Вероятность. Задача с ответом Объясните мне как такое возможно.

← →
Igorek © (2004-12-16 14:05) [80]

NeyroSpace © (16.12.04 10:02) [73]
А самолет все-таки не взлетит!
Взлетит! Отчего же не взлетит? :-)

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 15:05) [81]

Убедился. Доволен, как танк. Еще раз спасибо.

А теперь так давайте:
загадываем только целые на отрезке (-37,37) (Мы загадываем 0, сразу)
нам говорят, допустим, 5
Значит, вероятнее всего, что второе число будет меньше, из оставшихся (-37,4) ему вероятнее всего быть отрицательным.
Теперь переводим, как можно догадаться было :), на рулетку.
Все красные это +, черные это -, зеро это 0.

Что же получается? если падает красное, то скорее всего следующее будет черное?

Чушь... Где же ошибка?

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:08) [82]

Значит, вероятнее всего, что второе число будет меньше, из оставшихся (-37,4) ему вероятнее всего быть отрицательным.

Первое: 41/75
Второе: 37/75

← →
Vlad Oshin © (2004-12-16 15:13) [83]

> Sandman25 © (16.12.04 15:08) [82]

не понял

PS
скорее всего, фокус в том, что черные и красные идут вперемежку?

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:26) [84]

[83] Vlad Oshin © (16.12.04 15:13)

Вероятнее всего, что выпадет от -37 до +4, при этом вероятнее всего, что выпадет от -37 до -1. Но дело в том, что во втором случае речь идет про условную вероятность - выпадение от -37 до -1 при условии, что выпало от -37 до +4. Если рассматривать полную вероятность (а нас в казино интересует именно она), то получим, что вероятность выпадения от -37 до -1 все-таки меньше 1/2, точнее 37/75.

← →
Sandman25 © (2004-12-16 15:28) [85]

Иначе говоря: (42/75)*(37/42)=37/75
Оба множителя больше половины, а произведение - меньше.

← →
NeyroSpace © (2004-12-16 16:02) [86]

Нужно подождать пока в казино выпадет подряд 3 "красных", поставить все на "черное" и молиться, молиться, молиться :-)

← →
Думкин © (2004-12-17 06:21) [87]

> [79] nikkie_ (16.12.04 13:59)
> а если говорить про психологию, то человек неспособен генерить независимые случайные величины. если заставить человека писать "случайную" последовательность нулей и единиц, то результат не будет случайным.

Это описано, кстати, в книге одного Венгерского математика. (забыл и имя и название - :( старпер блин). dmitry99 напомнит.

← →
Sandman25 © (2004-12-17 09:00) [88]

[58] Кабан (15.12.04 16:13)

Так как все-таки разрешить указанный парадокс? Уже 2 дня думаю, в инете все перерыл, нашел кучу парадоксов тервера, кроме указанного. В чем ошибка?

← →
default © (2004-12-17 13:10) [89]

на счёт дверей можно же с помощью простых здравых рассуждений ответ получить без всякой теории веротности(почти):
сначала вероятность угадать 1/3
поскольку нет повода предпочесть любую дверь любой другой
это практически значит что при достаточно большом числе игр угадать машину получится примерно в трети игр, очевидно, неугадаем в 2/3 игр, НО что самое главное "неугадывание однозначно" - то есть всего лишь одна дверь(после того как ведущий откроет пустую дверь) является альтернативой первичному выбору, поэтому если мы каждый раз будем менять свой первичный выбор на ЕДИНСТВЕННУЮ альтернативу мы угадаем в 2/3 игр то есть увеличим свои шансы вдвое от первоначальных

← →
default © (2004-12-17 14:55) [90]

Sandman25 © (17.12.04 09:00) [88]
попросту неверное применение математического ожидания
опровергнуть можно по-разному - например, провести такие же рассуждение при условии что выбор всегда сначала останавливаем на втором конверте, они укажут на выбор первого конверта
таким образом получим "взаимные ссылки" - выбор не определён отсюда рассуждения не верны
теперь почему не верны
неформально можно так
что есть математическое ожидание?
практически можно пояснить так(формально это теоретическое среднее - предел к которому по вероятности стремится среднее арифметическое значений случайной величины при стремлении числа опытов в бесконечность[поскольку частоты стремятся по вероятностям к соответствующим вероятностям])
поясню на примере, специально на очень простом
кидаются две кости неутяжелённые
пусть нам за сумму равную четырём дают 50 баксов иначе забирают 5 баксов
вероятность получить 50 баксов будет 3/36=1/12(три комбинации:
13,22,31), вероятность потерять 5 баксов - 11/12
то есть при достаточно большом N мы получим примерно N/12
50 баксовых выигрышей, в остальных случаях будем проигрывать по 5 баксов
и при N играх(где N велико) мы в результате получим
50*N/12+(-5)*11*N/12=-5*N/12 баксов
чтобы найти среднюю сумму выиграша за игру разделим на N
и получим то самое матожидание: -5/12 - то есть в среднем за игру мы теряем примерно полбакса
теперь посмотрим на выражение
1/2 * 2N + 1/2 * N/2 = 1.25N
то есть примерно в половине случаев во втором конверте будет сумма вдвое большая чем в первом исходя из слагаемого 1/2*2N
(сравниваем со значением N в первом конверте)
то есть в половине случаев в первом конверте N во втором 2*N
(N не фиксировано к тому же)
но слагаемое 1/2* N/2 говорит что примерно в половине случаев во втором конверте будет сумма в два раза меньшая чем в первом
то есть в половине случаев в первом конверте N во втором N/2
получается что в первом конверте всегда находится N
ошибка, очевидно, в том что матожидание считается при нефиксированном N

← →
Кабан (2004-12-17 16:40) [91]

Рассмотрим отдельную задачу, никак не связанную с исходной. Вам дали конверт со 100р и предложили второй конверт, в котором с вероятностью 1/2 либо 200р либо 50р. Каково м/о суммы во втором конверте?

← →
nikkie_ (2004-12-17 16:46) [92]

имхо, ошибка в том, что считается, что события "во втором конверте N/2" и "во втором конверте 2N" - равновероятны. это не так.

ЗЫ хотел добавить к своим выкладкам в [22]:
я чересчур сложно считал интеграл
\int F(x)P(x) dx = \int F(x) dF(x)
надо было сразу сказать, что
\int F(x) dF(x) = F(x)^2/2

← →
default © (2004-12-17 16:48) [93]

Кабан (17.12.04 16:40) [91]
125>100 Вы хотели мне доказать...
тут сумма в первом конверте фиксирована
тем более 100 рублей уже есть, а тут лишь теоретическое среднее работаюшее при больших выборках 125, хи, я бы выбрал 100 рублей

← →
Кабан (2004-12-17 16:52) [94]

при чем здесь некое теоретическое среднее, да к тому же работающее при больших выборках

тервер четко говорит, что м/о суммы во втором конверте 125р и, если вы хотите действовать по вероятности, вам нужно брать второй конверт

← →
default © (2004-12-17 16:54) [95]

Кабан (17.12.04 16:52) [94]
стоп
исходная задача звучала примерно так?
берётся фиксированный конверт всегда и потом исходя их мо делается выбор в пользу второго конверта?

← →
Кабан (2004-12-17 16:55) [96]

что стоп, во второй задаче нужно брать второй конверт?

← →
default © (2004-12-17 16:59) [97]

default © (17.12.04 16:54) [95]
я просто хочу выяснить правильно ли понял я задачу
выбор первого конверта фиксирован или делается наугад?

← →
Кабан (2004-12-17 17:01) [98]

наугад конечно

← →
nikkie_ (2004-12-17 17:01) [99]

>Кабан
>во второй задаче нужно брать второй конверт?
берешь или не берешь - матожидание будет одинаково.

ты сам парадокс видишь? по-твоему получается, что надо открыть первый конверт, а потом выбрать второй. и тогда матожидание будет больше. зачем тогда открывать первый конверт? давайте сразу второй открывать.

← →
Кабан (2004-12-17 17:03) [100]

вот в этом то и парадокс

если рассмотреть вторую задачу отдельно, то ответ очевиден, надо брать второй конверт

но если применить эти рассуждения к первой, то получается полная ерунда

← →
nikkie_ (2004-12-17 17:10) [101]

>то ответ очевиден
на первом курсе мехмата учат тому, что если доказывающий начинает аппелировать словами типа "очевидно", то у него просто нет доводов. и именно тут дыра.

← →
default © (2004-12-17 17:42) [102]

Кабан (17.12.04 17:03) [100]
хотите проверьте программой
const
N = 10000000;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
i, succ: Cardinal;
M: Array[0..1] of Byte;
begin
Randomize;
succ := 0;
for i := 1 to N do begin
M[0] := Random(2);
M[1] := 1 - M[0];
Inc(succ, M[1 - Random(2)]);
end;
Caption := FloatToStr(succ/N)
end;

← →
default © (2004-12-17 17:48) [103]

nikkie_ (17.12.04 17:10) [101]
ну для отдельного случая действительно очевидно
хотя выбор второго конверта в этом случае даст выигрышь при большом числе испытаний
а в вопросе как поступить выгодней:
получить сто рублей или кинуть монетку на получение 50 или 200 рублей выбор сомнителен
с точки зрения формалистики матож-ие для первого конверта 100 для второго 125 и казалось бы следует попытать удачу
но я бы, например, взял 100 рублей и думаю был бы прав

← →
jack128 © (2004-12-17 17:50) [104]

default © (17.12.04 14:55) [90]
ошибка, очевидно, в том что матожидание считается при нефиксированном N

ОК. Вот я открыл конверт и в нем лежало 100руб. Значит во втором либо 50, либо 200 рублей. Так как 100р - фиксировано, то нельзя сказать, что мат ожидание денег во втором конвете 125 р, так что ли??

← →
nikkie_ (2004-12-17 18:16) [105]

>[102] default
программа считает вероятность угадать один из двух конвертов. и причем здесь матожидание выигрыша? и вообще причем здесь деньги?

>[103] default
ну для отдельного случая действительно очевидно
хотя выбор второго конверта в этом случае даст выигрышь при большом числе испытаний
это наивные рассуждения. точно такие, как в задаче с 3-мя коробками: "выбор из двух коробок, значит вероятность 1/2".

надо действовать так: суммарное количество денег в конвертах - случайная величина x, имеющая некоторое распределение F(x), неизвестное нам. в терминах этой функции можно вычислить условные вероятности P(x2=2y|x1=y) (вероятность того, что во втором конверте 2y денег при условии того, что в первом y денег) и P(x2=y/2|x1=y).

эти вероятности не будут всегда равны 1/2! на пальцах: если ведущий кладет от 0 до 1000р, то найдя в первом конверте 750р, вероятность найти во втором конверте 1500р равна нулю.

после того, как эти вероятности посчитаны, можно считать матожидание выигрыша:
2y*P(x2=2y|x1=y) + y/2*P(x2=y/2|x1=y)

← →
jack128 © (2004-12-17 18:41) [106]

Блин, дошло наконец. Мы просто сравниваем разные величины. Когда оба конверта закрыты - для нас критерием выигрышности стратегии является вероятность, а после того как мы открыли один конверт мы уже считает критерием выигрышности - мат ожидание("мат ожидание денег в закрытом конверте больше, чем денег в открытым - значит нужно брать закрытый конверт" ). Если и во втором случае за критерий считать вероятность, то парадокса нет!!

nikkie_ (17.12.04 18:16) [105]
если ведущий кладет от 0 до 1000р,
Этого условия в задаче не было.

← →
default © (2004-12-17 18:46) [107]

на счёт [58]
доказ-во неправильности решения
конверты можно моделировать монетой
если выпал орёл, то первый конверт больший второй меньший(по сумме в них), иначе наоборот
то есть две комбинации
наш выбор наугад тоже монетой
если орёл то выбираем первый конверт иначе наоборот
тоже две комбинации
отсюда вероятность выбора конверта с большей суммой
будет определяться как 2/4=1/2
комбинации успеха: на обоих монетах орёл, на обоих решка
при изменении первоначального выбора конверта в силу симметрии, совершенно очевидно, вероятность не изменится и эти выкрутасы останутся лишь ими, бесмысленными действиями
jack128 © (17.12.04 17:50) [104]
когда фиксировано как раз всё нормально

← →
default © (2004-12-17 18:49) [108]

nikkie_ (17.12.04 18:16) [105]
всё в программе верно
0, 1 массива - это больше и меньше характеристики конверта
при индексации 0, 1 - это выбор конверта

← →
nikkie_ (2004-12-17 18:56) [109]

>[106] jack128
>если ведущий кладет от 0 до 1000р,
>Этого условия в задаче не было.
не было. это пример. дело в том, что какое-то распределение вероятности должно быть.

ошибка Кабана в том, что считает, что вероятность того, что в двух конвертах лежит (y+2y)=3y денег равна вероятности того, что в двух конвертах лежит (y+y/2)=3y/2 денег. рассуждая также дальше, мы получим, что вероятность того, что там лежит 3y*2^n денег, точно такая же. а в бесконечном числе точек не может быть равная ненулевая вероятность.

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
рассуждая также дальше
куда дальше??? Что то я не понял логику

Еще раз:
Парадокс, как я его понял, заключался в том, что, с одной стороны(до вскрытия конверта) нам было все равно, какой конверт вскрывать(вер-сть выигрыша в любом случае - 50%), а с другой(после вскрытия конверта) нам уже НЕ все равно, мы должны выбрать другой, не вскрытый конверт, вскрытие нам никаких знаний не добавило. Решение этого парадокса - [106]

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
они действительно одинаковые обе по 1/2
см [107]

nikkie_ (17.12.04 18:56) [109]
вообще-то про то что значение N даёт какие-то поводы для переоценки вероятностей в условии не было(условные вероятности отпадают)

jack128 © (17.12.04 19:17) [110]
если
"вскрытие нам никаких знаний не добавило"
то откуда "нам уже НЕ все равно"
ошибаешься
см [107]
вообще парадокс [58] банален
как я уже говорил неверное применение матожидания

default © (17.12.04 19:45) [113]
"вскрытие нам никаких знаний не добавило"
то откуда "нам уже НЕ все равно"
вот в том то и дело. В этом и есть парадокс. А на самом деле нам все равно, как ты показал в [110]. Вероятность выигрыша как была 50%, так и осталась. Все дело в подмене критериев успешной игры.

default © (17.12.04 19:45) [113]
как я уже говорил неверное применение матожидания
Мат ожидание применено правильно. После вскрытия N - неслучайная, вполне определённая величина.

Юрий Зотов © (14.12.04 22:38) [20]
Взлетит!

ПЯТЬ БАЛОВ :)))))))))))))))))

Nikolay M. © (14.12.04 18:37) [11]
Ни о каких 2/3 речи нет. Опровергнешь?

Ты вроде и сам разобрался, я дальше тему не читал, но объясню всем как умею.

вы неправильно понимаете КАК меняет шансы ведущий при открытии ПУСТОЙ двери. Нужно осознать только два тождества:

1) Если вы в начале выбрали правильную дверь, то перемена решения приведет к проигрышу

2) если вы в начале выбрали неправильную дверь, то перемена решения приведет к выигрышу.

А вероятность в начале выбрать правильную дверь равна12/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

Piter © (17.12.04 20:46) [115]
вероятность в начале выбрать правильную дверь равна12/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

вероятность в начале выбрать правильную дверь равна 1/3. А вероятность выбрать неправильную 2/3

← →
nikkie_ (2004-12-17 20:57) [117]

>Piter
что-то ты от жизни отстал. про двери все уже все поняли. речь теперь идет о конвертах с зарплатой. то ли тебе зарплату удвоят, то ли уполовинят.

>jack128
>Все дело в подмене критериев успешной игры.
Мат ожидание применено правильно.
имхо, матожидание выигрыша изначально является тем, что хочется максимизировать. неужели ты считаешь, что для того, чтобы получить как можно больше денег, ты должен открыть первый конверт, посмотреть в него, а забрать деньги из второго?

jack128 © (17.12.04 20:10) [114]
применено формально то оно конечно верно
я имел ввиду как ты выразился "подмену критериев"
вообщем друг друга поняли)

Sandman25 © (17.12.04 09:00) [88]
вообщем, при выборе первого конверта и получения информации о его сумме, не зная области допустимых значений сумм в конвертах,
не может быть никаких объективных причин предпочесть иной конверт выбранному, отсюда никакая глупость вроде вычисления какой-то функции(в условии задачи - математического ожидания)
не даст ничего

← →
Кабан (2004-12-20 10:34) [120]

Во как завернул:
>>ошибка Кабана в том, что считает, что вероятность того, что

дело в том что задача довольно старая и я в свое время довольно долго думал на эту тему, я ее привел лишь в качестве примера и сам давно разобрался в причинах парадокса :)

Вероятность. Задача с ответом Объясните мне как такое возможно. Найти похожие ветки