:34) [105]

Они, может, и разные, да равные. Сам же пишешь =, а не примерно равно :)

← →
_uw_ (2007-01-11 01:06) [106]

А вот еще для разминки мозгов. Представим 1/3 в виде десятичной дроби: 0,(3).

А теперь - в виде двоичной дроби: 0,(01).

Какая из них ближе к 1/3?

_uw_ (11.01.07 01:06) [106]
виде двоичной дроби: 0,(01).

Это что-то новенькое,
0,(01)
куда запишем основание системы счисления?
0,(3) - это десятичная дробь(учат еще в школе).
Нельзя так вольно махать карандашем ...

Можно для простоты помахать в направлении троичной системы:

1/3 = 0.1

:)

Так что же, получается, что в троичной системе запись 0.1 = 1/3, а в десятичной 0.3333... <> 1/3 ?

Поэтому я полагаю, что вопрос о том, равно ли число 0.9999... числу, записанному как 1,000... не совсем корректно поставленным.

Так как это не два разных числа, а одно и то же число, просто записанное двумя разными способами.

Если, конечно, понимать под позиционной записью вида 0.9999... именно обозначение числа, являющегося пределом суммы всех разрядов (которых бесконечно много), а не чего-то иного.

ИМХО, именно этот предел и обозначают такой записью.

И спорить о том, "достигается этот предел при росте числа разрядов" или "не достигается" бессмысленен, так как собственно сам предел при бесконечном числе разрядов просто напросто и имеется в виду.

Всегда можно подобрать некоторую систему счисления, в которой конкретное рациональное число будет выглядеть "компактно".
Допустим, нас интересует запись числа 5/137.

Просто создаем 137-ричную систему счисления и быстро убеждаемся, что запись этого числа в ней будет выглядеть как 0.5

Так вот десятичная запись:
5/137 =
0,03649635036496350364963503649635....
или 0,(03649635)

совершенно строго обозначает то же самое число.

Так чем же число 0,(9) хуже?

Надеюсь, теперь убедил неверующих?

> Внук © (10.01.07 18:06) [96]

В нестандартном анализе есть. :)

http://ruwiki.com/article/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7

http://math.nsc.ru/publishing/Books/gutman.html
http://nehudlit.ru/1/197/

> _uw_ (11.01.07 01:06) [106]

А в виде троичной 0.1 вообще. :)

> kaif © (11.01.07 03:44) [109]

Все-таки многое зависит от изначальных позиций. очень легко построить теорию где 1.0000... и 0.99999... - различны. Да они итак различны по записи. Другое дело. чьто с этим делать и как быть с интуитивным пониманием действительных чисел и с точками на прямой. :)

2 Думкин © (11.01.07 05:42) [110]
А вот как ты лично считаешь, делом математики является интуитивное изучение "законов" самих чисел (как настаивал бы Кант или Вейль) или же построение полезных формальных и логически связанных систем обозначений , получающих свое содержание исключительно извне (как настаивали бы лингвисты и номиналисты)?

Мне интересно именно твое личное пристрастие, как математика.

Так как это и философский вопрос тоже.

Так как дело обстоит?
Математика есть лишь способ обозначать нечто внешнее ей или же существуют действительно некие "математические миры", например, континум действительных числел с присущими им свойствми, независимый от нашего сознания и даже не данный нам в ощущениях, но данный лишь в интуиции и не только нам, но и любому иному разумному существу, найдись оно во Вселенной?
:)

Я вот в этой ветке все-таки с кайфом согласен, а не с Дункиным. Ну вот что такое 0,(9), а? Это 0,9999999999999999999999999? Нет. Может быть 0,999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999? Снова нет. И так далее. Эта запись - это просто запись числа с бесконечным числом девяток, а где бесконечность - там предел, а значит это - запись для предела, а предел равен едитние. Значит и число равно единице. Ну, это имхо такое.

← →
_uw_ (2007-01-12 02:04) [113]

TUser © (12.01.07 00:23) [112]

Всё не совсем так. 0,(3) - это не то же самое, что написать 1/3. 0,(3) в нашем случае - это сокращенная запись результата последовательного нахождения десятичных знаков при делении 1 на 3. Вопрос в том и состоит, а равно ли точное число 1/3 вот всей этой последовательности десятичных знаков или нет? А равна ли приведенная выше последовательность 0,(01) (в двоичной системе) этой последовательности 0,(3)? Ведь нельзя указать того разряда в десятичной системе, с которого последовательность и дальше совпадает с двоичным представлением. А предел - это не какое-то стремление чего-то к чему-то. Предел - это конкретное число, которое в данном случае в точности равно 1/3. И то, что в троичной системе счисления никакой последовательности и нет, вовсе ничего не доказывает и не проясняет для нашего разума. Потому что мы не в состоянии осознать бесконечность.

Давайте все же попробуем: начнем делить 1 на 3 и записывать промежуточный результат в каком-нибудь направлении, например, в направлении Сатурна. Мы будем писать и писать, мысленно. Сначала мы выйдем за пределы земной атмосферы, потом минуем орбиту Луны, Марса...

Мудреца спросили: "Что такое вечность?" Мудрец ответил: "Если в поле положить алмаз, каждое ребро любой грани которого - в полет стрелы, и если раз в десять тысяч лет к нему будет подходить монах и фланелевой тряпочкой один раз касаться его поверхности, то к тому времени, когда весь этот алмаз сотрется, пройдет лишь мгновение того, что мы называем Вечностью."

Так вот, наши десятичные знаки рано или поздно доберутся до Юпитера и пойдут дальше, пока не упрутся в поверхность Сатурна. Но математика так устроена, что Сатурн - десятичным знакам не помеха, и они легко устремятся за пределы Солнечной системы. Что будет дальше? А этого никто не знает. Если наша Вселенная замкнута, то десятичные знаки вернутся к нам с противоположной стороны, с той, в которой никакого Сатурна и нету, и опять устремятся к Сатурну... А если Вселенная открыта? Мы тогда не сумеем проследить, что будет с нашими десятичными знаками. Но тут можно схитрить: давайте слегка изогнем траекторию записи, совсем немного - примерно на 1 метр за один парсек длины. Тогда запись опишет гигантскую окружность и рано или поздно вновь вернется к нам на Землю. И что мы увидим? То же самое - сплошные тройки. Они вновь уйдут за пределы нашего разумения и вновь вернутся... Когда этот процесс повторится квадриллионы раз, и мы совсем запутаемся в этом немыслимом переплетении траекторий, то это будет лишь первый шажок к бесконечному числу десятичных знаков...

Никогда не понимал, где люди такую траву берут..

> kaif © (12.01.07 00:04) [111]

Я думаю, что внешнее скорее. Внешнее воздействует на наш мозг так, что он так и мыслит.

> TUser © (12.01.07 00:23) [112]

Я не Дункин. А с чем именно у меня ты не согласен? Почитай хоть Пеано для начала. Потом спорь - если сможешь представить предмет спора. Предмета то собственно и нет. Я не отрицаю того, что если мы будем рассматривать действительные числа и в нашем о них помысливании и последовательно - то это одно и тоже и это с успехом показано в системах где действительные числа вводятся(Кантор, Вейерштрасс, Дедекинд....) - ссылки уже приводили. Но ведь на любом этапе можно заменить ингридиенты.
В школе никаких действительных чисел почти что и нет - во всяком случае в строгом их представлении. И в ВУЗах не всех их вводят в курсе матана, а юзают как само собой разумеющееся. И все.

>>_uw_ (12.01.07 02:04) [113]
Не обязательно осознавать бесконечность. То, что эти числа равны, легко доказать от противного. Пусть не равны, тогда разность равна некоторому A. Легко построить алгоритм, который назовет количество цифр после запятой, после которого разность станет заведомо меньше А.
Или не признавать доказательство от противного, тогда это к логике.

← →
_uw_ (2007-01-12 10:36) [117]

Внук © (12.01.07 09:41) [116]

Мне такое доказательство тоже нравится. А теперь давай рассмотрим некоторое открытое множество вещественных чисел, имеющее точную верхнюю грань. С одной стороны, нет ни одной точки из этого множества, которая бы равнялась точной верхней грани, а с другой, расстояние между точной верхней гранью и нашим множеством в точности равно нулю, потому что, если оно не ноль, то действуем от противного... И что это значит?

← →
Unick2 (2007-01-12 11:29) [118]

Прикольно ;)

там кто-то предлагал сравнить 1/3 и 0.3(3) ...
значит берем 1 000 000$ и делим его на троих ...
Итого получаем
1 - 333 000
2 - 333 000
Мне - 334 000
Вооооооооот ;)
И все счастливы ;)

>>_uw_ (12.01.07 10:36) [117]
Это значит, что не нужно путать число (например, 0.(3) ) и множество, к которому применяется понятие ТВГ. Я так думаю.

> pasha_golub © (29.12.06 11:15) [60]
>
> Короче, скажите мне как представить 0.(9) в виде обычной
> дроби? :)

Присоединяюсь !!!
Ибо топик внес смятение в мое бытие.

<off>
Всех с прошедшими и текущими праздниками!
</off>

>>Bless © (13.01.07 15:48) [120]
Пользуясь формулой для суммы геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, вот так: 0.(9)=1=1/1=2/2=3/3=...

2 Думкин © (12.01.07 05:49) [115]

Хорошо. Задам вопрос несколько иначе. Если существовал бы некий марсианин, которого мы признали бы разумным (строящим НЛО и летающим по Вселенной с целью ее изучения и поиска контактов с "себе подобными"), он:

1. обязательно догадался бы до такого же понимания действительных чисел, которое свойственно нам.

2. мы просто его никогда не смогли бы и не пытались бы понять, так как его мозг был бы устроен иначе и вся математика - тоже, я уже не говорю о способах записи его теорий.

3. даже полностью расшифровав и поняв его теории, и соглашаясь с ним в их доказательтствах, мы, тем не менее, не имели бы права ни утверждать, ни отрицать то, что мы не понимаем эти теории превратно , так как конструкции мозга или форма черепа (у нас и у него) отличаются.

← →
_uw_ (2007-01-13 19:18) [123]

Внук © (13.01.07 15:22) [119]
Это значит, что не нужно путать число (например, 0.(3) ) и множество, к которому применяется понятие ТВГ. Я так думаю.

Да нет, я ж говорю, мне нравится это короткое доказательство. Оно основывается на аксиоме упорядочения вещественного числа, на теории Дедекинда, рассматривающей множества в.ч. и введенное им сечение, на доказательстве того факта, что десятичные дроби однозначно представляют все в.ч. и что для них выполняются все аксиомы в.ч. Но я, к примеру, никогда этого не прослеживал от начала и до конца. Поэтому мне и нравится приведенное тобой короткое и, на мой взгляд, корректное доказательство.

Возможно, что некоторые интуитивные представления у нас бы отличались. Например, базовой геометрией для них была бы отличная от Евклидовой. А базовая физика - отличная от Галилеевой. Но если они живут в таком же физическом мире, что и мы - я думаю. мы бы нашли в итоге общий язык. Даже если у нас будут отличия и в базовой логике. Хотя все это - почти как о конях в вакууме. А как бы у них обстояло с континуумом - не знаю, но вполне допускаю, что также как и у нас.

Вот вам для разминки мозгов. Найти похожие ветки