Вот вам для разминки мозгов.

← →
Rouse_ © (2006-12-28 21:14) [0]

Равны ли два числа: единица и 0.99999 и т.д. (короче кол-во девяток достигает бесконечности)?

← →
palva © (2006-12-28 21:15) [1]

Равны

← →
default © (2006-12-28 21:18) [2]

это вопрос определений мозги тут не причём:)
определено так что равны

← →
Nic © (2006-12-28 21:18) [3]

Не равны

← →
TUser © (2006-12-28 21:19) [4]

Курант считает, что равны.

← →
Nic © (2006-12-28 21:20) [5]

1 = 0,(9) + 0, ... 1,
где ... = 000000000000000000000000.. кол-во нулей стремится к бесконечности.

← →
Думкин © (2006-12-28 21:22) [6]

Смотря что почем считать и как при ком договориться.

← →
default © (2006-12-28 21:22) [7]

можно задать вопрос типа если они не равны, то назовите хотя бы конечное число на которое различаются подобные числа
и фиг - не получится назвать
предельная логика тут:)

← →
Ученик чародея © (2006-12-28 21:23) [8]

Они различаются e(дельта эпсилон), которое в своб очередь стремится к нулю. Вышку учить нужно первый семестр - пределы.

← →
default © (2006-12-28 21:23) [9]

можно задать вопрос типа если они не равны, то назовите хотя бы минимальное конечное число на которое различаются подобные числа
и фиг - не получится назвать
предельная логика тут:)

← →
Nic © (2006-12-28 21:24) [10]

Nic © (28.12.06 21:20) [5] Не верно?

Если не округлят и считать абсолютно точно, то не равны.
Если округлять или считать маленькую неточность несущественной, то равны :) ИМХО.

← →
Nic © (2006-12-28 21:25) [11]

default © (28.12.06 21:23) [9]
0, 000000000000000000....(нулей бесконечно много)...000...1

← →
default © (2006-12-28 21:27) [12]

Nic © (28.12.06 21:25) [11]
под конечным я имел ввиду представляемое конечным числом разрядов

← →
Nic © (2006-12-28 21:28) [13]

> default © (28.12.06 21:27) [12]

А какое это имеет значение?
Тогда и 0,(9) нельзя предаставить в виде числа с конечным числом разрядов.

← →
Nic © (2006-12-28 21:30) [14]

Получается, что разница стремится нулю, но не равна ему..

← →
default © (2006-12-28 21:30) [15]

Nic © (28.12.06 21:28) [13]
ты не понял
вот например, есть два числа 0,56334545454...
0, 5633553535353...
для них я легко назову непериодическую дробь на которую они как минимум отличаются
например, в данном случае, можно назвать одну стотысячную

← →
Gero © (2006-12-28 21:31) [16]

Предлагаю определить методом закрытого голосования.

← →
default © (2006-12-28 21:32) [17]

нет, всё наоборот:) я вообщем про епсилон говорил:) точность:)
ну сути дела это не меняет

← →
Nic © (2006-12-28 21:33) [18]

> default © (28.12.06 21:30) [15]

И всё же, если мы не можем назвать число Nic © (28.12.06 21:30) [14], то им можно пренебречь?

← →
vrem (2006-12-28 21:34) [19]

типа равны, если одно превращается в другое, т.к. различие это ближайшая половина, если считать по определению движения.
Но если они сами по себе, не превращаются друг в друга,
то что получается - такие числа не могут быть близко и быть независимыми? по определению движения? :)

← →
TUser © (2006-12-28 21:35) [20]

Вопрос на самом деле не формальный. Что такое 0,(9)? Это есть точка в континууме действителньых чисел, определяемая пределом 9/10, 99/100, 999/1000, .... Спрашивается, совпадает ли эта точка с точкой 1?

Определение. An=(10^n-1)/10^n.
Теорема. lim (An) (n->inf) = 1. Док-во. lim (An) (n->inf) = lim ((10^n-1)/10^n) = lim (1-1/10^n) = lim (1) + lim (1/10^n) = 1 + 0 = 1. xnl

Следовательно единица и рассматриваемая точка совпадают. Значит это одно и тоже.

← →
default © (2006-12-28 21:35) [21]

Nic © (28.12.06 21:33) [18]
короче наука в данном вопросе следует логике предела и поэтому принимают равенство

← →
TUser © (2006-12-28 21:37) [22]

> default © (28.12.06 21:23) [9]
> 0, 000000000000000000....(нулей бесконечно много)...000.
> ..1

Если нулей бесконечно много, то это число есть предел последовательности, а предел этот равен нулю, а если два числа различаются на ноль, то они равны.

← →
Думкин © (2006-12-28 21:43) [23]

1. Если брать обычное и топологии и метрики и т.п то равны. Ибо у нас если два объекта различны, то расстояние между ними строго больше 0. Это от метрики скачем если. Если топологически, то от Хаусдорфа - отделимость. Если точки различны, то у каждой есть 2 открытых непересекающихся множества содержащие эти точки. Все что у нас в обычном - этому удовлетворяет. Для указанных записей для действительных чисел вводимых хоть Дедекиндом - нет ни окрестностей, ни вводя метрику согласованно, расстояния больше 0.
2. Но нас кто-то связал? Если число рассматривать как десятичную запись, то очень даже просто рассматривать эти два числа(?), как совершенно различные. Это конечно уже не обычные действительные числа - ну и что?

← →
Zeqfreed © (2006-12-28 21:44) [24]

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

← →
default © (2006-12-28 21:45) [25]

можно вспомнить про соответствие точек континуума и действительных чисел

смотрим на 0,9999999.
делим едининичный интервал на 10 частей и переходим в 10 кусок - там точка
потом делим этот десятый интервал на 10 частей и переходим в десятый его кусочек - там сидит точка
и тд
поскольку мы горим желанием установить соответсвие между точками континуума и действительными числами(причём очень желательно - взаимнооднозначное, кстати взаимная однозначость падаем из-за различимости подобных чисел...но разумного выхода не видно...), то какую же точку как не 1 будет представлять дробь 0,9999...?

← →
Думкин © (2006-12-28 21:47) [26]

> TUser © (28.12.06 21:37) [22]

Ты сразу вводишь топологию, причем с сильными условиями. А если расматривать без топологии?

← →
TUser © (2006-12-28 21:52) [27]

> Думкин © (28.12.06 21:47) [26]

Я не настолько крут. Просто сказал, как я это понимаю. А про топологию - я даже не понял, о чем вы. Завтра умных людей спрошу.

← →
vrem (2006-12-28 21:55) [28]

Короче - если точки совпадают, то движения быть не может,
по определению движения, а движение есть - значит точки не совпадают.

В МНР Тьюринга НЕ РАВНЫ! В обычном ПК размер мантисы накладывает ограничение на неравенство, поэтому РАВНО!

Если они равны, то в теории относительности содержится бред, так как при этом тело может достичь скорости света на конечных величинах энергии.

А если еще ввести квантование метрики пространства-времени...

> TUser © (28.12.06 21:52) [27]

Топология - это всего лишь показать на множестве с точками(пространстве), какие его подмножества - являются открытыми или замкнутыми. При этом 2 свойства у них.

Этого мало. И их сужают.

Хаусдорфовым пространством называется топологическое пространство, обладающее свойством, что для любой пары точек существуют непересекающиеся окрестности. Окрестность - открытое множество содержащее точку.

Дело в том, что обычно и рассматривают Хаусдорфовы пространства. ТО пространства действительных чисел, которым мы пользуемся - Хаусдорфово. И в нем двум указанным записям соответствует одна точка. А если бы две - то оно бы было не Хаусдорфово. А это - мозги вывихнуть легче.

Но вовсе не обязательно рассматривать эти записи как действительные числа и все становится пучком - ведь они же различаются записью? Пусть тогда и будут различны, как некие записные числа. Как строки.

> Ученик чародея © (28.12.06 21:59) [30]

Нет, последовательность достигает единицы в пределе, а при приближении к этому пределу энергия растет, и предел этиого роста - inf.

> TUser © (28.12.06 21:35) [20]
> Вопрос на самом деле не формальный. Что такое 0,(9)? Это
> есть точка в континууме действителньых чисел, определяемая
> пределом 9/10, 99/100, 999/1000, .... Спрашивается, совпадает
> ли эта точка с точкой 1?

Собственно тут все и сказано - ты работаешь в действительных числах. И даешь фактически определение действительного числа через рациональные. Поэтому тут и нельзя дернуться никуда - и 1 и 0,(9) - это одно и тоже действительное число.

По Дедкинду грубо(более строго - у Фихта в первом томе): Действительное число - это сечение. Сечение - это два множества рациональных чисел, причем каждое в одном больше чем каждое в другом. Два приведенных числа определяются одним и тем же сечением.

И наше мировозрение по числам так уж устроено, что если мы знаем, что 2 числа различны, значит в сильный микроскоп мы сможем их различить - увидеть, что между ними что-то есть. Это и есть Хаусдорфовость. Издалека они могут сливаться, но чем ближе тем яснее видно, что различны. При этом они сливаются с другими близкими им. Но мы знаем что и с теми они когда нибудь станут различимы - надо только взять микроскоп помощнее(уменьшить окрестности - ту самую дельту). Это наши мысли о действительных числах, которые мы формализуем потом. А про указанные числа мы так мыслить не в состоянии и вынуждены мыслить их как одно и тоже.

> Сечение - это два множества рациональных чисел, причем каждое
> в одном больше чем каждое в другом

и каждое рациональное лежит в одном из них.

← →
Kirr. (2006-12-28 23:04) [36]

> Zeqfreed © (28.12.06 21:44) [24]
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Тут парочка простых, классных доказательств:

I.
1/3 = 0.33333...
1/3 * 3 = 0.3333.... * 3
(1*3)/3 = 0.9999......
1 = 0.9999.....

II.
c=0.9999...
10c - c = 9.9999... - 0.9999...
9c = 9
c=1

← →
oO (2006-12-28 23:14) [37]

2 Думкин
Неужели здесь нашелся человек с высшим образованием не только в дипломе, но и в голове? Респект!! Читал - как бальзам на душу =)

> Тут парочка простых, классных доказательств:

А чем
1/3 = 0.33333...
очевиднее чем
1 = 0.9999.....

И вообще о каком доказательстве может идти речь, если даже не дано определение числа 0.9999.....

> Думкин © (28.12.06 23:02) [34]

Все это относительно и в данной ситуации зависит от того, что вам нужно доказать другому. Так что действует принцип неопределенности или точнее принцип субъективной определенности значения.

> Все это относительно и в данной ситуации зависит от того,
> что вам нужно доказать другому. Так что действует принцип
> неопределенности или точнее принцип субъективной определенности
> значения.

Ты сам-то понял что сказал? Я лично не понял, но явно ерунду.
По поводу таких словесных(только ли..) завихрений у Фейнмана была классная история..

Вот вам для разминки мозгов. Найти похожие ветки