Пятничные задачки. Много ;)

← →
MBo © (2004-07-09 08:51) [0]

На этот раз есть задачи очень простые, нормальные, и офигенно трудные.

1. Как-то раз шло судебное расследование по делу двух братьев-близнецов. Было известно, что по крайней мере один из них никогда не говорил правду, хотя и не ясно, кто же именно. Одного из братьев звали Джон - именно он и совершил преступление. (При этом вовсе не обязательно, чтобы Джон был тем из близнецов, который всегда лгал.) Цель расследования заключалась в том, чтобы выяснить, кого же из братьев, зовут Джон.
- Вы - Джон? - спросил судья одного из близнецов.
- Да, я Джон, - последовал ответ.
- А вы - Джон? - спросил судья второго брата. Второй близнец ему ответил вполне определенно (либо "да", либо "нет"), и тут судья сразу догадался, кто из них Джон.
Был Джон первым или вторым из близнецов?

2. Кладоискатели нашли клад и записку в которой было написано:
В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами.
Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей.
Задача: Как при помощи одного "взвешивания" определить в каком мешке
находятся фальшивые монеты?
Примечание. "Взвешиванием" в данном случае называется тот момент, когда весы, типа коромысла,
станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне
одинаковый вес.

3. Однажды к нам на стpойку завезли киpпичи. Как всегда, без технической
документации на них. Пpоpаб дал нам pулетку и попpосил снять с киpпича
все положенные pазмеpы в соответствии с фоpмой и ушел по делам. Длину,
высоту и шиpину киpпича мы измеpили легко, не было пpоблем и с тpемя
боковыми диагоналями. А вот главную диагональ оказалось вычислить не так
пpосто - коpни в уме никто из нас считать не умел... Hо тут явился
изобpетатель, и, видя наши затpуднения, измеpил главную диагональ pулеткой,
не пpоводя никаких вычислений.
Как он это сделал?

4. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей за 8 минут.
Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за
13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну
полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

5. Приехал сюда Коля и говорит:
- Четыре часа назад встретил Пашу. Во сколько он выехал?
- В шесть утра.
Приехал туда Паша и говорит:
- Девять часов назад встретил Колю. Во сколько он выехал?
- В шесть утра.
Сколько времени ехали они до встречи?

6. Решить систему
x^3+3xy^2=158
3x^2y+y^3=-185

7. Есть два хpyстальных шаpа и 100этажное здание. Известно, что начиная с
некотоpого этажа оба шаpа, если их с этого этажа сбpосить, pазбиваются.
"кpитический этаж" - этаж, с котоpого шаpы не pазбиваются, а со следyющего
этажа - pазбиваются. Hайти алгоpитм котоpый за минимальное число скидываний
гаpантиpовано находит кpитический этаж.

8. Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга.
Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая
касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенной внутри
окружности радиуса 5.

9. У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись,
не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:
- Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуманные два числа.
Но оно было слишком легким. На этот раз я задумал три разных числа от 1 до 9.
Али я сообщу их произведение, а Вали их сумму. После этого вы должны будете
разгадать эти числа.Узнав произведение и сумму, мудрецы, как обычно, сначала
задумались, а затем разговорились.

А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их.
Но сейчас я их не знаю.
В: Я тоже пока не знаю этих чисел.
А: Зато я знаю их!

Что это за числа?

10. Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST,
параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.

11. Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и
лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у
туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена).
Hа вопpос стpанника о возpасте их вождя (в дальнейшем для кpаткости он
обозначен буквой n) туземцы пpоизнесли следующее:
A: Если n < 60, то я pыцаpь.
B: Если F - pыцаpь, то я лжец.
C: G - лжец, а n+4 - составное.
D: То, что я лжец, pавносильно тому, что С - лжец.
E: C - лжец или n+2 - составное.
F: Если E - pыцаpь, то n - составное.
G: A - pыцаpь или n+32 - составное.
Сколько лет вождю?

12. В магазине имеются следующие товаpы (по одной штуке каждого):
Общая тетрадь - 21 p.
Ковpик для мыши - 35 p.
Шампунь - 49 p.
Пила - 56 p.
Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.
Набор отверток - 72 p.
Кpужка - 75 p.
Hож - 77 p.
Мышь для ковpика - 107 p.
Альбом для фото - 119 p.
Кастpюля - 126 p.
Книжка по Delphi - 147 p.
Часы - 203 p.
Hастольная лампа - 282 p.
Пеpвым в магазин зашел Вася Пупкин. После него - Петя Покупкин. Когда в магазин
пpибежал Федя Плоскогубкин, то там оставался всего один товаp. Что купил Вася
Пупкин, если известно, что он потpатил в два pаза меньше денег, чем Петя Покупкин?

13. Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1)
(распределение равномерное, выбор независим) являются длинами сторон тупоугольного
треугольника?

14. Канал имеет шиpину a, затем изгибается под прямым углом и ширина его становится
равной b. Какова наибольшая длина бревна, котоpое может проплыть (не вставая
вертикально) по каналу?

Задачи, которые уже были, но давно. Те, кто их застал, могут не беспокоиться ;)

15. На одном конце резинового каната находится точечный червяк.
Длина каната -- 1 м. Червяк ползет по канату с постоянной скоростью 1 мм/с.
Через 1 с после того, как червяк пустился в путь, канат растянули,
и его длина стала равной 2 м. Через 2 с канат снова растянули,
и его длина достигла 3 м. Каждую следующую секунду канат удлиняется на 1 м.
Доползет ли червяк когда-нибудь до конца каната?

16. Через центр шара просверлили отверстие длиной 1 см.
Найти объем оставшейся части шара.

← →
YurikGL © (2004-07-09 08:59) [1]

1. Джон - первый.

← →
YurikGL © (2004-07-09 09:02) [2]

> 15.

Да, потому что при растяжении червяк тоже смещается

← →
MBo © (2004-07-09 09:02) [3]

>YurikGL © (09.07.04 08:59) [1]
Поясни

← →
MBo © (2004-07-09 09:03) [4]

>Да, потому что при растяжении червяк тоже смещается
Но ведь оставшийся путь становится больше...
Если доползет, то за какое время?

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:04) [5]

2
1 монету из любого мешка ложим на первую чашу
на вторую чашу ложем 2 монеты из другого мешка
если весы уравновесились значит в первом мешке фальшивые монеты.
на первую чашу 3 монеты из третьего мешка.
Если весы не измелили показания значит фольшивые монеты в текущем мешке.
И т.д.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:09) [6]

> 4.
считаем как в школе, что вода вытекает из ванны равномерно, или как в жизни?

← →
MBo © (2004-07-09 09:13) [7]

>jack128 © (09.07.04 09:09) [6]
Да, как в школе - равномерно.

← →
KilkennyCat © (2004-07-09 09:13) [8]

1) Судья увидел наколку на одном из них "Я и Джон - братья, блин", из чего сделал вывод, что Джон - другой.
2) Это просто. Кладем 10 мешков на одну чашу, 10 на другую. Поскольку в одной из чаш будет фальшивка, то эта чаша перетянет (соотношение веса 10=11) скидываем с обеих чаш по мешку. если равновесие восстановилось - значит, мешок, скинутый с перетягивающей чаши - фальшивый, если равонвесия нет - процесс повторяем.
3)взял еще два кирпича. сложил их уголком. в отсутствующем месте четвертого кирпича можно мерять все, что угодно.
4) про ванну решение знаю, но не скажу - больная для мня тема.

← →
Alx2 © (2004-07-09 09:14) [9]

6. Сумма дает куб. => x+y=-3. Подставновкой полуим из первого уравнения следущее: -(y+5)*(4*y^2-2*y+37)=0
Следовательно y=-5, y=1/4+7/4*I*sqrt(3), y=1/4-7/4*I*sqrt(3) где I =sqrt(-1). x=2, x=-13/4-7/4*I*sqrt(3),x=-13/4+7/4*I*sqrt(3)

← →
MBo © (2004-07-09 09:16) [10]

>Alx2 © (09.07.04 09:14) [9]
>6. Сумма дает куб.
А разность?

← →
Alx2 © (2004-07-09 09:17) [11]

>MBo © (09.07.04 09:16) [10]
Блин, конечно же!
Вот потерянные решения:
x = -1-I*sqrt(3), y = 5/2+5/2*I*sqrt(3)
x = -1+I*sqrt(3), y = 5/2-5/2*I*sqrt(3)

← →
MBo © (2004-07-09 09:18) [12]

>KilkennyCat © (09.07.04 09:13) [8]
>1) Судья увидел наколку на одном из них "Я и Джон - братья, блин", из чего сделал вывод, что Джон - другой.
нет

>2) Это просто. Кладем 10 мешков на одну чашу, 10 на другую.
неизвестно, равное ли количество монет в каждом мешке. Гаратируется лишь, что их много

3)взял еще два кирпича. сложил их уголком. в отсутствующем месте четвертого кирпича можно мерять все, что угодно.
Т.е. три кирпича понадобится

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:19) [13]

4) 5 минут

← →
KilkennyCat © (2004-07-09 09:20) [14]

> MBo © (09.07.04 09:18) [12]

да сколько угодно монет. все равно сработает.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:23) [15]

> КаПиБаРа © (09.07.04 09:19)

у меня получилось чуть поменьше
объем ванны V
скорость напролнения ванны хол водой V/6.(3)
скорость напролнения ванны гор водой V/8
скорость слива V/13.(3)

пусть ванна заполниться на t минут

(V/6.(3) + V/8 - V/13.(3)) * t = V

t = 1/(1/6.(3) + 1/8 - 1/13.(3)) = 4,81012658227852 минуту

← →
MBo © (2004-07-09 09:26) [16]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:19) [13]
>4) 5 минут
Да.

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:27) [17]

> jack128 © (09.07.04 09:23) [15]

В минуте 60 секунд :)

← →
MBo © (2004-07-09 09:28) [18]

>jack128 © (09.07.04 09:23) [15]
может, ты сбился, работая не с простыми дробями, а с этими (.3) ?

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:29) [19]

> MBo ©

КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
Правильно?

← →
jack128 © (2004-07-09 09:30) [20]

> В минуте 60 секунд :)
угу, спасибо, что напомнил ;-)

> t = 1/(1/6.(6) + 1/8 - 1/13.(3))
вот ошибка

← →
MBo © (2004-07-09 09:38) [21]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
>Правильно?
Известное мне решение требует только одного прохождения (или достижения) коромыслом положения равновесия.

Правильность твоего подхода пока ни проверил, ни опроверг

← →
MBo © (2004-07-09 09:40) [22]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
>Правильно?
(Возможно это легенда, но очень уж красивая)
Во времена Второй Мировой Войны, Английские ученые подбросили Hемецким ученым, что бы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу:
[5 skipped]
И еще: Англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:45) [23]

1)

1) 1 бл - Джон и он лжец // невозможно, так как он сказал правду

оставшиеся варианты

1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да
2) 2 бл - Джон и он лжец, второй ответил - да // невозможно
3) 2 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да

1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - нет //невозможно
2) 2 бл - Джон и он лжец, второй ответил - нет
3) 2 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - нет

так как судья догадался, кто Джон, то второй ответил "нет" - он и есть Джон

← →
MBo © (2004-07-09 09:53) [24]

>jack128 © (09.07.04 09:45) [23]
Да, поскольку судья догадался - то единственный вариант - оба лжецы, и второй ответил нет, он и есть Джон

← →
YurikGL © (2004-07-09 09:57) [25]

> MBo © (09.07.04 09:53) [24]

Почему не возможен вариант, когда первого спрашивают Джона, он не лжец, зная, что его брат все равно солжет и скажет что он Джон для заблуждения скажет правду? т.е. вариант
1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да
Оба сказали да

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 10:01) [26]

> Почему не возможен вариант

Они лоханулись.

← →
MBo © (2004-07-09 10:03) [27]

> Почему не возможен вариант
тогда бы судья не вычислил

← →
Alx2 © (2004-07-09 10:05) [28]

14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)

← →
YurikGL © (2004-07-09 10:10) [29]

> MBo © (09.07.04 10:03) [27]

Я предположил, что судья считал братьев умнее и то, что они попытаются ввести суд в заблуждение сказав оба да. Когда они оба сказали да, то судья догадался, что первым был Джон а вторым лжец.
Так что ответ зависит от интеллекта братьев. :)

По поводу червяка, написал програмку, по моему я ошибался. Не долезет он до конца. Во всяком случае где-то на 10000 сек приращение отношения пройденного пути к общему увеличивается уже в знаке 5-м. ИМХО предел есть у этой функции и он меньше 0. Строго математически доказать не могу.

← →
jack128 © (2004-07-09 10:20) [30]

> Alx2 © (09.07.04 10:05)
> 14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
а как ты решал?
У мя
alfa := arctg((a/b)^(1/3))
Result := Max(a/sin(alfa) + b/cos(alfa), sqr(a^2 + b^2)); // просто влом думать, возможно какой то из аргументов всегда больше другого..

← →
olookin © (2004-07-09 10:27) [31]

Джон - второй.

← →
MBo © (2004-07-09 10:27) [32]

>Alx2 © (09.07.04 10:05) [28]
>14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
Хм...
У меня, если я не ошибся, получается
((a^2+b^2)^(3/2))/(ab)
при a=b выражения совпадают ;)

← →
MBo © (2004-07-09 10:30) [33]

MBo © (09.07.04 10:27) [32]
соврал, неверно выражение записал

← →
olookin © (2004-07-09 10:31) [34]

2. брать по монетке из каждой пары мешков и класть их на чашки весов слева и справа одновременно. Как только горизонталь нарушится - мешок найден.

← →
Alx2 © (2004-07-09 10:32) [35]

>jack128 © (09.07.04 10:20) [30]
Угол, через который надо пролезть, делаем началом координат.
Все бревна - прямые, проходящие через начало координат. Можно записать в виде y = - phi*x. Phi должно быть положительным, чтобы наклон прямой был отрицательным.
Находим точки пересечения со стенками и получаем выражение для квадрата длины отрезка от одной стены к другой:
(b+a/phi)^2+(a+phi*b)^2
Производная по phi = -2*(b+a/phi)*a/(phi^2)+2*(a+phi*b)*b = -2*(a*b*phi+a^2-a*b*phi^3-phi^4*b^2)/(phi^3)
Находим корни:
-a/b, (a*b^2)^(1/3)/b,-1/2*(a*b^2)^(1/3)/b
-a/b и -1/2*(a*b^2)^(1/3)/b не подходят, так как phi должно быть больше нуля. Остается phi=(a*b^2)^(1/3)/b. Подстановкой во вторую производную минимизируемого выражения убеждаемся, что это минимум. Подставляя найденное значение phi в исходное выражение получаем ответ.

← →
Alx2 © (2004-07-09 10:34) [36]

>MBo © (09.07.04 10:30) [33]
Кто соврал? :)

← →
Bless © (2004-07-09 10:35) [37]

1. Второй брат - Джон. И он ответил "нет"(иначе судье бы ничего не стало ясно).

← →
Bless © (2004-07-09 10:38) [38]

Упс. Опоздал.

← →
jack128 © (2004-07-09 10:40) [39]

2 Alx2 вот мое решение.
A O |----------------------------------- | / | / | / | /|-------------------------------------- | / | B | / | | / | | / | |/ | С | | | |

косая линия из слешей - бревно. угол OAB - alfa, ширина горизонтального канала a, вертикального - b
f(alfa) = a/sin(alfa) + b/cos(alfa) - длина отрезка AC, находим минимум:
f"(alfa) = b*sin(alfa)/cos^2(alfa) - a*cos(alfa)/sin^2(alfa) = 0
alfa = arctg((a/b)^(1/3))
подставляем - получаем...

← →
Bless © (2004-07-09 10:41) [40]

А какие задачи офигенно трудные?

← →
Alx2 © (2004-07-09 10:47) [41]

>jack128 © (09.07.04 10:40)
То же самое получается :)

← →
olookin © (2004-07-09 10:48) [42]

16. dV = V(шар)-V(цилиндр)-2*V(не помню как называется, по моему сектор шара, а может и нет - в общем шляпки на цилиндре).
Т.е. dV = (4/3)*pi*R^3 - L*pi*Sqrt(R^2 - (L/2)^2) - 2*V(сектор). Тут R - радиус шара, L - длина отверстия (1 см), r - радиус отверстия. Какова формула для расчета сектора шара с радиусом основы равной r - не знаю.

← →
Александр Иванов © (2004-07-09 10:48) [43]

7. Сначала первый шар бросаем с 14-го этажа, если разбивается, то второй - с каждого нижнеследующего, иначе с 27-го (т.е. Аi-1, А1 = 14) и т.д.
Максимальное число шагов при таком алгоритме - 14.

← →
olookin © (2004-07-09 10:51) [44]

Поправлю ошибку - dV = (4/3)*pi*R^3 - L*pi*(R^2 - (L/2)^2) - 2*V(сектор).

← →
jack128 © (2004-07-09 10:57) [45]

> А какие задачи офигенно трудные?
ИМХО, 11 и 12. Там на теорию чисел..

и вот эту задачу я вообще не понял

> Через центр шара просверлили отверстие длиной 1 см.
> Найти объем оставшейся части шара
это отверстие свозное? Тогда его длина = диаметр шара. Или как? Но полюбому не зная диаметра отверстия (если оно цилиндрическое) мы ничего не найдем..

> Alx2 © (09.07.04 10:47)
> >jack128 © (09.07.04 10:40)
> То же самое получается :)
Похоже на то(Ну я формулы н проверял, но суть ясна и так).
А то меня смутило отсутствие тригонометрии в твоем решении. Тоесть получается для любых положительных a, b
(a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2) = a/sin(arctg((a/b)^(1/3))) + b/cos(arctg((a/b)^(1/3))

Офигеть! :-))

Вы, кстати, с Mbo разберитесь, похоже по одному алгоритму очевидно считали..

← →
olookin © (2004-07-09 11:02) [46]

[45] jack128 © (09.07.04 10:57)

Касательно 16. Все найдем, если предположим что отверстие действительно сквозное. Если так, то диаметр отверстия легко устанавливается.

← →
olookin © (2004-07-09 11:02) [47]

А когда мы услышим правильные ответы?

← →
Alx2 © (2004-07-09 11:02) [48]

>jack128 © (09.07.04 10:57)
Твой ответ совпадает с моим, так как sin(arctan(x))=x/(sqrt(1+x^2)), cos(arctan(x))=1/(sqrt(1+x^2)).

← →
eukar (2004-07-09 11:07) [49]

> Александр Иванов © (09.07.04 10:48) [43]
> 7. Сначала первый шар бросаем с 14-го этажа, если разбивается,
> то второй - с каждого нижнеследующего,

И тут второй разбивается при броске с 13-го этажа...
Абыдна, да?

← →
Думкин © (2004-07-09 11:08) [50]

> [45] jack128 © (09.07.04 10:57)

Длина отверстия = 1.

← →
SergP © (2004-07-09 11:08) [51]

2. Берем монеты из 19 мешков : из 1 мешка 1 монету, из второго 2 из N-го мешка N монет. (все эти монеты ложим на одну чашу весов). Далее монеты из 20 мешка сыпем на другую до уравновешивания.

Считаем количество монет из 20 мешка на весах:

если их 95 - то фальшивые в 20 мешке,
иначе номер мешка := количество монет - 190

6. Решить систему
x^3+3xy^2=158
3x^2y+y^3=-185

суммируем оба уравнения.
Получаем (x+y)^3=0
отсюда x=-y

Далее x^3=158/4
x=39,5^(1/3)
y=-39,5^(1/3)

← →
jack128 © (2004-07-09 11:16) [52]

2 olookin
Еще раз прочитал твое решение - у нас просто разные представления, что такое длина отверстия :-)

← →
Bless © (2004-07-09 11:20) [53]

9) Эти числа 4, 6, 7

← →
SergP © (2004-07-09 11:22) [54]

> 16. Через центр шара просверлили отверстие длиной 1 см.
> Найти объем оставшейся части шара.

Если объем оставшейся части не зависит от диаметра отверстия, а только от длины, то представим себе отверстие с нулевым диаметром
тогда объем оставшейся части шара вычисляем из того что мы имеем целый шар с диаметром 1.

Если я правильно помню как считается объем шара, то должно получится pi/6

← →
SergP © (2004-07-09 11:32) [55]

> Если объем оставшейся части не зависит от диаметра отверстия,

А если это не так, то тогда условие задачи неполное...

← →
Думкин © (2004-07-09 11:36) [56]

> [53] Bless © (09.07.04 11:20)
4,6,7

> от 1 до 9.
.....
А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы
> уже знал их.
> Но сейчас я их не знаю.

4*6*7 = 168. ? a*b=168 1<=a<b<=9 a,b-?

← →
olookin © (2004-07-09 11:51) [57]

[52] jack128 © (09.07.04 11:16)

Я под длиной отверстия разумею отрезок, касающийся точки сферы (поверхности шара). Поэтому выпиленная часть - это цилиндр длиной L=1 см с двумя нашлепками сверху и снизу. Эти нашлепки я назвал секторами.

← →
Bless © (2004-07-09 11:54) [58]

Думкин © (09.07.04 11:36) [56]>

Упс, перепутал, кто знает сумму, а кто произведение. Сейчас пересчитаю

← →
SergP © (2004-07-09 12:46) [59]

> 7. Есть два хpyстальных шаpа и 100этажное здание. Известно,
> что начиная с
> некотоpого этажа оба шаpа, если их с этого этажа сбpосить,
> pазбиваются.
> "кpитический этаж" - этаж, с котоpого шаpы не pазбиваются,
> а со следyющего
> этажа - pазбиваются. Hайти алгоpитм котоpый за минимальное
> число скидываний
> гаpантиpовано находит кpитический этаж.

Для 100 этажей и 2-х шаров максимальное число скидываний будет 14

А насчет алгоритма не знаю в каком виде его записать.... Кроме того для 100 этажей может быть несколько алгоритмов слегка отличающихся друг от друга. Правда если число этажей представляет собой (n^2+n)/2 где n-целое число (кстати n и будет числом скидываний) то оптимальный алгоритм будет единственным)

← →
Agent13 © (2004-07-09 12:55) [60]

Огласите, пожалуйста список нерешённых задач, а то всю ветку внимательно читать в лом.

← →
Igorek © (2004-07-09 12:56) [61]

1. Джон второй.
По ходу решения выводятся два вспомогательных утверждения:
- невозможно что оба Джоны
- второй ответил "нет"

← →
MBo © (2004-07-09 12:57) [62]

>Alx2 ©
14 я решал, как
>jack128 © (09.07.04 10:40) [39]
с использованием затем Cos(Arctn(x))=1/Sqrt(1+x^2)
ответ свой я неправильно в 32 написал, он совпадает с твоим после преобразований

>Александр Иванов © (09.07.04 10:48) [43]
Верно.

>SergP © (09.07.04 11:08) [51]
6. Нет. нужно сложить и вычесть уравнения

>Bless © (09.07.04 11:20) [53]
>9) Эти числа 4, 6, 7
нет

>olookin © (09.07.04 11:51) [57]
про длину отверстия - это длина цилиндра, отверстие сквозное.

← →
MBo © (2004-07-09 13:01) [63]

jack128 © (09.07.04 10:57) [45]
>это отверстие свозное? Тогда его длина = диаметр шара. Или как?
Нет. представь, что бусинку с дырочкой поставили торцом на стол. Высота этого тела - и есть длина отверстия.

>Но полюбому не зная диаметра отверстия (если оно цилиндрическое) мы ничего не найдем..
Неправ, задача решабельна.

← →
Думкин © (2004-07-09 13:06) [64]

> SergP © (09.07.04 12:46)
> Правда если число этажей
> представляет собой (n^2+n)/2 где n-целое число

У меня (n+2)(n-1)/2 - получилось.

← →
MBo © (2004-07-09 13:07) [65]

>Bless © (09.07.04 10:41) [40]
>А какие задачи офигенно трудные?
По убыванию офигенности (ИМХО)
13 (идея+трудоемкость)
10(идея+трудоемкость)
11 (идея)
2
9
12

← →
MBo © (2004-07-09 13:24) [66]

>Agent13 © (09.07.04 12:55) [60]
>Огласите, пожалуйста список нерешённых задач
из простых -5
нормальные -8,15,16
офигенные -выше

← →
Bless © (2004-07-09 13:36) [67]

9)
1, 6, 8
или
1, 7, 8

← →
Agent13 © (2004-07-09 13:40) [68]

5. 6 часов

← →
Bless © (2004-07-09 14:23) [69]

Bless[67]>

Вру.

← →
Bless © (2004-07-09 14:26) [70]

У меня получилосЬ, что возможна любая из нижеследующих комбинаций:
1, 5, 6
2, 4, 6
2, 3, 8
2, 4, 7
4, 6, 3

раскритикуйте хоть одну плз.

← →
MBo © (2004-07-09 14:35) [71]

>Agent13 © (09.07.04 13:40) [68]
>5. 6 часов
Да

>Bless © (09.07.04 14:26) [70]
Верный ответ в списке есть ;)

← →
Bless © (2004-07-09 14:36) [72]

Bless[70]>
Это я о 9-ой задаче.

← →
Bless © (2004-07-09 14:44) [73]

MBo [71]>
А почему остальные неверные?

← →
MBo © (2004-07-09 14:53) [74]

>А почему остальные неверные?
Пусть было 4, 6, 3
A узнаёт 72 - хорошо, это только 8*9, но суммы трех могут быть 13,15,18

Из них только 18 встречается в списке сумм 1 раз - но B не смог вычислить, значит сумма 13 или 15 - но эти суммы отвечают нескольким допустимым произведениям.

← →
Семен Сорокин © (2004-07-09 15:00) [75]

13.
0.5

← →
Bless © (2004-07-09 15:36) [76]

MBo[74]>

Из них только 18 встречается в списке сумм 1 раз - но B не смог вычислить, значит сумма 13 или 15 - но эти суммы отвечают нескольким допустимым произведениям.

Гм... А у меня 15 тоже отсеивается. А какая еще тройка чисел(кроме 1, 6, 8), дающая в сумме 15, даст в результате произведения удовлетворяющую условию величину?

← →
SergP © (2004-07-09 15:40) [77]

> MBo © (09.07.04 12:57) [62]
>
> >SergP © (09.07.04 11:08) [51]
> 6. Нет. нужно сложить и вычесть уравнения

Хм... Я ошибся.
Как-то быстро взглянул и мне показалось -158 вместо -185
Поэтому и получилась правая часть при сложениии равной нулю.

Вобщем:
(x+y)^3=-27
(x-y)^3=343

отсюда
x=2
y=-5

← →
MBo © (2004-07-09 16:02) [78]

>Семен Сорокин © (09.07.04 15:00) [75]
13. 0.5
нет. число иррациональное.
Задача сложная, численный ответ, думаю, необязательно получать, достаточно описать подход.

>Bless © (09.07.04 15:36) [76]
> А какая еще тройка чисел(кроме 1, 6, 8), дающая в сумме 15, даст в результате произведения удовлетворяющую условию величину?
Первый столбец - те числа, для которых Али мог сказать то, что сказал. На основании этого Вали мог что-то соображать (данныое ему число из второго столбца)
Произведения Суммы 30 10 12 36 11 14 40 11 14 42 12 14 48 12 13 15 54 14 16 56 13 16 72 13 15 18

← →
Agent13 © (2004-07-09 16:29) [79]

11. 47 лет

← →
MBo © (2004-07-09 16:40) [80]

>Agent13 © (09.07.04 16:29) [79]
>11. 47 лет
Да.
поздравляю. Логические построения весьма сложны.
Приведи для интересующихся.

← →
Bless © (2004-07-09 16:40) [81]

MBo[78]>
Блин, я пропустил одну комбинацию, дающую в произведении 72 (2,4б 9) и проигнорировал тот факт, что А отгадал числа. С учетом этих фактов ответ
1, 5, 6
Правильно?

← →
Agent13 © (2004-07-09 17:00) [82]

> Логические построения весьма сложны.
> Приведи для интересующихся.

Значит так:
Если С лжец, то D впадает в парадокс, значит С рыцарь.
Аналогично, если F рыцарь, то в парадокс впадает В, значит F лжец, а В в любом случае сказал правду.
Если Е лжец, то выходит, что F в любом случае сказал правду (ведь при ложном условии утверждение всегда верно), а мы знаем, что F - лжец, значит Е - рыцарь.
С сказал правду, значит G - лжец.
G лжец - значит оба его утверждения неверны, выходит А лжец.

Получаем таблицу правдивости (+) или лживости (-) туземцев:
A -
B +
C +
D ?
E +
F -
G -

Теперь мы можем узнать правду про число n. А соврал, а это могло произойти только при истинности условия в его утверждении. Вывод n<60.
С правдив - значит n+4 составное.
Е правдив, но он сказал неправду про лживость С, поэтому вторая часть конструкции "или" должна быть верной - n+2 составное.
F солгал, значит n простое.
G солгал, значит n+32 простое.
Всем условиям удовлетворяет только одно число n - 47.

← →
Семен Сорокин © (2004-07-09 17:06) [83]

12) Остался Шампунь - 49 p.

Вася Пупкин купил 3 предмета на 461 р.:

Набор отверток - 72 p.
Мышь для ковpика - 107 p.
Hастольная лампа - 282 p.

Петя Покупкин купил 10 предметов на 922 р.:

Общая тетрадь - 21 p.
Ковpик для мыши - 35 p.
Пила - 56 p.
Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.
Кpужка - 75 p.
Hож - 77 p.
Альбом для фото - 119 p.
Кастpюля - 126 p.
Книжка по Delphi - 147 p.
Часы - 203 p.

← →
MBo © (2004-07-09 17:07) [84]

>Bless © (09.07.04 16:40) [81]
>1, 5, 6
Верно! Непростая задача.

← →
MBo © (2004-07-09 17:10) [85]

>Семен Сорокин © (09.07.04 17:06) [83]
Правильно!
Задача основана на арифметике по модулям 3 и 7.

← →
DoDo (2004-07-09 18:06) [86]

15. Про червяка: доползет если доживет. Число секунд = экспонента от тысячи, это знаков четыреста, так что программа тут не поможет. Относительный путь червяка выражается гармоническим рядом, который как известно расходится как натуральный логарифм, ну и так далее...

← →
MBo © (2004-07-09 18:50) [87]

>Относительный путь червяка выражается гармоническим рядом,
Верно.

13. Pi/4-1/2
Давно не приходилось такими выкладками заниматься. Сколько раз приходилось возвращаться и перепроверять все.
Идея решения: строим распределение суммы случайных величин, квадарата случайной величины и суммы квадратов случайных величин.
Пусть xi и nu - две случайных величины, равномерно распределенные на [0,1].
Вероятность того, что некоторая случайная величина окажется между xi+nu и sqrt(xi^2+nu^2) есть F(xi+nu)-F2(xi^2+nu^2) где F - распределение равномерно распределенной случайной величины на [0,1]. F2 - распределение квадрата равномерно распределенной случайной величины на [0,1].
Мат. ожидание(F(xi+nu)-F2(xi^2+nu^2)) = Pi/12-1/6. Так как возможны три комбинации трех величин, то окончательно вероятность есть Pi/4-1/2

Такие вот тупоугольные треугольники, мать их...
PS
Борис, не надо больше подобных задачек :))))

> MBo © (09.07.04 09:53) [24]
> >jack128 © (09.07.04 09:45) [23]
> Да, поскольку судья догадался - то единственный вариант
> - оба лжецы, и второй ответил нет, он и есть Джон

Дело в том, что судья не может знать точно, что угадал.
Он не знает, говорит ли хоть иногда правду тот, который не всегда врёт.
Нерешаемо.

> [90] MBo © (10.07.04 05:27)
> >Alx2 © (10.07.04 02:01) [88]
> Да. Ты гений терпения и вычислительной аккуратности! ;))

А мне он сказал, что у него времени нет на такие задачи. И он их только изредка. А сам сидел всю пятницу. Чем он на работе занимается?

>Думкин © (10.07.04 09:47) [91]
>Чем он на работе занимается?
Сам грешен ;)

Другой подход к решению задачи 13:
Возьмем единичный куб. Точки с координатами x,y,z равномерно распределены в нем. Для того, чтобы из отрезков с длинами x, у,z можно было составить треугольник, должны удовлетворяться условия
x<y+z, y<x+z, z<x+y - решение представляет собой объем фигуры - пересечения куба и полупространств, отсекаемых плоскостями
y+z-x=0 и т.д.
Условие тупоугольности с большей стороной x выражается как
x^2<y^2+z^2. Это конус. Решение - объем пересечений трех конусов с фигурой из пред. абзаца.

Eckjdbt negj

>Alx2 © (10.07.04 10:00) [92]
>MBo - террорист от математики :)))
Вот не буду больше офигенных давать, придется решать простенькие или такие:
(1+a^2)*(1+b^2)...(1+z^2)=?????
;)

> [94] MBo © (10.07.04 10:13)

Не... Давай такие:
17. Расшифровать:
Тядзгыщхоэь пэжо ч йчтэншаь гэнэшюэь епяу дызысю, бэхыэ пыъ бэ лягяня чтгыщюпмочо ю ч ячпыхмшаью дызысыью, Ышщпягя.
18. Найти наибольший общий делитель 1000-го и 770-го чисел Фиббоначчи:
1,1,2,3,5,8,13,21......

%(

> [96] Думкин © (10.07.04 10:28)

Так вернее:
Тядзгыщхоэь пэжо ч йчтэншаь гэнэшюэь епяу дызысю, бэхыэь пыъ бэ лягяня чтгыщюпмчо ю ч ячпыхмшаью дызысыью, Ышщпяга.

>Думкин
А про произведение ряда - забавная задача.
Еще ряды:
sin(alpha)*sin(beta)*...*sin(omega)=?
(1-ln(a))*(1-ln(b))*...*(1-ln(z))=?

> Думкин © (10.07.04 10:32) [97]

Поздравляем тебя с успешным решением
этой задачи, желаем так же хорошо
справиться и с остальными задачами,
Авторы.

В последнем слове шифра - описка, лишняя буква Ш.

> Igorek © (09.07.04 12:56) [61]
> 1. Джон второй.
> По ходу решения выводятся два вспомогательных утверждения:
> - невозможно что оба Джоны

Надо ж так. Забыл собственные мысли. :-(
Вроде возможно что оба Джоны. Тогда второй ответил "нет". Судья догадался что оба могут быть Джонами и совершить убийство.
Т.о. "Был Джон первым или вторым из близнецов":
Второй точно Джон. А первый - необязательно, но возможно.

Чем не решение? И где я неправ?

Имхо если я все правильно понял, то делаем так:
Возможны 2 варианта:
1. Первый сказал - да, и второй - да (В этом случае невозможно определить кто из них кто)
2. Первый сказал - да, второй сказал - нет.

А так как судья смог понять кто из них кто, то следовательно мы имеем дело со вторым вариантом.

Далее могут быть варанты что:
1) Всегда врет первый (а так как он сказал что он Джон, значит он не Джон)
2) Всегда врет второй (а так как он сказал - нет, значит он Джон)

В любом варианте получается что Джон - второй из них.

Думаю что второй ответил "нет", иначе Судья не смог бы догадаться кто из них Джон.
А так как известно что один всегда врал, то получается что первый был тот кто всегда врал. Следовательно Джон - второй.

> [104] SergP © (10.07.04 18:10)

Блин. Забыл последние 3 предложения вытереть, так как сначала написал их, а затем решил все переписать по другому...

> SergP © (10.07.04 18:10) [104]

Повторяю.
Есть вопрос:
> Был Джон первым или вторым из близнецов?

Если его трактовать как "Какой брат точно Джон ?", то ответ - второй.
А если как "Какой брат может быть Джоном?", то ответ - оба.

Ну а если его трактовать буквально: "Был Джон первым или вторым из близнецов", то правильных ответа аж два "Первый", "Второй".

сорри, форматирование не удалось

← →
Надежда (2004-07-10 20:03) [108]

16. Получается pi/6 см^3. Причем независимо от размера шара и диаметра отверстия, даже если оно равно нулю, тогда остаток равен объему шара с диаметром 1 см.

> MBo © (09.07.04 13:24) [66]
> >Agent13 © (09.07.04 12:55) [60]
> >Огласите, пожалуйста список нерешённых задач
> из простых -5
> нормальные -8,15,16
> офигенные -выше

Между прочим, SergP © в [54] посте уже дал ответ на 16 задачу (как оказалось)

2^n и 5^n. Могут ли эти числа одновременно начинаться на одну и ту же цифру для натурального n? Как много таких цифр? :)

>Надежда [108]
Верно.
>Между прочим, SergP © в [54] посте уже дал ответ
Да ;)
Задача из Гарднера, он пишет следующее - среди писем с решениями было и такое:
"Поскольку задачу дал такой уважаемый математик, она должна иметь решение при любых условиях, в частности, при нулевом радиусе отверстия, что приводит к ответу pi/6"

> [86] DoDo (09.07.04 18:06)
> 15. Про червяка: доползет если доживет. Число секунд = экспонента
> от тысячи, это знаков четыреста, так что программа тут не
> поможет. Относительный путь червяка выражается гармоническим
> рядом, который как известно расходится как натуральный логарифм,
> ну и так далее...

А если точнее то t=exp(1000-G) где G-постоянная Эйлера, G =0,5772156649

← →
Надежда (2004-07-12 02:22) [112]

> Задача из Гарднера

Ага. Я, честно говоря, там её и вычитала. Давным давно. Но там в условии написано длина отверстия 6 см и ответ 36*pi. Я пересчитала для 1 см.
Цитата: "Самое раннее упоминание об этой задаче я нашел у С. Джонса (S.I. Jones, Mathematical Nuts, 1932). Там же приводится и аналогичная двумерная задача. Если в кольце произвольного размера провести самую длинную прямую линию, то площадь кольца равна площади круга, построенного на этой прямой как на диаметре."
Я вообще-то давно увлекаюсь Гарднером, хоть да-а-алеко не все задачи могу решить. Он пишет интересно.
http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/content.shtml

По задачам 2, 8, 10 привести указания или решения, или еще подумать есть желание?

> [113] MBo © (12.07.04 12:53)
> По задачам 2, 8, 10 привести указания или решения, или еще
> подумать есть желание?

Хм... А я думал что уже все всё решили.... Ну щас подумаю

А насчет 2: Решение типа [51] SergP © (09.07.04 11:08) не подходит?

Что то я не видел решение задачи про кирпич.. Не уж то никто не знает? Может есть какие дополнительные условия(возможно известные всем стоителям), типа что у кирпичей соотносятся как "золотое" сечение или типа того?

> [116] jack128 © (12.07.04 22:10)
> Что то я не видел решение задачи про кирпич.. Не уж то никто
> не знает? Может есть какие дополнительные условия(возможно
> известные всем стоителям), типа что у кирпичей соотносятся
> как "золотое" сечение или типа того?

Насчет кирпича: думаю что кирпич нужно обложить другими кирпичами чтобы было понятно где его 2 противоположных угла, затем этот кирпич вытянуть нафиг и в образовавшемся пространстве замерить рулеткой это растояние.
Смысл в том чтобы получить пространство соответствующее размерам внутренностей кирпича...

-------------------------------------------------------------------

8. Получается около 9,897

Нормального решения пока не нашел, поэтому решал в "лоб"
Например пусть A - центр окружности c радиусом 3, B-4, С-5, D -точка касания окр. с радиусами 3 и 4
Значит проектируем точку C на отрезок AB (пусть будет точка E)
Находим расстояниие ED:

Очевидно, что:
AC^2=CE^2+AE^2
BC^2=CE^2+EB^2
AE+ED+DB=AB
DB=4
AD=3
AC=3+5=8
BC=4+5=9

Отсюда получаем ED=10/14
А ED у нас равно расстоянию нужной нам прямой от центра окружности с радиусом 5.
Поэтому длина части нашей прямой которая находится внутри окружности радиуса 5 (т.е. длина хорды) равна = 2* sqrt(r^2-s^2) где r-радиус R=5
а s - расстояние хорды от центра окружности. s=ED=10/14
L=2*sqrt(25-100/169)=9.897

> 10. Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения
> EKLMN и OPRST,
> параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно.
> Найти объем куба.

Страшно непонятное условие...
1. какое отношение к задаче имеет фраза: "склеен из единичных кубиков"?
2. Не вижу взаимосвязи объема куба с площадями произвольных сечений. Единственное условие что они паралельны BD не накладывает на эти сечения никаких ограничений. У куба объема V такое сечение может иметь площадь от 0 до V^(2/3)*sqrt(2) в зависимости от того где оно проходит

>SergP © (12.07.04 22:40) [117]
Про кирпичи - уложить 3 штуки буквой L (т.е. два плажмя друг на друга, третий плашмя рядом с первым). Тогда пространственную диагональ отсутствующего четвертого можно померить.

8. Задача не относится к занимательным, но выбор системы координат позволяет радикально упростить процесс решения.
Численный ответ не помню, решал более недели назад.
Я делал так: Расположим центр окружности 3 в начале координат, центр окружности 4 на оси X (в точке 7), окружность 5 - сверху.
Касательная к 3,4 будет вертикальной прямой X=3. Центр окружности 5 вычисляется элементарно, подставляем x=3 в ее уравнение, находим 2 Y-координаты.

>SergP © (12.07.04 22:48) [118]
>фраза: "склеен из единичных кубиков"?
длина ребра - целое число

>Не вижу взаимосвязи объема куба с площадями произвольных сечений

>Igorek © (12.07.04 18:05) [114]
В условии задано - ОДИН из братьев Джон, он и преступник.
Кроме того, известно, что судья правильно вычислил его.
Такие задачи иногда называют метаголоволомками - данной нам прямой информации недостаточно, но есть косвенная - известно, что некто на основе неких сведений нашел верное решение. Задачи о мудрецах или о рыжем сыне тоже относятся к этому классу.
Это на первый взгляд они произвольны. Дело в том, что сечения -
пятиугольны, а вместе с параллельностью их прямой BD выбора особого не остается.
Если поставить первую точку сечений на AB, вторую на AD (другие способы - лишь отражения этого), четвертая по порядку будет на ребре CC". Проведя анализ (весьма муторный, ИМХО), какова будет зависимость площади сечения от длин ЕB и MC (что полностью характеризует положение сечения), получим некие ограничения на отношение площади сечения к площади грани.

пардон, в прошлом посте перемешались ответы. последний абзац относится к SergP

> [120] MBo © (13.07.04 07:52)

Извиняюсь. Просто под BD я не задумываясь подразумевал ребро куба и никак не мо понять почему сечение параллельное ему может быть непрямоугольным. Только сейчас заметил что это диагональ грани...
:-))))

10. Есть crazy idea, что ответ 343.

>Agent13 © (13.07.04 10:18) [123]
>10. Есть crazy idea, что ответ 343.
Нет. В кубе со стороной 7 нельзя провести сечения площадью 100, удовлетворяющего условию.

> >Igorek © (12.07.04 18:05) [114]
> В условии задано - ОДИН из братьев Джон, он и преступник.
> Кроме того, известно, что судья правильно вычислил его.
> Такие задачи иногда называют метаголоволомками - данной
> нам прямой информации недостаточно, но есть косвенная -
> известно, что некто на основе неких сведений нашел верное
> решение.

Спасибо. Правда ОДИН в некотором смысле не означает, что и второй не может быть Джон. Напр. "Один - Джон, второй - неизвестно". А поскольку в условии сказано, что судья догадался только о том, кто из них Джон, то это не есть достаточная (даже косвенная) информация. Вот если бы было сказано, что судья догадался кто совершил убийство, то тогда все понятно. Если б два были Джоны, то невозможно догадаться, поскольку известно только, что убийца - Джон.

Пятничные задачки. Много ;) Найти похожие ветки