Вероятность. Задача с ответом Объясните мне как такое возможно.

← →
Vlad Oshin © (2004-12-14 16:50) [0]

Больше или меньше.
Я выбиpаю два случайных числа и говоpю вам одно из них. Вам нужно угадать больше оно или меньше втоpого числа. Есть ли метод более пpодуктивный чем случайный ответ "меньше" или "больше" (т.е. с веpоятностью пpавильного ответа больше чем 0.5)?

Ответ: Выберите любую совокупную функцию вероятности P (x) такую что a > b == > P (a) > P (b). Теперь, если показанный номер - y, предположение "ниже" с вероятностью P (y) и "выше" с вероятностью 1-P (y). Эта стратегия дает вероятность угадывания > 1/2, так как вероятность ответа являющимся правильным - 1/2 * ((1-P (a)) + P (b)) = 1/2 + (P (b) -P (a)), что > 1/2.

Спрашивал уже, но что-то не помню чтоб ответили. Скорее всего не ответили. Эта задача с одного сайта с головолками. Там путевые и сложные, а тут все просто кажется, но, наоборот, не понятно, насмерть.

← →
Sandman25 © (2004-12-14 17:06) [1]

Vlad Oshin © (14.12.04 16:50)

Софистика. Под P(X) сначала понимается выбранная угадывающим "функция", а потом - функция, используемая загадывающим. А эти функции не то, чтобы разные, они вообще могут иметь разные области определения.

← →
palva © (2004-12-14 17:07) [2]

Что такое совокупная функция вероятности? "ниже" означает меньше?
А как понимать последовательсть слов "вероятность ответа являющимся правильным"? И главное, в чем заключался вопрос? Что надо объяснить?

← →
Vlad Oshin © (2004-12-14 17:15) [3]

> Sandman25 © (14.12.04 17:06) [1]

согласен.
подзабыл тервер, но даже логически мысля - туфта получается

> palva © (14.12.04 17:07) [2]

> в чем заключался вопрос?

> Есть ли метод более пpодуктивный чем случайный ответ "меньше"
> или "больше" (т.е. с веpоятностью пpавильного ответа больше
> чем 0.5)?

только на этот вопрос и могу ответить. Я привел цитату Вопрос-Ответ. Кстати,
http://www.izvilina.com/vr12.htm
, обычно туфту не пишет.
Причем, эта загадка уже растиражировалась по всем подобным.
И никто не исправит... Настораживает. А можть есть объяснение?, вдруг думается...
И, подумав еще раз, склоняюсь все же что - нет. Но вот терзают смутные сомнения..(с)

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 17:28) [4]

> http://www.izvilina.com/vr12.htm
> , обычно туфту не пишет.

Хм. Имхо, задача, следующая за приведенной - полная чушь:
Монти Хол. (Очевидно, это ведущий пеpедачи "Let"s make a deal") Вы участник пеpедачи "Давайте заключим сделку". Монти Хол показывает вам тpи закpытых двеpи. Он говоpит, что за двумя двеpьми находится козел (фига, по-нашему), а за тpетьей двеpью машина. Вы выбиpаете двеpь, но пеpед тем как откpыть ее, Монти откpывает одну из оставшихся двеpей и показывает что за ней скpывался козел (кукиш). Затем он пpедлагает вам изменить свой выбоp на оставшуюся двеpь. Дает ли это вам пpеимущества? Ответ: Все дело в том, что вероятности нахождения автомобиля за оставшимися двумя дверями не одинаковы! Ведь за выбранной участником дверью автомобиль либо есть (с вероятностью 1/3), либо нет. Значит, для второй двери вероятность нахождения за ней автомобиля равна 2/3. Поэтому на втором ходу правильная стратегия участника состоит не в кидании монетки, а в том, что он должен поменять дверь - то есть указать не на ту дверь, на которую он показывал вначале, а на вторую из оставшихся запертыми дверей. Эта стратегия немедленно повышает его шансы до 2/3.

А вероятность встретить динозавра на улице равна 0.5 - либо встретишь, либо нет.

← →
Vlad Oshin © (2004-12-14 17:34) [5]

> Nikolay M. © (14.12.04 17:28) [4]

на счет этого зря, так и есть. Проверял программкой.

← →
Johnmen © (2004-12-14 17:37) [6]

>Nikolay M. © (14.12.04 17:28) [4]
>Имхо, задача, следующая за приведенной - полная чушь:

Это уже обсуждалось когда-то. И довольно бурно...
Это НЕ чушь, а строгий тервер.

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 18:11) [7]

М-дя.
Сколько копий сломано, а к единому мнению, так и не пришли.
http://forum.ixbt.com/0035/000928-15.html#373
Но решение из [4] выглядит как анекдот о встрече блондинки и динозавра...

← →
Mystic © (2004-12-14 18:20) [8]

>>Я выбиpаю два случайных числа

В этом собака зарыта. Все зависит от того, как выбираются два случайных числа. Например, если я первым числом всегда называю либо число 2, либо число 3, а второе с равной вероятностью либо 1 либо 4, то получить вероятность больше чем 1/2 невозможно. Задачу можно решать только когда нам задано распределения вероятностей при выборе чисел.

Аналогичный пример: найдите математическое ожидание длины случайно выбраной хорды в окружности. Так вот, в зависимости от того, как будет "случайно" выбираться хорда, будет разный и ответ.

← →
Johnmen © (2004-12-14 18:21) [9]

Мнений м.б. сколь угодно много. А наука - одна.

← →
euru © (2004-12-14 18:22) [10]

Vlad Oshin © (14.12.04 17:34) [5]
Johnmen © (14.12.04 17:37) [6]

После того как ведущий открывает дверь, число дверей, за которыми может находиться машина, сокращается до 2-х (за открытой, по условию, машины нет). Вероятность нахождения машины за оставшимися двумя дверями будет равна 1/2. Преимуществ в повторном выборе двери никаких, хотя шанс нахождения машины увеличивается с 33% до 50%.

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 18:37) [11]

> Johnmen © (14.12.04 18:21) [9]
> Мнений м.б. сколь угодно много.

На иксбите в посте 10.02.2002 23:05 приведено строгое доказательство того, что одна открытая дверь преимуществ не дает (кроме, естественно, 1/3 -> 1/2). Ни о каких 2/3 речи нет. Опровергнешь?

← →
palva © (2004-12-14 19:51) [12]

Vlad Oshin © (14.12.04 16:50)
> Есть ли метод более пpодуктивный чем случайный ответ

Есть такой метод. Вы же сами его и привели, написав "Ответ". Правда я этого ответа не понял, по-моему это полная белиберда, которая получилась из-за неграмотного перевода с английского. Но вы-то этот ответ понимаете, раз вы его привели.

Я понимаю это дело так. Пусть случайные числа a и b одинаково распределены и независимы. Функция распределения считается известной: p(x) = P(a<=x). Нам предъявляют число a, тогда мы отвечаем: "b>a", если p(a)<1/2 и "b<=a", если p(a)>=1/2.

Конкретный пример: оба числа распределены равномерно на отрезке [0,1), то есть получены по паскалевской функции rand. Если первое число оказалоь 0.9 то второе число с большой вероятностью будет меньше первого. А если первое число 0.05, то второе число вряд ли будет меньше первого. Всё находится в рамках здравого смысла, и даже ваш вопрос "как такое возможно" кажется странным. Или может быть я неправильно понял задачу?

← →
Agent13 © (2004-12-14 21:07) [13]

> На иксбите в посте 10.02.2002 23:05 приведено строгое доказательство
> того, что одна открытая дверь преимуществ не дает (кроме,
> естественно, 1/3 -> 1/2). Ни о каких 2/3 речи нет. Опровергнешь?

Да запросто!
Вариант А: ты cразу указал дверь с машиной. Р=1/3. Ведущий открывает 1 из 2 пустых и при перевыборе у тебя нет шансов.
Вариант В: ты указал на пустую дверь. Р=2/3. Ведущий открывает ещё одну пустую и единственная оставшаяся для перевыбора даёт гарантированный выигрыш.
Итого: 1/3 против 2/3.

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 21:23) [14]

> Agent13 © (14.12.04 21:07) [13]

Бред...

← →
DiamondShark © (2004-12-14 21:27) [15]

> Nikolay M. © (14.12.04 18:37) [11]
>Опровергнешь?

Не веришь -- напиши моделирующую программу.

> palva © (14.12.04 19:51) [12]

Ключевые слова тут "распределены на отрезке".
В исходной постановке их нет.

← →
Agent13 © (2004-12-14 21:40) [16]

> Nikolay M. © (14.12.04 21:23) [14]
>
> > Agent13 © (14.12.04 21:07) [13]
>
> Бред...

Попробуй докажи, что это бред! Я тоже так думал когда-то :) Пока не последовал совету [15]. Тогда дошло.

← →
nikkie_ (2004-12-14 22:03) [17]

про три наперстка уже здесь обсуждалось. правильный ответ - 1/3, если выбор не менять, и 2/3, если выбор поменять.

> На иксбите в посте 10.02.2002 23:05 приведено строгое доказательство
> того, что одна открытая дверь преимуществ не дает (кроме,
> естественно, 1/3 -> 1/2). Ни о каких 2/3 речи нет. Опровергнешь?
если у меня с глазами все в порядке, то в указанном сообщении написано:
"Тогда в итоге получим: P(Y|A)=(P(Y)*P(A))/P(A)=P(Y)=1/3 ч. т. д."

а вообще-то отклонились от темы.

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 22:29) [18]

Тогда по аналогии получается, что если мы поставим 100 дверей и ведущий откроет 98 из них, то для оставшихся двух дверей вероятности будут соответственно 1/100 и 99/100?

← →
DiamondShark © (2004-12-14 22:37) [19]

> Nikolay M. © (14.12.04 22:29) [18]

Нафиг ведущего.
Полностью аналогичная игра: выбери одну дверь, потом открой либо её, либо сразу две другие.
Так понятнее?

← →
Юрий Зотов © (2004-12-14 22:38) [20]

Взлетит!

← →
YurikGL © (2004-12-14 22:40) [21]

> Ответ: Все дело в том, что вероятности нахождения автомобиля
> за оставшимися двумя дверями не одинаковы! Ведь за выбранной
> участником дверью автомобиль либо есть (с вероятностью 1/3),
> либо нет. Значит, для второй двери вероятность нахождения
> за ней автомобиля равна 2/3. Поэтому на втором ходу правильная
> стратегия участника состоит не в кидании монетки, а в том,
> что он должен поменять дверь - то есть указать не на ту
> дверь, на которую он показывал вначале, а на вторую из оставшихся
> запертыми дверей. Эта стратегия немедленно повышает его
> шансы до 2/3.

Полный бред. После открывания двери условия задачи изменяются. Изначально перед нами стояло три двери вероятность была по 1/3. После осталось две двери. Решаем уже другую задачу. Вероятность нахождения авто за каждой из них 1/2

← →
nikkie_ (2004-12-14 22:44) [22]

По поводу темы. Имхо, задача не очень хорошо сформулирована - непонятно, какие числа выбираются, известно ли отгадывающему распределение вероятности.

Ответ написан так, как будто распределение вероятности известно отгадывающему. Тогда, конечно, он знает "среднее число" y такое, что вероятность загадывания числа меньше y равна 1/2. И алгоритм выглядит так: если первое число меньше y, то вероятность того, что второе число больше первого, будет больше 1/2; если первое число больше y, то вероятность того, что второе число будет меньше y также больше 1/2.

Но логичнее считать, что распределение вероятности отгадывающему неизвестно. Оказывается, что тогда тот же самый алгоритм дает вероятность больше 1/2. Число y можно выбирать произвольным.

Я пользуюсь TeX-овскими обозначениями:
a^2 - а в квадрате,
\int_a^b - интеграл от a до b,
\infty - бесконечность.

Пусть загадываются случайные числа от -\infty до +\infty.
Пусть P(t) - неизвестная нам плотность вероятности, т.е.
1) P(t) определена для любого t, -\infty < t < +\infty
2) P(t)>=0 для любого t
3) \int_{-\infty}^{+\infty} P(t) dt = 1.
Вероятность того, что загаданное число не превосходит x, равна
F(x) = \int_{-infty}^x P(t) dt.
Функция F(x) называется функцией распределения. Она определена на всей числовой оси и монотонна (не убывает). Предел F(x) при x стремящемся к -\infty равен 0. Предел F(x) при x стремящемся к +\infty равен 1.

Пусть y - произвольное число. Вероятность правильной отгадки по описанному алгоритму равна
Q(y) = \int_{-\infty}^y (1-F(t))P(t) dt + \int_y^{\infty} F(t)P(t) dt.

Интегрируя по частям, получаем
\int_{-\infty}^y F(t)P(t) dt = \int_{-\infty}^y F(t) dF(t) = F(y)^2 - \int_{-\infty}^y F(t)P(t) dt.
Следовательно,
\int_{-\infty}^y F(t)P(t) dt = F(y)^2/2.

Аналогично,
\int_y^{+\infty} F(t)P(t) dt = \int_y^{+\infty} F(t) dF(t) = 1 - F(y)^2 - \int_y^{+\infty} F(t)P(t) dt.
И, следовательно,
\int_y^{+\infty} F(t)P(t) dt = (1 - F(y)^2)/2.

Теперь мы можем вычислить вероятность правильной отгадки:
Q(y) = F(y) - F(y)^2/2 + (1 - F(y)^2)/2 = 1/2 + F(y)(1-F(y)).
Отсюда видно, что F(y)>=1/2, а максимум достигается, если мы правильно угадали y, т.е. F(y)=1/2.

← →
nikkie_ (2004-12-14 22:45) [23]

сорри, опечатка в последнем предложение. следует читать "Отсюда видно, что Q(y)>=1/2..."

← →
YurikGL © (2004-12-14 22:50) [24]

По сабжу. Нужны ограничения. Если ограничений снизу и сверху нет, то вероятность ИМХО будет 0.5 т.к. между нижним и верхним множествами существует взаимооднозначное соответсвие.

Правда есть одно но. Между множеством всех чисел и множеством чисел >А тоже взаимооднозначное соответствие.

← →
Nikolay M. © (2004-12-14 22:54) [25]

Не поленился, прикинул чисто комбинаторно.
Имеем 3 равнозначных варианта расположения авто:
100
010
001
Плюс дополнительно к ним имеем 3 возможных выбора игрока: 1, 2, 3 => всего получается 9 равновероятных комбинаций расположения авто и первичного выбора:
1|100, 2|100, 3|100
1|010, 2|010, 3|010
1|001, 2|001, 3|001
из них выигрышными является 3 варианта (те, что на гл. диагонали), т.е. вероятность выиграть равна 1/3. Дальше нужно действовать, исходя из условий игры, например, для случая 1|010: вначале загадана первая слева дверь, ведущий открывает третью, мы меняем выбор на вторую, получаем частоту выигрыша для данного расположения звезд, равную 1. Для всех 9 вариантов выигрыш при такой стратегии наступает в 6 случаях. Вероятность = 2/3! :(
Вот если бы привели хотя бы такой вариант решения, я бы поверил, а рассуждения типа "встречу или не встречу => 1/2" не катят :(

← →
Agent13 © (2004-12-14 22:58) [26]

> После осталось две двери. Решаем уже другую задачу. Вероятность
> нахождения авто за каждой из них 1/2

Нет не другую. После открытия двери мы как бы получаем дополнительную информацию и второй ход зависит от первого. В любом случае совет написать программку и самому во всём убедиться остаётся в силе.

← →
GEN++ © (2004-12-14 23:37) [27]

Можно педварительно, сколько угодно открывать/закрывать
двери, водить туда-сюда козлов с фиговым листом -
конечная операция: равновероятный выбор 1 из 2-х =>
P(машины)=P(козла/фиги)=1/2

← →
Юрий Зотов © (2004-12-14 23:42) [28]

> Agent13 © (14.12.04 22:58) [26]

> совет написать программку и самому во всём убедиться остаётся
> в силе.

Программы пишутся по алгоритмам. В данном случае - по формулам. И потому ничего не доказывают.

Верные формулы - верная программа.
Неверные формулы - неверная программа.

Весь вопрос здесь в том, зависимы эти два выбора, или нет. То есть - применима ли формула условной вероятности, или нет.

И на ЭТОТ вопрос не ответит никакая программа. Только тервер на него ответить может.

P.S.
Не взлетит!
:о)

← →
Agent13 © (2004-12-14 23:56) [29]

> Программы пишутся по алгоритмам. В данном случае - по формулам.
> И потому ничего не доказывают.

А по-моему я никому и не предлагал ничего доказывать программой. Это всего лишь наглядный способ убедиться в том, какая версия всё-таки правильная. А объяснение сему факту я уже приводил выше.

← →
Юрий Зотов © (2004-12-15 00:16) [30]

> Agent13 © (14.12.04 23:56) [29]

> Это всего лишь наглядный способ убедиться в том, какая версия
> всё-таки правильная.
ИМХО, формулы нагляднее.

> А объяснение сему факту я уже приводил выше.
Вы про [26] ?
> После открытия двери мы как бы получаем дополнительную
> информацию и второй ход зависит от первого.

Мы получаем лишь ту информацию, что за открытой дверью авто нет.
Но эта информация НИКАК не помогает нам правильно сделать второй выбор и поэтому второй ход НЕ зависит от первого.

Давайте сведем задачу к более понятной ситуации. Есть 2 закрытые двери и сто миллионов открытых. Я знаю, что за одной из закрытых дверей стоит авто. И вижу, что за открытыми дверями никакого авто нет. Значит ли это, что с вероятностью, почти равной единице, я уеду из студии на искомом авто?

Эт вряд ли. (с) тов. Сухов.

Выбирать-то я все равно буду одну из двух дверей. Наугад, и с равной вероятностью. А все прочие двери в мире никак не помогают мне сделать выбор, хоть они открыты, хоть даже с петель сняты.

← →
Юрий Зотов © (2004-12-15 00:28) [31]

Забыл P.S. написать:
Взлетит!
:о)

← →
nikkie_ (2004-12-15 00:36) [32]

Юра, ты не прав.

Прошлое обсуждение здесь:
http://dmclient.fatal.ru/thimble.htm

← →
Igorek © (2004-12-15 00:46) [33]

Про машину. Распишем варианты.
ABCD
A - где машина
B - дверь какую мы выбрали сначала
C - дверь, что открыл ведущий
D - (+ -) равность А и В (* - невозможный вариант)

112+ 212* 312-
113+ 213- 313*

121* 221+ 321-
123- 223+ 323*

131* 231- 331+
132- 232* 332+

Юрий Зотов © (14.12.04 23:42) [28]

> Не взлетит!

А про самолет я так и не понял, кстати. :-)

← →
Gero © (2004-12-15 00:51) [34]

nikkie_ (15.12.04 00:36)
> http://dmclient.fatal.ru/thimble.htm

А можно чтобы жителм друхих стран тоже смогли прочесть предыдущее обсуждение?

← →
Юрий Зотов © (2004-12-15 01:35) [35]

> nikkie_ (15.12.04 00:36) [32]

Прочитал. Это то, о чем там говорил Максим в [43] и о чем сказано здесь в [4]:

> Ответ: Все дело в том, что вероятности нахождения автомобиля
> за оставшимися двумя дверями не одинаковы! Ведь за выбранной
> участником дверью автомобиль либо есть (с вероятностью 1/3),
> либо нет.

Так было ДО открытия двери. Действительно, вероятность нахождения автомобиля за первоначально выбранной дверью была 1/3.

Но ПОСЛЕ открытия двери ситуация изменилась и стало ТОЧНО известно, что авто находится за ОДНОЙ из ДВУХ оставшихся дверей. Те есть, ПОСЛЕ открытия двери вероятность того, что авто стоит за первоначально выбранной дверью НЕ осталась равной 1/3 (как утверждается), а стала равной 1/2.

Поэтому неверно утверждение:
> Значит, для второй двери вероятность нахождения за
> ней автомобиля равна 2/3.

ПОСЛЕ открытия двери мы получаем уже совсем ДРУГОЕ испытание, с ДРУГИМИ условиями.

Коль, вот представь. Есть земной шар, на котором куча домов с кучей дверей. За одной из них стоит авто. Ты выбираешь любую дверь и я говорю - ОК, Коль, вот теперь будем считать, что я открыл все двери в мире, кроме той, которую ты выбрал и еще вот этой зеленой. За одной из них стоит авто, выбирай.

Ну и каким образом все мировое сообщество дверей помогает тебе выбрать ОДНУ из ДВУХ дверей? Да никаким.

ДО моих слов вероятность твоего выигрыша была ничтожной. А ПОСЛЕ моих слов ты ТОЧНО знаешь, что авто находится за ОДНОЙ из ДВУХ дверей, а вся остальная вселенная здесь ни при чем. Вероятность твоего выигрыша резко возросла.

Почему она возросла? Да потому, что изменились условия и теперь они определяют уже совсем ДРУГУЮ задачу. Вот и весь фокус.

← →
nikkie_ (2004-12-15 02:12) [36]

>Gero
кроме fatal-а сейчас мне некуда положить. narod в данный момент помер, а nm перестал принимать мой пароль.

>Юрий Зотов
да, объяснить лучше, чем то, как это сделал Максим, невозможно.
для тех, кто не может открыть страницу на fatal-e или не хочет читать обсуждение полностью, повторю его:

[43] McSimm © (24.06.03 16:20) Вот вам уже самое разжеванное: Есть три коробки. Разыграем обе стратегии для трех равновероятных случаев игры, (во всех играх изначально выбираем 1ю коробку): 1 игра. Деньги в 1й 2 игра. Деньги во 2й 3 игра. Деньги в 3й Используя стратегию "Не меняем выбор" выиграем деньги ОДИН раз - только 1ю игру Используя стратегию "Меняем выбор" выиграем ДВА раза - вторую и третью игру Еще вопросы есть?

не хочется ничего к этому добавлять... ошибка в твоем рассуждении в том, что ты почему-то считаешь, что вероятность вырастет с 1/3 до 1/2, хотя открытие одной из двух дверей не дает никакой новой информации о первой выбранной двери: я и так знаю, что за одной из оставшихся дверей пусто.

← →
Юрий Зотов © (2004-12-15 03:15) [37]

> nikkie_ (15.12.04 02:12) [36]

> открытие одной из двух дверей не дает никакой новой информации
> о первой выбранной двери

Совершенно верно. Зато оно дает абсолютно точную информацию о той двери, которая открыта. И эта информация позволяет тебе теперь уже выбирать не 1 из 3, а 1 из 2. Что является совершенно другой задачей.

Вот из дверей RGB ты выбрал R.

Что мы имеем ДО открытия? Есть три (три!) непонятных двери RGB, из которых (из трех!) правильная - одна. Вероятность, что это именно R - 1/3.

Что мы имеем ПОСЛЕ открытия двери B? Есть одна понятная дверь B и две (уже две!) непонятных RG, из которых (уже из двух!) правильная - одна. Вероятность, что это именно R - уже 1/2.

Теперь о вариантах Максима. Дело в том, что он перечислил не все возможные варианты. А вот их полный набор (всегда первоначально выбираю 1ю коробку).

1. Для стратегии "Не меняем выбор".
а). Деньги в 1, открыта 2. Я выиграл.
б). Деньги в 1, открыта 3. Я выиграл.
в). Деньги в 2, открыта 3. Я проиграл.
г). Деньги в 3, открыта 2. Я проиграл.

2. Для стратегии "Меняем выбор".
а). Деньги в 1, открыта 2. Я проиграл.
б). Деньги в 1, открыта 3. Я проиграл.
в). Деньги в 2, открыта 3. Я выиграл.
г). Деньги в 3, открыта 2. Я выиграл.

Как видишь, при любой стратегии имеем 2 варианта выигрышных, и столько же проигрышных. Фифти-фифти.

← →
nikkie_ (2004-12-15 03:23) [38]

>Юрий Зотов © (15.12.04 03:15) [37]

Дело в том, что Максим перечислил равновероятные события "Деньги в 1", "Деньги в 2", "Деньги в 3". Вероятность каждого события 1/3.

Ты же разбил событие "Деньги в 1" на два: "а). Деньги в 1, открыта 2" и "а). Деньги в 1, открыта 3". Вероятность этих событий 1/6.

← →
Юрий Зотов © (2004-12-15 04:11) [39]

> nikkie_ (15.12.04 03:23) [38]

Сдаюсь. Я понял, в чем взаимосвязь двух выборов.

Дело не в том, что ведущий как-то влияет на мой выбор (он у меня действительно всегда сначала 1 из 3, потом 1 из 2), а в том, что это как раз я своим первым выбором влияю на выбор ведущего - и тем самым опосредованно САМ создаю себе ситуацию второго выбора.
Как бы это не он, а я САМ открываю коробку, только его руками.

Если изначально я выбрал коробку с деньгами (а вероятность этого 1/3), то при смене выбора я проигрываю, при несмене - выигрываю.

Если же изначально я выбрал пустую коробку (а вероятность этого 2/3), то при смене выбора я выигрываю, при несмене - проигрываю.

Выходит, что смена выбора вдвое выгоднее.

Коль, приходи на предновогодний MMP - с меня пиво.
:о)

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 09:43) [40]

> Igorek © (15.12.04 00:46) [33]
> nikkie_ (15.12.04 02:12) [36]
> nikkie_ (15.12.04 00:36) [32]

Имхо, именно это я и расписал в [25]?
М-дя... Вот вам и здравый смысл...

← →
unick2 (2004-12-15 11:04) [41]

Вы забыли уточнить, что эта вероятность 2/3 будет такой при к-во опытов стремящихся к бесконечности ... ТОгда действительно, из 100 раз вы 66 раз угадаете где машина ... НО! Ведь Вам то разрешается открыть дверь только один раз ;)

← →
Sandman25 © (2004-12-15 11:08) [42]

[41] unick2 (15.12.04 11:04)

Вероятность не имеет ничего общего с числом испытаний.

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 11:22) [43]

> unick2 (15.12.04 11:04) [41]

А что же тогда классическое определенеи вероятности?
Вероятностью P(A) события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех равновозможных, попарно несовместных исходов.
Зачем мне что-то устремлять к бесконечности? А вероятность выпадения решки, в таком случае, равна 1/2 тоже при бесконечном бросании монетки?

← →
Unick2 (2004-12-15 11:27) [44]

Важное условие то, что ведущий открывает всегда ПУСТУЮ ДВЕРЬ ... сводя таким образом вероятность к 1/2 !!!!!

← →
Unick2 (2004-12-15 11:34) [45]

2NIkolay M. ;) Конечно! Кидаем монету 100 раз - она падает решкой. Какой отсюда вывод? ЧТо вероятность выпадения решки равно 1 (100%). Но ведь это неправильно!!!!! Потому как бросаем монетку еще 100 раз ... ЧТо будет? ;)

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 11:48) [46]

> Важное условие то, что ведущий открывает всегда ПУСТУЮ ДВЕРЬ
> ... сводя таким образом вероятность к 1/2 !!!!!

Обоснование на формулах, плз, а не "выпадет - не выпадет". Вероятности до открытия двери, условные вероятности после открытия двери, все как полагается.

> Кидаем монету 100 раз - она падает решкой. Какой отсюда
> вывод? ЧТо вероятность выпадения решки равно 1 (100%).

Бред сивой кобылы, извини, конечно. Все смешалось в доме Облонских.
Ты путаешь результаты опыта и определение вероятности, точнее, непонятно с какого перепуга подменяешь вероятность результатами наблюдений. Вероятность - она всегда вероятность, сколько бы раз ни была брошена монетка.

← →
Unick2 (2004-12-15 11:53) [47]

Задача сводится к другой .... Ведущий всегда открывает пустую дверь!!!!! Всегда!!!! ТО есть вероятность того, что закрытыми останутся 2 разные двери (пустая и с машиной) равна 1! Правильно? ТОгда вероятность открыть дверь с машиной из двух равновозможных вариантов равна 1/2!

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 11:58) [48]

> Задача сводится к другой ....

Не сводится.

> Ведущий всегда открывает пустую дверь

Да.

> вероятность того, что закрытыми останутся 2 разные двери
> (пустая и с машиной) равна 1! Правильно?

Да.

> ТОгда вероятность открыть дверь с машиной из двух равновозможных
> вариантов равна 1/2!

Нет. Варианты не равновозможны, я это показал в [25] (опять [25] :) ).

← →
Slider007 © (2004-12-15 12:16) [49]

Юрий Зотов © (15.12.04 1:35) [35]
Коль, вот представь. Есть земной шар, на котором куча домов с кучей дверей. За одной из них стоит авто. Ты выбираешь любую дверь и я говорю - ОК, Коль, вот теперь будем считать, что я открыл все двери в мире, кроме той, которую ты выбрал и еще вот этой зеленой. За одной из них стоит авто, выбирай.

Ну и каким образом все мировое сообщество дверей помогает тебе выбрать ОДНУ из ДВУХ дверей? Да никаким.

Прикольный пример :) ведь при первом выборе опредилить за какой из дверей машина практически не реально (ведь дверей несколько миллиардов), т.е. вероятность того, что я НЕ угадал составляет 99,9999...%. А когда все двери открыты кроме зелёной, то с вероятностью 99,9999...% я знаю что машина за ней .. т.е. при увеличении количества дверей вероятность угадать поменяв свой выбор УВЕЛИЧИВАЕТСЯ.

← →
Slider007 © (2004-12-15 12:18) [50]

Slider007 © (15.12.04 12:16) [49]
А когда все двери открыты кроме зелёной
попровка : .. кроме зелёной и указанной мною в первый раз ..

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 12:26) [51]

> Slider007 © (15.12.04 12:16) [49]
> Юрий Зотов © (15.12.04 1:35) [35]
> Коль, вот представь. Есть земной шар, на котором куча домов
> с кучей дверей. За одной из них стоит авто. Ты выбираешь
> любую дверь и я говорю - ОК, Коль, вот теперь будем считать,
> что я открыл все двери в мире, кроме той, которую ты выбрал
> и еще вот этой зеленой. За одной из них стоит авто, выбирай.
>
> Ну и каким образом все мировое сообщество дверей помогает
> тебе выбрать ОДНУ из ДВУХ дверей? Да никаким.
>
> Прикольный пример :) ведь при первом выборе опредилить за
> какой из дверей машина практически не реально (ведь дверей
> несколько миллиардов), т.е. вероятность того, что я НЕ угадал
> составляет 99,9999...%. А когда все двери открыты кроме
> зелёной, то с вероятностью 99,9999...% я знаю что машина
> за ней .. т.е. при увеличении количества дверей вероятность
> угадать поменяв свой выбор УВЕЛИЧИВАЕТСЯ.

Мой пост опять оставили в стороне?
А ведь он был еще на первой странице.

Nikolay M. © (14.12.04 22:29) [18]
Тогда по аналогии получается, что если мы поставим 100 дверей и ведущий откроет 98 из них, то для оставшихся двух дверей вероятности будут соответственно 1/100 и 99/100?

← →
Slider007 © (2004-12-15 12:28) [52]

Nikolay M. © (15.12.04 12:26) [51]
Nikolay M. © (14.12.04 22:29) [18]
Тогда по аналогии получается, что если мы поставим 100 дверей и ведущий откроет 98 из них, то для оставшихся двух дверей вероятности будут соответственно 1/100 и 99/100?

именно так ИМХО

← →
Unick2 (2004-12-15 12:28) [53]

Это называется математический фокус ;) ДА ... задача сводится к тому, что вероятность НЕ УГАДАТЬ где машина с первого раза к 2/3! И Nikolay M. предлагает это взять за случившееся событие! Но ведь это не так!!!! Я ж предлагаю взять за случишееся событие то, что при любом первом выборе, после открытия ведущим пустой двери 100% остается вариант 1 пустая и одна с машиной. В этом случае 1/2 ;) В общем "Поле чудес какое-то получается" ;) Спорить больше не хочу. Остался при своем мнении ;)

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 12:39) [54]

> Slider007 © (15.12.04 12:28) [52]
> Nikolay M. © (15.12.04 12:26) [51]
> Nikolay M. © (14.12.04 22:29) [18]
> Тогда по аналогии получается, что если мы поставим 100 дверей
> и ведущий откроет 98 из них, то для оставшихся двух дверей
> вероятности будут соответственно 1/100 и 99/100?
>
> именно так ИМХО

Угу. Достаточно повторить мои рассуждения для 4 дверей всего и 2 открываемых (пустых) дверей.
Будет 16 возможных вариантов, из них 12 выигрышных, вероятность (при смене двери) получается 3/4. По индукции легко показать, что для случая n дверей будет всего n*n вариантов, из них выигрышными (для выбранной стратегии) будет n*(n-1), поэтому вероятность будет (n-1)/n. Для миллиарда дверей вероятность выиграть практически единица.

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 12:44) [55]

> задача сводится к тому, что вероятность НЕ УГАДАТЬ где машина
> с первого раза к 2/3! И Nikolay M. предлагает это взять
> за случившееся событие!

Ткни меня пальцем в пост, где я такое предлагал?!

"Теория игр" - данное словосочетание о чем-то говорит? Если да, то док-ва [25] достаточно, чтобы, по крайней мере сорить словами вроде "а вот если..." и "откроет - не откроет".

← →
nikkie_ (2004-12-15 15:50) [56]

>Юрий Зотов © (15.12.04 04:11) [39]
>Коль, приходи на предновогодний MMP - с меня пиво.

Это 24-25-го, которая совместно с sources.ru? Не уверен, что перед Рождеством у меня получится.

>Nikolay M. © (15.12.04 09:43) [40]
Имхо, именно это я и расписал в [25]?
М-дя... Вот вам и здравый смысл...

В общем, твое рассуждение совпадает с рассуждением Максима, только он всегда выбирает 1-ю коробку, а ты выбираешь случайную. Кроме того, он явно сказал слова "стратегия игры". Имхо, его доводы более четкие. Но я рад за тебя, что ты разобрался. ;)

>unick2

У тебя какие-то странные представления о теории вероятностей. Наверное, стоит нормальный учебник какой-нибудь почитать, чтобы такую пургу не гнать. Вероятностная модель - это некоторое пространство событий + мера на нем. Через испытания вероятность не определяется.

Собственно в этом вероятность больше похожа на физику, чем на математику - если выбрать разные модели, то можно сколько угодно очень правильно рассуждать и получать разные ответы. Наверное, поэтому такие дебаты, как и с самолетом. :)

Vlad, ау! Ты где? Я ж тебе задачу решил ([22])... :))

← →
Nikolay M. © (2004-12-15 16:04) [57]

> nikkie_ (15.12.04 15:50) [56]
> В общем, твое рассуждение совпадает с рассуждением Максима,
> только он всегда выбирает 1-ю коробку, а ты выбираешь случайную.

Дык в самом начале они равнозначны. Так что пофиг.

> Кроме того, он явно сказал слова "стратегия игры".

Я тоже, но чуть позже ([54]).

> Но я рад за тебя, что ты разобрался. ;)

Спасибо :)))
К слову сказать, в/о у меня математическое, а не гуманитарное, так что не разобраться было бы странно.

← →
Кабан (2004-12-15 16:13) [58]

Странно то что не в первый раз эта простенькая задача вызывает такие дискусии, хотя ответ 2/3 в общем то очевиден. Насколько я помню на форуме всплывала более интересная задача про два конверта с деньгами:

Вам предлагают выбрать один из двух конвертов с деньгами.
Известно, что в одном из них денег в два раза больше, чем в другом.
Вы берете первый конверт и обнаруживаете N денег.
Теперь вам либо предлагают оставить деньги себе, либо взять другой конверт.
Вам приходят на ум следующие рассуждения:
С вероятностью 1/2 во втором конверте либо 2N денег, либо 1/2N денег.
Таким образом мат. ожидание суммы во втором конверте равно
1/2 * 2N + 1/2 * N/2 = 1.25N
1.25N > N следовательно нужно все время брать другой конверт.

Вообще теория вероятности дисциплина интересная и может откидывать и не такие номера, попробуйте, например, посчитать какова вероятность того что у кого-то в группе из 25 человек дни рождения совпадают. Вы будите удивлены.

← →
Vlad Oshin © (2004-12-15 16:45) [59]

> nikkie_ (15.12.04 15:50) [56]

я тут :)
я думаю..

← →
Кабан (2004-12-15 16:46) [60]

кстати почитал прошлую дискуссию, во весело было

← →
Igorek © (2004-12-15 22:05) [61]

Еще про машину.
Пусть в студии 1000000 дверей. Я выбираю одну. Потом ведущий открывает 999998 дверей. Не трогает мою дверь и еще одну. Где вероятнее всего авто?

---
Кто еще понятнее пояснит?

← →
Мирон © (2004-12-15 23:12) [62]

А можно так дело повернуть.
Три двери, ведущий, два чела выбирают себе по одной двери каждый. В случае, если один из них угадывает, имеем следующую ситуацию: ведущий открывает оставшуюся дверь, оба чела меняют свой выбор и у каждого вероятность выигрыша становится 2/3. Если не ошибаюсь, это означает, что есть ненулевая вероятность того, что каждый уедет на своей машине, чего быть не могет, т.к. тачка одна.

← →
GEN++ © (2004-12-16 00:49) [63]

Да! Результат достигнут - мозги закомпостированы начисто!
Пора в КАЗИНО.

← →
Мирон © (2004-12-16 01:33) [64]

Тут кто-то призывал написать программу и убедиться... Вуаля!

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); function Delta(Value: Integer): Integer; begin if Value = 0 then Result := 1 else Result := -1; end; var DoorWithCar, OpenedDoor, FirstSelect, SecondSelect, TryCount, GuessCount, Loop: Integer; begin GuessCount := 0; TryCount := 1000000; Randomize; for Loop := 1 to TryCount do begin DoorWithCar := Random(2); // прячем тачку FirstSelect := Random(2); // делаем первое предположение case FirstSelect of // ведущий открывает одну из дверей 0: begin if DoorWithCar = 0 // если сразу угадали then begin OpenedDoor := 1 + Random(1); // ведущий открывает любую из оставшихся дверей if OpenedDoor = 1 // меняем выбранную дверь then SecondSelect := 2 else SecondSelect := 1; end else begin if DoorWithCar = 1 then SecondSelect := 1 else SecondSelect := 2; end; end; 1: begin if DoorWithCar = 1 // если сразу угадали then begin OpenedDoor := 1 - Delta(Random(1)); // ведущий открывает либо дверь №0, либо №2 if OpenedDoor = 0 // меняем выбранную дверь then SecondSelect := 3 else SecondSelect := 0; end else begin if DoorWithCar = 0 then SecondSelect := 0 else SecondSelect := 2; end; end; 2:begin if DoorWithCar = 2 // если сразу угадали then begin OpenedDoor := 1 - Random(1); // ведущий открывает либо дверь №0, либо №1 if OpenedDoor = 0 // меняем выбранную дверь then SecondSelect := 1 else SecondSelect := 0; end else begin if DoorWithCar = 0 then SecondSelect := 0 else SecondSelect := 1; end; end; end; if SecondSelect = DoorWithCar then inc(GuessCount); end; Button1.Caption := FloatToStr(GuessCount/TryCount); end;

Получаемое значение колеблется около 1/2 в пределах одной тысячной. У кого получались другие результаты - код в студию!

← →
nikkie_ (2004-12-16 03:29) [65]

>Мирон
не позорься. справку по Random почитай.

← →
Бывающий (2004-12-16 04:07) [66]

Я, лично, тоже считаю, что объяснение: Nikolay M. © (14.12.04 22:54) [25] самое наглядное и понятное. Если бы я не знал задачу, и прочитал бы объяснение от McSimm приведенное nikkie_, то ничего бы не понял. Точно так же как и объяснение AgentSmith"a - совершенно не понятное.

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 08:32) [67]

я тут, я подумал :)
(распечатал, дома лекции еще почитал)
Спасибо, nikkie_

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 08:59) [68]

епрст!
так то было вчера, а сегодня,.. во заучился..
Слушай, nikkie_:
Я говорю 2. Я всегда буду говорить 2. А второе число загадывать то 1, то 3. Поочереди.
Где же тут >0.5?
Щаз заплачу...

← →
Думкин © (2004-12-16 09:14) [69]

> [68] Vlad Oshin © (16.12.04 08:59)

У тебя числа выбираются случайно по разному. 2 функции.
А если ты будешь случайно с равномерным распределением выбирать во множестве (1,2,3) - то?

← →
Мирон © (2004-12-16 09:14) [70]

nikkie_ (16.12.04 3:29) [65]
Н-нда... Каюсь, облажался. Увеличиваем везде аргумент рандома на единицу, запускаем прогу и все равно получаем...

2/3! Блин, все равно не верю!

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 09:28) [71]

уже опять понятно, кажется :)

это как М.Твен писал, что невозможно новичку понять, что нужно поворачивать руль велосипеда в ту же сторону, куда и падаешь...

попробую, пожалуй, програмку накидать, с равномерным распределением от - много до много. Но там да, скорее всего получится.
Только вот мне кажется, что [22] это "не человеческий" путь решения, не может человек "равномерно" загадывать. (Скажем, 99% не загадает отрицательных чисел). Тем более, он скорее всего избирет стратегию, какую-нибудь. (как я, выше).

> Спасибо, nikkie_

← →
Думкин © (2004-12-16 09:37) [72]

> [71] Vlad Oshin © (16.12.04 09:28)

Как раз человеческий. Множество можно произвольное линейно упорядоченное взять.

← →
NeyroSpace © (2004-12-16 10:02) [73]

IMHO в одном случае считают априорную вероятность, а в другом апосториорную. Отсюда и конфликт...
Нужно сразу определиться что считаем :-)

А самолет все-таки не взлетит! Заменим самолет на Мюнхаузена:
Мюнхаузен бежит по транспортеру и тянет себя за волосы, вот он взлетит, а самолет нет :-)

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 10:37) [74]

упростим сабжевую задачу:
некто загадывает 2 числа, z1 и z2. Я перед этим загадываю свое число, M. Далее некто называет мне свое число, пусть это всегда будет z1. И пусть мы не выходим за рамки (0, 2 147 483 647).
Верны ли такие допущения? Если верны:
Тогда, после того как я узнаю z1, я сравниваю его с M.
Если M>z1, то я говорю, что и z2 больше z1.
Если M<z1, то я говорю, что и z2 меньше z1.
Верна ли такая стратегия?

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 10:44) [75]

> Vlad Oshin © (16.12.04 10:37) [74]
> упростим сабжевую задачу:
> некто загадывает 2 числа, z1 и z2. Я перед этим загадываю
> свое число, M

конечно , я могу взять его = 2 147 483 647 / 2, и это будет лучше, но надо все же тоже случайно, чтоб random прикрутить

← →
NeyroSpace © (2004-12-16 10:48) [76]

Я вообще не понял условия сабжевой задачи можно считать полными?
Разве можно что-то пытаться угадать не зная ф-ции распределения?

← →
nikkie_ (2004-12-16 13:26) [77]

>Vlad Oshin
>Тогда, после того как я узнаю z1, я сравниваю его с M.
>Если M>z1, то я говорю, что и z2 больше z1.
>Если M<z1, то я говорю, что и z2 меньше z1.
>Верна ли такая стратегия?

да.

>Я говорю 2. Я всегда буду говорить 2. А второе число загадывать >то 1, то 3. Поочереди.
>Где же тут >0.5?
>Щаз заплачу...

я, собственно, говорил про это. в задаче не сказано, какие числа загадываются и какими свойствами обладает их распределение. решение я написал для распределения, когда вероятность того, что z1=z2 равна 0. впрочем, в любом случае описанная стратегия игры лучше стратегии "наугад".

если противник загадывает равновероятно 1 и 3, то есть 4 равновероятных ситуации:
1. z1=1, z2=1
2. z1=1, z2=3
3. z1=3, z2=1
4. z1=3, z2=3

вариант 1. играем в такую игру: если z1<>z2, и я правильно сказал кто из них больше - мой выигрыш 1. если я сказал неправильно - мой выигрыш -1. если z1=z2, то мой выигрыш 0.

стратегия "наугад" дает выигрыш 0. если я использую описанную стратегию с M=2, то я никогда не проигрываю! в ситуации 1,4 выигрыш 0, в ситуации 2,3 выигрыш 1. итого, ожидаемый выигрыш 1/2.

вариант 2. играем в такую игру: если z1<>z2, и я правильно сказал кто из них больше - мой выигрыш 1. если я сказал неправильно - мой выигрыш -1. если z1=z2, то мой выигрыш -1.

если вероятность z1=z2 не ноль, то эта игра невыгодная для нас. но описанная стратегия дает возможноть не проиграть: выигрыш=0. а стратегия "наугад" дает выигрыш -1/2: в ситуации 1,4 выигрыш -1, в ситуации 2,3 выигрыш 1 или -1 с вероятностью 1/2, т.е. ожидаемый 0.

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 13:54) [78]

> nikkie_ (16.12.04 13:26) [77]

понял.

Кстати, результаты теста суперские!

Прогнали раз: 1000000
Загадывали не больше: 1000000
====
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
Верно 67
Не верно 33
---------
============================
randomize; assignfile(t,"eprst.txt"); rewrite(t); zikl:=strtoint(edit1.text); //сколько раз прогнать Max:=strtoint(edit2.text); //не больше скольки загадываем append(t); Writeln(t,"Прогнали раз: "+inttostr(zikl)); writeln(t,"Загадывали не больше: "+inttostr(Max)); writeln(t,"===="); closefile(t); // дабы не скучно ждать было ProcessID := GetCurrentProcessID; ProcessHandle := OpenProcess(PROCESS_SET_INFORMATION,false,ProcessID); SetPriorityClass(ProcessHandle, REALTIME_PRIORITY_CLASS); ThreadHandle := GetCurrentThread; SetThreadPriority(ThreadHandle, THREAD_PRIORITY_TIME_CRITICAL); for k:=0 to 10 do begin / на всякий случай 10 раз :) da:=0; net:=0; for lop:=0 to zikl do begin m:=random(Max); // Собственно z1:=random(Max); // наша z2:=random(Max); // стратегия if (m>z1) then if (z1<z2) then da:=da+1 else net:=net+1; // она if (m<z1) then if (z1>z2) then da:=da+1 else net:=net+1; // же end; reset(t); append(t); Writeln(t,"Верно "+inttostr(round((da/zikl)*100))); writeln(t,"Не верно "+inttostr(round((net/zikl)*100))); writeln(t,"---------"); closefile(t); end; label1.Caption:="Все";

> Я говорю 2. Я всегда буду говорить 2. А второе число загадывать
> >то 1, то 3. Поочереди.
> >Где же тут >0.5?
> >Щаз заплачу

да это я уж так, к слову :)

Ну, СПАСИБО!!!

← →
nikkie_ (2004-12-16 13:59) [79]

>Только вот мне кажется, что [22] это "не человеческий" путь решения, не может человек "равномерно" загадывать.

ну про равномерность распределения речи не было. собственно не требуется и чтобы загадывались сколь угодно большие положительные и отрицательные числа. пусть ведущий загадывает случайное число из интервала [a,b]. если ты сможешь загадать M из этого интервала, то уже вероятность будет больше 1/2. если условия задачи не запрещают, то ты можешь выбрать M=первое названное число (тогда первый ответ делаешь наугад). а после нескольких ходов игры у тебя будет некоторое приближение к неизвестному распределению и ты можешь откорректировать стратегию, найдя приближение к "среднему" значение (т.е. тому, для которого F(M)=1/2).

а если говорить про психологию, то человек неспособен генерить независимые случайные величины. если заставить человека писать "случайную" последовательность нулей и единиц, то результат не будет случайным.

← →
Igorek © (2004-12-16 14:05) [80]

NeyroSpace © (16.12.04 10:02) [73]
А самолет все-таки не взлетит!
Взлетит! Отчего же не взлетит? :-)

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 15:05) [81]

Убедился. Доволен, как танк. Еще раз спасибо.

А теперь так давайте:
загадываем только целые на отрезке (-37,37) (Мы загадываем 0, сразу)
нам говорят, допустим, 5
Значит, вероятнее всего, что второе число будет меньше, из оставшихся (-37,4) ему вероятнее всего быть отрицательным.
Теперь переводим, как можно догадаться было :), на рулетку.
Все красные это +, черные это -, зеро это 0.

Что же получается? если падает красное, то скорее всего следующее будет черное?

Чушь... Где же ошибка?

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:08) [82]

Значит, вероятнее всего, что второе число будет меньше, из оставшихся (-37,4) ему вероятнее всего быть отрицательным.

Первое: 41/75
Второе: 37/75

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 15:13) [83]

> Sandman25 © (16.12.04 15:08) [82]

не понял

PS
скорее всего, фокус в том, что черные и красные идут вперемежку?

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:26) [84]

[83] Vlad Oshin © (16.12.04 15:13)

Вероятнее всего, что выпадет от -37 до +4, при этом вероятнее всего, что выпадет от -37 до -1. Но дело в том, что во втором случае речь идет про условную вероятность - выпадение от -37 до -1 при условии, что выпало от -37 до +4. Если рассматривать полную вероятность (а нас в казино интересует именно она), то получим, что вероятность выпадения от -37 до -1 все-таки меньше 1/2, точнее 37/75.

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:28) [85]

Иначе говоря: (42/75)*(37/42)=37/75
Оба множителя больше половины, а произведение - меньше.

← →
NeyroSpace © (2004-12-16 16:02) [86]

Нужно подождать пока в казино выпадет подряд 3 "красных", поставить все на "черное" и молиться, молиться, молиться :-)

← →
Думкин © (2004-12-17 06:21) [87]

> [79] nikkie_ (16.12.04 13:59)
> а если говорить про психологию, то человек неспособен генерить независимые случайные величины. если заставить человека писать "случайную" последовательность нулей и единиц, то результат не будет случайным.

Это описано, кстати, в книге одного Венгерского математика. (забыл и имя и название - :( старпер блин). dmitry99 напомнит.

← →
Sandman25 © (2004-12-17 09:00) [88]

[58] Кабан (15.12.04 16:13)

Так как все-таки разрешить указанный парадокс? Уже 2 дня думаю, в инете все перерыл, нашел кучу парадоксов тервера, кроме указанного. В чем ошибка?

← →
default © (2004-12-17 13:10) [89]

на счёт дверей можно же с помощью простых здравых рассуждений ответ получить без всякой теории веротности(почти):
сначала вероятность угадать 1/3
поскольку нет повода предпочесть любую дверь любой другой
это практически значит что при достаточно большом числе игр угадать машину получится примерно в трети игр, очевидно, неугадаем в 2/3 игр, НО что самое главное "неугадывание однозначно" - то есть всего лишь одна дверь(после того как ведущий откроет пустую дверь) является альтернативой первичному выбору, поэтому если мы каждый раз будем менять свой первичный выбор на ЕДИНСТВЕННУЮ альтернативу мы угадаем в 2/3 игр то есть увеличим свои шансы вдвое от первоначальных

← →
default © (2004-12-17 14:55) [90]

Sandman25 © (17.12.04 09:00) [88]
попросту неверное применение математического ожидания
опровергнуть можно по-разному - например, провести такие же рассуждение при условии что выбор всегда сначала останавливаем на втором конверте, они укажут на выбор первого конверта
таким образом получим "взаимные ссылки" - выбор не определён отсюда рассуждения не верны
теперь почему не верны
неформально можно так
что есть математическое ожидание?
практически можно пояснить так(формально это теоретическое среднее - предел к которому по вероятности стремится среднее арифметическое значений случайной величины при стремлении числа опытов в бесконечность[поскольку частоты стремятся по вероятностям к соответствующим вероятностям])
поясню на примере, специально на очень простом
кидаются две кости неутяжелённые
пусть нам за сумму равную четырём дают 50 баксов иначе забирают 5 баксов
вероятность получить 50 баксов будет 3/36=1/12(три комбинации:
13,22,31), вероятность потерять 5 баксов - 11/12
то есть при достаточно большом N мы получим примерно N/12
50 баксовых выигрышей, в остальных случаях будем проигрывать по 5 баксов
и при N играх(где N велико) мы в результате получим
50*N/12+(-5)*11*N/12=-5*N/12 баксов
чтобы найти среднюю сумму выиграша за игру разделим на N
и получим то самое матожидание: -5/12 - то есть в среднем за игру мы теряем примерно полбакса
теперь посмотрим на выражение
1/2 * 2N + 1/2 * N/2 = 1.25N
то есть примерно в половине случаев во втором конверте будет сумма вдвое большая чем в первом исходя из слагаемого 1/2*2N
(сравниваем со значением N в первом конверте)
то есть в половине случаев в первом конверте N во втором 2*N
(N не фиксировано к тому же)
но слагаемое 1/2* N/2 говорит что примерно в половине случаев во втором конверте будет сумма в два раза меньшая чем в первом
то есть в половине случаев в первом конверте N во втором N/2
получается что в первом конверте всегда находится N
ошибка, очевидно, в том что матожидание считается при нефиксированном N

← →
Кабан (2004-12-17 16:40) [91]

Рассмотрим отдельную задачу, никак не связанную с исходной. Вам дали конверт со 100р и предложили второй конверт, в котором с вероятностью 1/2 либо 200р либо 50р. Каково м/о суммы во втором конверте?

← →
nikkie_ (2004-12-17 16:46) [92]

имхо, ошибка в том, что считается, что события "во втором конверте N/2" и "во втором конверте 2N" - равновероятны. это не так.

ЗЫ хотел добавить к своим выкладкам в [22]:
я чересчур сложно считал интеграл
\int F(x)P(x) dx = \int F(x) dF(x)
надо было сразу сказать, что
\int F(x) dF(x) = F(x)^2/2

← →
default © (2004-12-17 16:48) [93]

Кабан (17.12.04 16:40) [91]
125>100 Вы хотели мне доказать...
тут сумма в первом конверте фиксирована
тем более 100 рублей уже есть, а тут лишь теоретическое среднее работаюшее при больших выборках 125, хи, я бы выбрал 100 рублей

← →
Кабан (2004-12-17 16:52) [94]

при чем здесь некое теоретическое среднее, да к тому же работающее при больших выборках

тервер четко говорит, что м/о суммы во втором конверте 125р и, если вы хотите действовать по вероятности, вам нужно брать второй конверт

← →
default © (2004-12-17 16:54) [95]

Кабан (17.12.04 16:52) [94]
стоп
исходная задача звучала примерно так?
берётся фиксированный конверт всегда и потом исходя их мо делается выбор в пользу второго конверта?

← →
Кабан (2004-12-17 16:55) [96]

что стоп, во второй задаче нужно брать второй конверт?

default © (17.12.04 16:54) [95]
я просто хочу выяснить правильно ли понял я задачу
выбор первого конверта фиксирован или делается наугад?

← →
Кабан (2004-12-17 17:01) [98]

наугад конечно

← →
nikkie_ (2004-12-17 17:01) [99]

>Кабан
>во второй задаче нужно брать второй конверт?
берешь или не берешь - матожидание будет одинаково.

ты сам парадокс видишь? по-твоему получается, что надо открыть первый конверт, а потом выбрать второй. и тогда матожидание будет больше. зачем тогда открывать первый конверт? давайте сразу второй открывать.

← →
Кабан (2004-12-17 17:03) [100]

вот в этом то и парадокс

если рассмотреть вторую задачу отдельно, то ответ очевиден, надо брать второй конверт

но если применить эти рассуждения к первой, то получается полная ерунда

← →
nikkie_ (2004-12-17 17:10) [101]

>то ответ очевиден
на первом курсе мехмата учат тому, что если доказывающий начинает аппелировать словами типа "очевидно", то у него просто нет доводов. и именно тут дыра.

Кабан (17.12.04 17:03) [100]
хотите проверьте программой
const
N = 10000000;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
i, succ: Cardinal;
M: Array[0..1] of Byte;
begin
Randomize;
succ := 0;
for i := 1 to N do begin
M[0] := Random(2);
M[1] := 1 - M[0];
Inc(succ, M[1 - Random(2)]);
end;
Caption := FloatToStr(succ/N)
end;

nikkie_ (17.12.04 17:10) [101]
ну для отдельного случая действительно очевидно
хотя выбор второго конверта в этом случае даст выигрышь при большом числе испытаний
а в вопросе как поступить выгодней:
получить сто рублей или кинуть монетку на получение 50 или 200 рублей выбор сомнителен
с точки зрения формалистики матож-ие для первого конверта 100 для второго 125 и казалось бы следует попытать удачу
но я бы, например, взял 100 рублей и думаю был бы прав

default © (17.12.04 14:55) [90]
ошибка, очевидно, в том что матожидание считается при нефиксированном N

ОК. Вот я открыл конверт и в нем лежало 100руб. Значит во втором либо 50, либо 200 рублей. Так как 100р - фиксировано, то нельзя сказать, что мат ожидание денег во втором конвете 125 р, так что ли??

← →
nikkie_ (2004-12-17 18:16) [105]

>[102] default
программа считает вероятность угадать один из двух конвертов. и причем здесь матожидание выигрыша? и вообще причем здесь деньги?

>[103] default
ну для отдельного случая действительно очевидно
хотя выбор второго конверта в этом случае даст выигрышь при большом числе испытаний
это наивные рассуждения. точно такие, как в задаче с 3-мя коробками: "выбор из двух коробок, значит вероятность 1/2".

надо действовать так: суммарное количество денег в конвертах - случайная величина x, имеющая некоторое распределение F(x), неизвестное нам. в терминах этой функции можно вычислить условные вероятности P(x2=2y|x1=y) (вероятность того, что во втором конверте 2y денег при условии того, что в первом y денег) и P(x2=y/2|x1=y).

эти вероятности не будут всегда равны 1/2! на пальцах: если ведущий кладет от 0 до 1000р, то найдя в первом конверте 750р, вероятность найти во втором конверте 1500р равна нулю.

после того, как эти вероятности посчитаны, можно считать матожидание выигрыша:
2y*P(x2=2y|x1=y) + y/2*P(x2=y/2|x1=y)

Блин, дошло наконец. Мы просто сравниваем разные величины. Когда оба конверта закрыты - для нас критерием выигрышности стратегии является вероятность, а после того как мы открыли один конверт мы уже считает критерием выигрышности - мат ожидание("мат ожидание денег в закрытом конверте больше, чем денег в открытым - значит нужно брать закрытый конверт" ). Если и во втором случае за критерий считать вероятность, то парадокса нет!!

nikkie_ (17.12.04 18:16) [105]
если ведущий кладет от 0 до 1000р,
Этого условия в задаче не было.

на счёт [58]
доказ-во неправильности решения
конверты можно моделировать монетой
если выпал орёл, то первый конверт больший второй меньший(по сумме в них), иначе наоборот
то есть две комбинации
наш выбор наугад тоже монетой
если орёл то выбираем первый конверт иначе наоборот
тоже две комбинации
отсюда вероятность выбора конверта с большей суммой
будет определяться как 2/4=1/2
комбинации успеха: на обоих монетах орёл, на обоих решка
при изменении первоначального выбора конверта в силу симметрии, совершенно очевидно, вероятность не изменится и эти выкрутасы останутся лишь ими, бесмысленными действиями
jack128 © (17.12.04 17:50) [104]
когда фиксировано как раз всё нормально

nikkie_ (17.12.04 18:16) [105]
всё в программе верно
0, 1 массива - это больше и меньше характеристики конверта
при индексации 0, 1 - это выбор конверта

← →
nikkie_ (2004-12-17 18:56) [109]

>[106] jack128
>если ведущий кладет от 0 до 1000р,
>Этого условия в задаче не было.
не было. это пример. дело в том, что какое-то распределение вероятности должно быть.

ошибка Кабана в том, что считает, что вероятность того, что в двух конвертах лежит (y+2y)=3y денег равна вероятности того, что в двух конвертах лежит (y+y/2)=3y/2 денег. рассуждая также дальше, мы получим, что вероятность того, что там лежит 3y*2^n денег, точно такая же. а в бесконечном числе точек не может быть равная ненулевая вероятность.

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
рассуждая также дальше
куда дальше??? Что то я не понял логику

Еще раз:
Парадокс, как я его понял, заключался в том, что, с одной стороны(до вскрытия конверта) нам было все равно, какой конверт вскрывать(вер-сть выигрыша в любом случае - 50%), а с другой(после вскрытия конверта) нам уже НЕ все равно, мы должны выбрать другой, не вскрытый конверт, вскрытие нам никаких знаний не добавило. Решение этого парадокса - [106]

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
они действительно одинаковые обе по 1/2
см [107]

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
вообще-то про то что значение N даёт какие-то поводы для переоценки вероятностей в условии не было(условные вероятности отпадают)

jack128 © (17.12.04 19:17) [110]
если
"вскрытие нам никаких знаний не добавило"
то откуда "нам уже НЕ все равно"
ошибаешься
см [107]
вообще парадокс [58] банален
как я уже говорил неверное применение матожидания

default © (17.12.04 19:45) [113]
"вскрытие нам никаких знаний не добавило"
то откуда "нам уже НЕ все равно"
вот в том то и дело. В этом и есть парадокс. А на самом деле нам все равно, как ты показал в [110]. Вероятность выигрыша как была 50%, так и осталась. Все дело в подмене критериев успешной игры.

default © (17.12.04 19:45) [113]
как я уже говорил неверное применение матожидания
Мат ожидание применено правильно. После вскрытия N - неслучайная, вполне определённая величина.

Юрий Зотов © (14.12.04 22:38) [20]
Взлетит!

ПЯТЬ БАЛОВ :)))))))))))))))))

Nikolay M. © (14.12.04 18:37) [11]
Ни о каких 2/3 речи нет. Опровергнешь?

Ты вроде и сам разобрался, я дальше тему не читал, но объясню всем как умею.

вы неправильно понимаете КАК меняет шансы ведущий при открытии ПУСТОЙ двери. Нужно осознать только два тождества:

1) Если вы в начале выбрали правильную дверь, то перемена решения приведет к проигрышу

2) если вы в начале выбрали неправильную дверь, то перемена решения приведет к выигрышу.

А вероятность в начале выбрать правильную дверь равна12/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

Piter © (17.12.04 20:46) [115]
вероятность в начале выбрать правильную дверь равна12/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

вероятность в начале выбрать правильную дверь равна 1/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

← →
nikkie_ (2004-12-17 20:57) [117]

>Piter
что-то ты от жизни отстал. про двери все уже все поняли. речь теперь идет о конвертах с зарплатой. то ли тебе зарплату удвоят, то ли уполовинят.

>jack128
>Все дело в подмене критериев успешной игры.
Мат ожидание применено правильно.
имхо, матожидание выигрыша изначально является тем, что хочется максимизировать. неужели ты считаешь, что для того, чтобы получить как можно больше денег, ты должен открыть первый конверт, посмотреть в него, а забрать деньги из второго?

jack128 © (17.12.04 20:10) [114]
применено формально то оно конечно верно
я имел ввиду как ты выразился "подмену критериев"
вообщем друг друга поняли)

Sandman25 © (17.12.04 09:00) [88]
вообщем, при выборе первого конверта и получения информации о его сумме, не зная области допустимых значений сумм в конвертах,
не может быть никаких объективных причин предпочесть иной конверт выбранному, отсюда никакая глупость вроде вычисления какой-то функции(в условии задачи - математического ожидания)
не даст ничего

← →
Кабан (2004-12-20 10:34) [120]

Во как завернул:
>>ошибка Кабана в том, что считает, что вероятность того, что

дело в том что задача довольно старая и я в свое время довольно долго думал на эту тему, я ее привел лишь в качестве примера и сам давно разобрался в причинах парадокса :)

← →
nikkie_ (2004-12-20 14:41) [121]

>Во как завернул:
русский не родной :)

>и сам давно разобрался в причинах парадокса :)
ну помоги и остальным разобраться в причинах. пока что еще нет согласия, в чем, собственно, парадокс состоит.

jack128 утверждает, что парадокс в том, что меняется критерий. мое имхо - критерий один и тот же - взять как можно больше денег.
только для того, чтобы формализовать его, надо считать, что имеется некоторая случайная величина Y (с фиксированным распределением, пусть и неизвестным нам), которая описывает количество денег, которые ведущий кладет в конверт. тогда в одном конверте - Y/3 денег, а в другом - 2Y/3 денег. матожидание выигрыша при случайном выборе конверта = матожидание(Y)/2.

далее утверждается, что если открыт конверт, в котором X денег, то во втором конверте равновероятно может быть 2X или X/2 денег, и, меняя конверт, мы увеличиваем матожидание выигрыша. на самом деле, при фиксированном распределении Y эти вероятности не одинаковые.

default

На уровне житейской логики все понятно, хотелось бы объяснения именно формального.

[121] nikkie_ (20.12.04 14:41)

По-моему, можно считать величину Z равномерно распределенной на бесконечном отрезке. При этом нам говорят значение N и сообщают, что это либо Z/2 либо 2Z. Цель состоит в том, чтобы взять другой конверт, если это Z/2, и оставить выбранный, если это 2Z. Задача не изменилась, а вероятности равны 1/2. Вроде бы?

Кабан
Просьба рассказать давно выясненное объяснение парадокса

← →
nikkie_ (2004-12-20 17:28) [123]

>Sandman25
>По-моему, можно считать величину Z равномерно распределенной на бесконечном отрезке.
:) По-моему, здесь многие так считают. Но это невозможно!

Дискретный аналог (для тех, кого пугают интегралы): можно ли считать, что некоторая случайная величина равновероятно принимает произвольные натуральные значения? Какая тогда будет вероятность, что случайная величина окажется равной 1?

[123] nikkie_ (20.12.04 17:28)
Дискретный аналог (для тех, кого пугают интегралы): можно ли считать, что некоторая случайная величина равновероятно принимает произвольные натуральные значения?

А если рассмотреть предел распределения на отрезке (0,a) при a -> бесконечность?

Какая тогда будет вероятность, что случайная величина окажется равной 1?

У нас другой случай - нам становится известно, что она либо 1, либо 4.

← →
nikkie_ (2004-12-21 17:14) [125]

У нас другой случай - нам становится известно, что она либо 1, либо 4.

Я задал вопрос, не имеющий отношения к условию задачи. Пусть есть случайная величина Z равновероятно принимающая значения 1,2,3,... Какова тогда вероятность, что Z=1? Равновероятность означает, что P(Z=1)=P(Z=2)=P(Z=3)=... А кроме того, ряд P(Z=1) + P(Z=2) + P(Z=3) + ... должен сходиться и его сумма должна быть равна 1. Ну так чему равно P(Z=1)?

А если рассмотреть предел распределения на отрезке (0,a) при a -> бесконечность?

Какой именно предел? Для функций существует понятие равномерной и поточечной сходимости. Равномерно такая последовательность функций распределения не сходится. Поточечно - сходится к функции тождественно равной нулю. Только эта функция не есть функция распределения.

---

Если кому-нибудь непонятно то, что я писал в этой ветке, то рекомендую прочитать следующие несколько страничек. Ничего сложного в этом нет. Но после прочтения будет понятен математический аппарат теории вероятности.

Колмогоровская аксиоматика теории вероятности:
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node10.html#SECTION00031000000000000000
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node11.html#SECTION00032000000000000000

Определение случайной величины:
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node26.html#SECTION00061000000000000000

Функция распределения случайной величины:
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node29.html#SECTION00071000000000000000

Sandman25 © (20.12.04 17:19) [122]
Просьба рассказать давно выясненное объяснение парадокса
см Default [90]

nikkie_ (21.12.04 17:14) [125]
Ну так чему равно P(Z=1)?
В вышке эту функцию P никакой греч. буквой не обозначают? Типа сигма-функция или что нибудь в этом роде??? (Просто в памяти, что шевелится, но вспомнить не могу)
А в обычном виде, типа P(z) = <какая то константа> такую функцию не записать, конечно..

← →
nikkie_ (2004-12-22 13:32) [127]

см Default [90]

не будет ли любезен глубокоуважаемый джин... (с) объяснить мне смысл текста, на который он сослался? я чего-то понять его не могу:

получается что в первом конверте всегда находится N
ошибка, очевидно, в том что матожидание считается при нефиксированном N

---

В вышке эту функцию P никакой греч. буквой не обозначают?

я всегда считал, что вероятность конкретного события - это число, а не функция.

> [125] nikkie_ (21.12.04 17:14)

По ссылкам - Чернова мой семинарист по ТВ и статистике. :)

← →
nikkie_ (2004-12-22 17:03) [129]

>Думкин
Надо же :)
Я предполагал, что тебе будет приятно увидеть ссылку на nsu.ru,
но что такое попадание получится...
C удовольствием дал бы ссылку на www.msu.ru, но увы.
За альма-матер обидно, но рад, что все-таки есть хорошие курсы теорвера в инете.

nikkie_ (22.12.04 13:32) [127]
я думаю разгадка такая
допустим что в конвертах лежит 100 и 200 рублей
пусть наугад мы взяли конверт с 100р, матожидание будет
1/2(50+200)=125, delta1=125-100=25
пусть наугад взяли второй конверт, матожидание будет
1/2(100+400)=250, delta2=250-200=50
delta2>delta1
и вывод-то в пользу какого-то конверта с точки зрения их матожиданий можно делать естественно только после их сравнения, что мы сделать не можем имея значение только одного матожидания
а когда мы поступаем как в условии задачи мы вроде бы правильно всё делаем исходя из известного N, но не учитываем матожидание другого конверта поэтому мы где-то в этом выигрываем где-то проигрываем вообщем действуем в конце концов наугад

nikkie_ (22.12.04 13:32) [127]
а собственно о чём тут вообще говорить
какое формальное доказательство требуется
если в самом условии писано
"С вероятностью 1/2 во втором конверте либо 2N денег, либо 1/2N денег."
всё, с этого момента говорить не о чем поскольку вероятности
что в другом конверте сумма больше равна 1/2(что меньше тоже)
можно только гадать
это было тысячу раз сказано и выделено жирным шрифтом в [119]
и совершенно справедливо говорил jack128 о подмене критерия
нам нужна вероятность а мы её с какого-то перепугу заменяем средним арифметическим, это полный бред

Если во второй кладут после открытия первого, то никакого парадокса, выбирать второй, не так ли ?

Если положат в оба конверта до открытия первого (ориг. условие), то пофиг какой выбирать, не так ли ?

Тут какая то штука вроде [39], первым выбором влияем на это самое N.

Если сначала положили что-то в конверты, потом при выборе первого во второй положили или сумма из первого / 2 или сумма из первого * 2, то действительно нужно выбрать второй. это пояснение первого вопроса из [132].

GuAV © (25.12.04 02:17) [134]
можно брать но это ничего не изменит в чём и был собственно спор(может и есть)
представь послед-ть выбора конвертов
1221221121212
и инверсию
2112112212121
думаешь что-то этим изменится?
см [107]

вру, задача была(или есть для кого-то) в формальном опровержении казалось бы правильных рассуждений приведённых в условии задачи

Вероятность. Задача с ответом Объясните мне как такое возможно. Найти похожие ветки