Пятничные задачки. Много ;)

← →
MBo © (2004-07-09 08:51) [0]

На этот раз есть задачи очень простые, нормальные, и офигенно трудные.

1. Как-то раз шло судебное расследование по делу двух братьев-близнецов. Было известно, что по крайней мере один из них никогда не говорил правду, хотя и не ясно, кто же именно. Одного из братьев звали Джон - именно он и совершил преступление. (При этом вовсе не обязательно, чтобы Джон был тем из близнецов, который всегда лгал.) Цель расследования заключалась в том, чтобы выяснить, кого же из братьев, зовут Джон.
- Вы - Джон? - спросил судья одного из близнецов.
- Да, я Джон, - последовал ответ.
- А вы - Джон? - спросил судья второго брата. Второй близнец ему ответил вполне определенно (либо "да", либо "нет"), и тут судья сразу догадался, кто из них Джон.
Был Джон первым или вторым из близнецов?

2. Кладоискатели нашли клад и записку в которой было написано:
В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами.
Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей.
Задача: Как при помощи одного "взвешивания" определить в каком мешке
находятся фальшивые монеты?
Примечание. "Взвешиванием" в данном случае называется тот момент, когда весы, типа коромысла,
станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне
одинаковый вес.

3. Однажды к нам на стpойку завезли киpпичи. Как всегда, без технической
документации на них. Пpоpаб дал нам pулетку и попpосил снять с киpпича
все положенные pазмеpы в соответствии с фоpмой и ушел по делам. Длину,
высоту и шиpину киpпича мы измеpили легко, не было пpоблем и с тpемя
боковыми диагоналями. А вот главную диагональ оказалось вычислить не так
пpосто - коpни в уме никто из нас считать не умел... Hо тут явился
изобpетатель, и, видя наши затpуднения, измеpил главную диагональ pулеткой,
не пpоводя никаких вычислений.
Как он это сделал?

4. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей за 8 минут.
Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за
13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну
полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

5. Приехал сюда Коля и говорит:
- Четыре часа назад встретил Пашу. Во сколько он выехал?
- В шесть утра.
Приехал туда Паша и говорит:
- Девять часов назад встретил Колю. Во сколько он выехал?
- В шесть утра.
Сколько времени ехали они до встречи?

6. Решить систему
x^3+3xy^2=158
3x^2y+y^3=-185

7. Есть два хpyстальных шаpа и 100этажное здание. Известно, что начиная с
некотоpого этажа оба шаpа, если их с этого этажа сбpосить, pазбиваются.
"кpитический этаж" - этаж, с котоpого шаpы не pазбиваются, а со следyющего
этажа - pазбиваются. Hайти алгоpитм котоpый за минимальное число скидываний
гаpантиpовано находит кpитический этаж.

8. Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга.
Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая
касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключенной внутри
окружности радиуса 5.

9. У одного султана было два мудреца Али и Вали. В очередной раз обеспокоившись,
не зря ли они едят свой хлеб с шербетом, султан вызвал мудрецов и сказал:
- Прошлый раз вы успешно выдержали испытание, разгадав задуманные два числа.
Но оно было слишком легким. На этот раз я задумал три разных числа от 1 до 9.
Али я сообщу их произведение, а Вали их сумму. После этого вы должны будете
разгадать эти числа.Узнав произведение и сумму, мудрецы, как обычно, сначала
задумались, а затем разговорились.

А: Эх, если бы чисел как и в прошлый раз было два, я бы уже знал их.
Но сейчас я их не знаю.
В: Я тоже пока не знаю этих чисел.
А: Зато я знаю их!

Что это за числа?

10. Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST,
параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.

11. Путник, оказавшийся на остpове, где живут pыцаpи (всегда говоpят пpавду) и
лжецы (всегда вpут) встpетил гpуппу туземцев из семи человек. Hа плащах у
туземцев кpасовались буквы A, B, C, D, E, F и G (по одной на каждого абоpигена).
Hа вопpос стpанника о возpасте их вождя (в дальнейшем для кpаткости он
обозначен буквой n) туземцы пpоизнесли следующее:
A: Если n < 60, то я pыцаpь.
B: Если F - pыцаpь, то я лжец.
C: G - лжец, а n+4 - составное.
D: То, что я лжец, pавносильно тому, что С - лжец.
E: C - лжец или n+2 - составное.
F: Если E - pыцаpь, то n - составное.
G: A - pыцаpь или n+32 - составное.
Сколько лет вождю?

12. В магазине имеются следующие товаpы (по одной штуке каждого):
Общая тетрадь - 21 p.
Ковpик для мыши - 35 p.
Шампунь - 49 p.
Пила - 56 p.
Энциклопедия на компакт-диске - 63 p.
Набор отверток - 72 p.
Кpужка - 75 p.
Hож - 77 p.
Мышь для ковpика - 107 p.
Альбом для фото - 119 p.
Кастpюля - 126 p.
Книжка по Delphi - 147 p.
Часы - 203 p.
Hастольная лампа - 282 p.
Пеpвым в магазин зашел Вася Пупкин. После него - Петя Покупкин. Когда в магазин
пpибежал Федя Плоскогубкин, то там оставался всего один товаp. Что купил Вася
Пупкин, если известно, что он потpатил в два pаза меньше денег, чем Петя Покупкин?

13. Какова вероятность того, что три случайных числа из интервала (0; 1)
(распределение равномерное, выбор независим) являются длинами сторон тупоугольного
треугольника?

14. Канал имеет шиpину a, затем изгибается под прямым углом и ширина его становится
равной b. Какова наибольшая длина бревна, котоpое может проплыть (не вставая
вертикально) по каналу?

Задачи, которые уже были, но давно. Те, кто их застал, могут не беспокоиться ;)

15. На одном конце резинового каната находится точечный червяк.
Длина каната -- 1 м. Червяк ползет по канату с постоянной скоростью 1 мм/с.
Через 1 с после того, как червяк пустился в путь, канат растянули,
и его длина стала равной 2 м. Через 2 с канат снова растянули,
и его длина достигла 3 м. Каждую следующую секунду канат удлиняется на 1 м.
Доползет ли червяк когда-нибудь до конца каната?

16. Через центр шара просверлили отверстие длиной 1 см.
Найти объем оставшейся части шара.

← →
YurikGL © (2004-07-09 08:59) [1]

1. Джон - первый.

← →
YurikGL © (2004-07-09 09:02) [2]

> 15.

Да, потому что при растяжении червяк тоже смещается

← →
MBo © (2004-07-09 09:02) [3]

>YurikGL © (09.07.04 08:59) [1]
Поясни

← →
MBo © (2004-07-09 09:03) [4]

>Да, потому что при растяжении червяк тоже смещается
Но ведь оставшийся путь становится больше...
Если доползет, то за какое время?

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:04) [5]

2
1 монету из любого мешка ложим на первую чашу
на вторую чашу ложем 2 монеты из другого мешка
если весы уравновесились значит в первом мешке фальшивые монеты.
на первую чашу 3 монеты из третьего мешка.
Если весы не измелили показания значит фольшивые монеты в текущем мешке.
И т.д.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:09) [6]

> 4.
считаем как в школе, что вода вытекает из ванны равномерно, или как в жизни?

← →
MBo © (2004-07-09 09:13) [7]

>jack128 © (09.07.04 09:09) [6]
Да, как в школе - равномерно.

← →
KilkennyCat © (2004-07-09 09:13) [8]

1) Судья увидел наколку на одном из них "Я и Джон - братья, блин", из чего сделал вывод, что Джон - другой.
2) Это просто. Кладем 10 мешков на одну чашу, 10 на другую. Поскольку в одной из чаш будет фальшивка, то эта чаша перетянет (соотношение веса 10=11) скидываем с обеих чаш по мешку. если равновесие восстановилось - значит, мешок, скинутый с перетягивающей чаши - фальшивый, если равонвесия нет - процесс повторяем.
3)взял еще два кирпича. сложил их уголком. в отсутствующем месте четвертого кирпича можно мерять все, что угодно.
4) про ванну решение знаю, но не скажу - больная для мня тема.

← →
Alx2 © (2004-07-09 09:14) [9]

6. Сумма дает куб. => x+y=-3. Подставновкой полуим из первого уравнения следущее: -(y+5)*(4*y^2-2*y+37)=0
Следовательно y=-5, y=1/4+7/4*I*sqrt(3), y=1/4-7/4*I*sqrt(3) где I =sqrt(-1). x=2, x=-13/4-7/4*I*sqrt(3),x=-13/4+7/4*I*sqrt(3)

← →
MBo © (2004-07-09 09:16) [10]

>Alx2 © (09.07.04 09:14) [9]
>6. Сумма дает куб.
А разность?

← →
Alx2 © (2004-07-09 09:17) [11]

>MBo © (09.07.04 09:16) [10]
Блин, конечно же!
Вот потерянные решения:
x = -1-I*sqrt(3), y = 5/2+5/2*I*sqrt(3)
x = -1+I*sqrt(3), y = 5/2-5/2*I*sqrt(3)

← →
MBo © (2004-07-09 09:18) [12]

>KilkennyCat © (09.07.04 09:13) [8]
>1) Судья увидел наколку на одном из них "Я и Джон - братья, блин", из чего сделал вывод, что Джон - другой.
нет

>2) Это просто. Кладем 10 мешков на одну чашу, 10 на другую.
неизвестно, равное ли количество монет в каждом мешке. Гаратируется лишь, что их много

3)взял еще два кирпича. сложил их уголком. в отсутствующем месте четвертого кирпича можно мерять все, что угодно.
Т.е. три кирпича понадобится

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:19) [13]

4) 5 минут

← →
KilkennyCat © (2004-07-09 09:20) [14]

> MBo © (09.07.04 09:18) [12]

да сколько угодно монет. все равно сработает.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:23) [15]

> КаПиБаРа © (09.07.04 09:19)

у меня получилось чуть поменьше
объем ванны V
скорость напролнения ванны хол водой V/6.(3)
скорость напролнения ванны гор водой V/8
скорость слива V/13.(3)

пусть ванна заполниться на t минут

(V/6.(3) + V/8 - V/13.(3)) * t = V

t = 1/(1/6.(3) + 1/8 - 1/13.(3)) = 4,81012658227852 минуту

← →
MBo © (2004-07-09 09:26) [16]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:19) [13]
>4) 5 минут
Да.

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:27) [17]

> jack128 © (09.07.04 09:23) [15]

В минуте 60 секунд :)

← →
MBo © (2004-07-09 09:28) [18]

>jack128 © (09.07.04 09:23) [15]
может, ты сбился, работая не с простыми дробями, а с этими (.3) ?

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 09:29) [19]

> MBo ©

КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
Правильно?

← →
jack128 © (2004-07-09 09:30) [20]

> В минуте 60 секунд :)
угу, спасибо, что напомнил ;-)

> t = 1/(1/6.(6) + 1/8 - 1/13.(3))
вот ошибка

← →
MBo © (2004-07-09 09:38) [21]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
>Правильно?
Известное мне решение требует только одного прохождения (или достижения) коромыслом положения равновесия.

Правильность твоего подхода пока ни проверил, ни опроверг

← →
MBo © (2004-07-09 09:40) [22]

>КаПиБаРа © (09.07.04 09:04) [5]
>Правильно?
(Возможно это легенда, но очень уж красивая)
Во времена Второй Мировой Войны, Английские ученые подбросили Hемецким ученым, что бы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу:
[5 skipped]
И еще: Англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.

← →
jack128 © (2004-07-09 09:45) [23]

1)

1) 1 бл - Джон и он лжец // невозможно, так как он сказал правду

оставшиеся варианты

1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да
2) 2 бл - Джон и он лжец, второй ответил - да // невозможно
3) 2 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да

1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - нет //невозможно
2) 2 бл - Джон и он лжец, второй ответил - нет
3) 2 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - нет

так как судья догадался, кто Джон, то второй ответил "нет" - он и есть Джон

← →
MBo © (2004-07-09 09:53) [24]

>jack128 © (09.07.04 09:45) [23]
Да, поскольку судья догадался - то единственный вариант - оба лжецы, и второй ответил нет, он и есть Джон

← →
YurikGL © (2004-07-09 09:57) [25]

> MBo © (09.07.04 09:53) [24]

Почему не возможен вариант, когда первого спрашивают Джона, он не лжец, зная, что его брат все равно солжет и скажет что он Джон для заблуждения скажет правду? т.е. вариант
1) 1 бл - Джон и он говорит, что хочет, второй ответил - да
Оба сказали да

← →
КаПиБаРа © (2004-07-09 10:01) [26]

> Почему не возможен вариант

Они лоханулись.

← →
MBo © (2004-07-09 10:03) [27]

> Почему не возможен вариант
тогда бы судья не вычислил

← →
Alx2 © (2004-07-09 10:05) [28]

14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)

> MBo © (09.07.04 10:03) [27]

Я предположил, что судья считал братьев умнее и то, что они попытаются ввести суд в заблуждение сказав оба да. Когда они оба сказали да, то судья догадался, что первым был Джон а вторым лжец.
Так что ответ зависит от интеллекта братьев. :)

По поводу червяка, написал програмку, по моему я ошибался. Не долезет он до конца. Во всяком случае где-то на 10000 сек приращение отношения пройденного пути к общему увеличивается уже в знаке 5-м. ИМХО предел есть у этой функции и он меньше 0. Строго математически доказать не могу.

> Alx2 © (09.07.04 10:05)
> 14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
а как ты решал?
У мя
alfa := arctg((a/b)^(1/3))
Result := Max(a/sin(alfa) + b/cos(alfa), sqr(a^2 + b^2)); // просто влом думать, возможно какой то из аргументов всегда больше другого..

Джон - второй.

>Alx2 © (09.07.04 10:05) [28]
>14. (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
Хм...
У меня, если я не ошибся, получается
((a^2+b^2)^(3/2))/(ab)
при a=b выражения совпадают ;)

2. брать по монетке из каждой пары мешков и класть их на чашки весов слева и справа одновременно. Как только горизонталь нарушится - мешок найден.

>jack128 © (09.07.04 10:20) [30]
Угол, через который надо пролезть, делаем началом координат.
Все бревна - прямые, проходящие через начало координат. Можно записать в виде y = - phi*x. Phi должно быть положительным, чтобы наклон прямой был отрицательным.
Находим точки пересечения со стенками и получаем выражение для квадрата длины отрезка от одной стены к другой:
(b+a/phi)^2+(a+phi*b)^2
Производная по phi = -2*(b+a/phi)*a/(phi^2)+2*(a+phi*b)*b = -2*(a*b*phi+a^2-a*b*phi^3-phi^4*b^2)/(phi^3)
Находим корни:
-a/b, (a*b^2)^(1/3)/b,-1/2*(a*b^2)^(1/3)/b
-a/b и -1/2*(a*b^2)^(1/3)/b не подходят, так как phi должно быть больше нуля. Остается phi=(a*b^2)^(1/3)/b. Подстановкой во вторую производную минимизируемого выражения убеждаемся, что это минимум. Подставляя найденное значение phi в исходное выражение получаем ответ.

1. Второй брат - Джон. И он ответил "нет"(иначе судье бы ничего не стало ясно).

Упс. Опоздал.

2 Alx2 вот мое решение.
A O |----------------------------------- | / | / | / | /|-------------------------------------- | / | B | / | | / | | / | |/ | С | | | |

косая линия из слешей - бревно. угол OAB - alfa, ширина горизонтального канала a, вертикального - b
f(alfa) = a/sin(alfa) + b/cos(alfa) - длина отрезка AC, находим минимум:
f"(alfa) = b*sin(alfa)/cos^2(alfa) - a*cos(alfa)/sin^2(alfa) = 0
alfa = arctg((a/b)^(1/3))
подставляем - получаем...

А какие задачи офигенно трудные?

Пятничные задачки. Много ;) Найти похожие ветки