Пятница - не сломай головы ;^)

← →
MBo © (2004-07-02 08:49) [0]

1.Найти функцию f, удовлетворяющую условиям:
f"(x)=f"(x-1)
f(x)+f(x-1)=x

2. В пространстве задана поверхность x^5+y^5=z^7.
Найти все прямые, принадлежащие этой поверхности.

3. Бомж Вася принес в костер 3 полена, а Петя - 5 поленьев.
Коля дров не нашел, и дал им в уплату 8 пустых бутылок.
Сколько причитается бутылок Васе и Пете, если они втроем сварили на костре ужин?

4. Докажите, что существует единственное положительное число А, такое, что
уравнение sin(x)=A*x имеет ровно 5 действительных корней и найдите А.

5. Натуральные числа от 1 до 1979 записаны по кругу по час. стрелке.
Начиная с 1 по час. стрелке вычеркиваем каждое второе из оставшихся чисел.
Какое число останется в конце?

6. Найти все решения уравнения x^2-8[x]+7=0, где [] -целая часть числа

7. Известно, что многочлен 2x^3-60x^2+ax принимает в трех последовательных
целых точках три послед. целые значения. Найти эти значения.

8. Один щедрый человек каждую неделю распределял одну и ту же сумму денег
поровну между теми, кто обращался к нему с просьбой о воспомоществовании.
Однажды он заметил:
- Если на следующей неделе просителей будет на пять человек меньше, то
каждый получит на два доллара больше. Но, увы, по прошествии недели число
просителей не уменьшилось, а возросло на четыре человека.
- Это значит,- заметил благотворитель,- что каждый получит на один доллар
меньше. Сколько получил каждый проситель в этот последний раз?

9. У семи торговок было соответственно 20, 40, 60, 80, 100, 120 и 140 яблок.
Они отправились на рынок и продали все свои яблоки по одной и той же цене,
получив одинаковую выручку. По какой цене торговки продали яблоки?
Примечание - яблоки продавались по опред. цене за некое количество,
а если осталось менее этого количества - то поштучно по другой цене.

← →
SergP © (2004-07-02 08:59) [1]

3) Васе - 1, Пете - 7. А вообще задачки подобногорода уже несколлько раз тут проскакивали...

← →
КаПиБаРа © (2004-07-02 08:59) [2]

3.
Вася 1 бутылка
Петя 7 бутылок

← →
КаПиБаРа © (2004-07-02 09:06) [3]

8. 5 баксов

← →
MBo © (2004-07-02 09:10) [4]

[1,2,3] - верно

← →
begin...end © (2004-07-02 09:10) [5]

1. f(x) = 0.5 * x + 0.25

← →
SergP © (2004-07-02 09:11) [6]

8. 5 баксов

← →
КаПиБаРа © (2004-07-02 09:13) [7]

> SergP © (02.07.04 08:59) [1]
> SergP © (02.07.04 09:11) [6]

:)

← →
MBo © (2004-07-02 09:19) [8]

>begin...end © (02.07.04 09:10) [5]
верно

Дополнение к 4. - число A оценить

← →
MBo © (2004-07-02 09:20) [9]

> вообще задачки подобногорода уже несколлько раз тут проскакивали...
Угу, просто решил разбавить сухие математические ;)

← →
WondeRu © (2004-07-02 09:40) [10]

2MBo © (02.07.04 09:19) [8]
там будет инервал положительных чисел + одно отрицательное значение! влом касательные к синусу искать!

← →
MBo © (2004-07-02 09:48) [11]

>там будет инервал положительных чисел + одно отрицательное значение
не будет. значение A, как указано - положительное надо найти, оно единственно. Достаточно оценки.

← →
Sergey_Masloff (2004-07-02 09:52) [12]

Философский вопрос - имеет ли право MBo(c) публиковать по пятницам свои задачки если посли них Sergey_Masloff до понедельника чувствует себя тупым и не может полноценно отдыхать?
;-)

← →
Sandman25 © (2004-07-02 09:53) [13]

6. 1 и 7. Других решений нет - уравнение A^2+(2B-8)A+(B^2+7)=0 не имеет решений таких, что A e N, 0<B<1. Там получается SQRT(9-8B), из чего B=5/8. Но при этом значении B оба значения A получаются дробными.

← →
WondeRu © (2004-07-02 09:59) [14]

2MBo © (02.07.04 09:48) [11]
около 5*pi/2

← →
Danilka © (2004-07-02 10:00) [15]

А такая задачка уже была или нет:

Есть восемь золотых монет. Одна из них фальшивая, т.е. весит меньше.
Как при помощи маятниковых весов за два взвешивания найти фальшивую?

← →
MBo © (2004-07-02 10:01) [16]

>Sandman25 © (02.07.04 09:53) [13]
Есть еще решения.

← →
Sandman25 © (2004-07-02 10:01) [17]

[15] Danilka © (02.07.04 10:00)

3+3

← →
Sandman25 © (2004-07-02 10:03) [18]

[16] MBo © (02.07.04 10:01)

Точно. Получается не 9-8B, а 9-2B. Сейчас решу.

← →
MBo © (2004-07-02 10:03) [19]

>WondeRu © (02.07.04 09:59) [14]
>около 5*pi/2
x меньше этого значения, но больше некоего другого (из легко вычисляемых) - из этого оцениваем A

← →
Sergey_Masloff (2004-07-02 10:05) [20]

Danilka © (02.07.04 10:00) [15]
подобные были. Но за 2 она вроде не решается?

← →
Danilka © (2004-07-02 10:08) [21]

[20] Sergey_Masloff (02.07.04 10:05)
решается, см: [17] Sandman25 © (02.07.04 10:01)
:))

← →
Решатель (2004-07-02 10:08) [22]

1. x=0

← →
Думкин © (2004-07-02 10:11) [23]

> [20] Sergey_Masloff (02.07.04 10:05)

Тут доп информация о фальши присутствует - легче.

← →
Думкин © (2004-07-02 10:12) [24]

> [22] Решатель (02.07.04 10:08)

Тогда бы уж f(0)=0, но со вторым условием напряг. Так?

← →
Решатель (2004-07-02 10:17) [25]

1. f(x)= x/2

← →
pasha_golub © (2004-07-02 10:18) [26]

1. F(x) = C, где С є R

← →
Думкин © (2004-07-02 10:24) [27]

> [25] Решатель (02.07.04 10:17)
> [26] pasha_golub © (02.07.04 10:18)

Правильное решение приведено выше.

← →
WondeRu © (2004-07-02 10:26) [28]

2MBo © (02.07.04 10:03) [19]
3. A in (2pi, 5pi/2) ;-)

← →
Sergey_Masloff (2004-07-02 10:26) [29]

Думкин © (02.07.04 10:11) [23]
>> [20] Sergey_Masloff (02.07.04 10:05)
>Тут доп информация о фальши присутствует - легче.
Да опять тороплюсь. Если известно легче или тяжелее то конечно решается. Я просто знал эту задачу в варианте когда просто известно что она фальшивая.

← →
Sandman25 © (2004-07-02 10:28) [30]

6. Все решения находить лень (их еще 12 вроде бы). Вот одно из решений:
X=4-B+sqrt(9-8B), где B=sqrt(30)-5

← →
pasha_golub © (2004-07-02 10:28) [31]

Ай, яй, невнимательно посмотрел на условие. Посыпаю голову пеплом. :)

← →
pasha_golub © (2004-07-02 11:01) [32]

MBo, дай намек по второй задаче, а то работы не будет сегодня. ;-)

← →
Alx2 © (2004-07-02 11:10) [33]

>pasha_golub © (02.07.04 11:01) [32]
Нечестно :)

← →
pasha_golub © (2004-07-02 11:12) [34]

Alx2 © (02.07.04 11:10) [33]
Жизнь вообще нечестная штука. ;-)

← →
Думкин © (2004-07-02 11:37) [35]

> [34] pasha_golub © (02.07.04 11:12)

Паша, 1-й курс. :-(((

← →
GuAV © (2004-07-02 11:38) [36]

9. по 28 штук продавались за 4х ден.ед., а осдаток за х ден.ед.

← →
pasha_golub © (2004-07-02 11:46) [37]

Думкин © (02.07.04 11:37) [35]
Какой нафиг первый курс? Поверхности 7 порядка это первый курс? Однако, значит я не там учился. :-)

← →
GuAV © (2004-07-02 11:46) [38]

> 9. по 28 штук продавались за 4х ден.ед., а осдаток за х
> ден.ед.

Перепроверил - снимается. Имхо чуть меньше, ща найду...

← →
Alx2 © (2004-07-02 11:47) [39]

2. направляющий вектор (a,-a,0). Вектор сдвига (x0,-x0,0).
x = a*t + x0
y = -x
z=0

← →
Sandman25 © (2004-07-02 11:50) [40]

[39] Alx2 © (02.07.04 11:47)

ИМХО, тогда уже

x = aT + x0
y = -aT + y0
z = (x0^5+y0^5)^(1/7)

← →
Думкин © (2004-07-02 11:56) [41]

> [37] pasha_golub © (02.07.04 11:46)

А поверхности тут не при чем. Вот смотри [39]

← →
pasha_golub © (2004-07-02 11:59) [42]

Думкин © (02.07.04 11:56) [41]
Посмотрел. :)

← →
pasha_golub © (2004-07-02 12:04) [43]

Поддерживаю мнение Sergey_Masloff (02.07.04 09:52) [12]

Философский вопрос - имеет ли право MBo(c) публиковать по пятницам свои задачки если посли них Sergey_Masloff до понедельника чувствует себя тупым и не может полноценно отдыхать?
;-)

Только я не смогу теперь полноценно работать. :-)

← →
default © (2004-07-02 12:05) [44]

7. вообще по-моему нельзя решить...
"принимает в трех последовательных
целых точках три послед. целые значения"
значит на каком-то куске графика многоч-на он является куском прямой, а именно такой что 1=[k(x+1)+b]-[kx+b]=k
y=x+b
берём две произв-ые от многоч-на и прирав-ем к 0
получаем ур-ие 1-ой степени, а должно быть три решения)

← →
GuAV © (2004-07-02 12:09) [45]

9. По 22 шт за 2х ден.ед, остаток по х ден.ед

← →
Думкин © (2004-07-02 12:09) [46]

> [44] default © (02.07.04 12:05)

y=x^3
y(-1)=-1
y(0)=0
y(1)=1

← →
GuAV © (2004-07-02 12:12) [47]

[45] - решение - исходил из того, что число должно быть больше инкремента, чтобы остаток увеличивался но при инкременте должно увеличиасться частное.

← →
GuAV © (2004-07-02 12:18) [48]

> 4. Докажите, что существует единственное положительное число
> А, такое, что
> уравнение sin(x)=A*x имеет ровно 5 действительных корней
> и найдите А.

Докажу - геометрически - прямая A*x пересекает (0,0) - уже один корень, чтобы их было больше она должна пересекать синусоду - A<1 и это еще два корня, теперь чтоб добавилось ровно два нужно чтобы во второй раз она не пересекала а касалась синусоиды, отсюда... следующим постом :)

← →
GuAV © (2004-07-02 12:24) [49]

...следует что А - единственное, и оно- одно из решений системы:
A=cos(x)
A*x=sin(x)

← →
GuAV © (2004-07-02 12:37) [50]

> Дополнение к 4. - число A оценить

А что значит оценить? Если сказать примерно, то это где-то чуть менньше чем 5*Pi/3.
систему решил до х=tg(x) а такое не решаю, настолько математику не знаю.

← →
Думкин © (2004-07-02 12:42) [51]

> [50] GuAV © (02.07.04 12:37)

Можно оценить очень грубо x. А затем с помощью одного выражения указанного выше можно оценить A.

← →
Alx2 © (2004-07-02 12:45) [52]

7.
-4000+200/3*sqrt(3600-6*a)+10*a-1/9*sqrt(3600-6*a)*a
-4000+10*a
-4000-200/3*sqrt(3600-6*a)+10*a+1/9*sqrt(3600-6*a)*a

← →
default © (2004-07-02 12:47) [53]

Думкин © (02.07.04 12:09) [46]
да что-то я маху дал с прямой...
ответ:
9,10,11 при a=599

← →
GuAV © (2004-07-02 12:49) [54]

> Думкин © (02.07.04 12:42) [51]

Извините, я не настолько понимаю в математике, повторюсь: А что значит оценить?

← →
Думкин © (2004-07-02 12:50) [55]

> [54] GuAV © (02.07.04 12:49)

Изначально предполагалось - найти с точность до 0.1 используя бумагу и ручку. Просто МВо этого не написал здесь.

← →
GuAV © (2004-07-02 12:55) [56]

> используя бумагу и ручку

Гениально. А я, дурак, в голове все делал :)

← →
Думкин © (2004-07-02 12:56) [57]

> [56] GuAV © (02.07.04 12:55)

Вы не поняли, используя калькулятор и комп - сие решается с ходу. А вот достаточно быстро и красиво посчитать с указанной точностью на бумаге, без ерничества - попробуйте.

← →
GuAV © (2004-07-02 12:56) [58]

А Вы, раз такой умный, напишите ряд, чтоб найти с любой точностью. А то мне слабо :)

← →
Думкин © (2004-07-02 12:58) [59]

> 58] GuAV © (02.07.04 12:56)

Ряд тут совсем ни при чем. Достаточно школьных знаний по тригонометрии.

← →
default © (2004-07-02 13:07) [60]

Думкин © (02.07.04 12:42) [51]
ну прямая же будет кас-ся синус-ды в точка 5Pi/2 и -5Pi/2
отсюда
sin(5Pi/2)=5Pi/2*A --> A=2/(5Pi)

← →
Думкин © (2004-07-02 13:10) [61]

> [60] default © (02.07.04 13:07)

В этом случае она параллельна Ox.

← →
GuAV © (2004-07-02 13:15) [62]

На бумаге imho так: провести окружность (5*Pi/2;0) и радиус 1, к ней касательную, оттуда перпендикуляр к оси Ох, он укажет меньшую границу х, да?

← →
default © (2004-07-02 13:16) [63]

Думкин © (02.07.04 13:10) [61]
y=Ax

← →
WondeRu © (2004-07-02 13:17) [64]

default © (02.07.04 13:07) [60]
не будет она тама (5Pi/2 и -5Pi/2) касаться, касательными в этих точках являются у=1 и у=-1!

← →
MBo © (2004-07-02 13:18) [65]

>Sandman25 © (02.07.04 10:28) [30]
нет, решений 4 штуки

>GuAV © (02.07.04 11:38) [36]
Очень горячо
>GuAV © (02.07.04 12:09) [45]
холоднее ;)

>Alx2 © (02.07.04 11:47) [39]
>y = -x z=0
Да

← →
Думкин © (2004-07-02 13:22) [66]

> [63] default © (02.07.04 13:16)

Вот именно.

> [62] GuAV © (02.07.04 13:15)

Ну нет. :-) Просто посчитать - вот sin(pi/4) - знаете? и т.д

← →
GuAV © (2004-07-02 13:24) [67]

> >GuAV © (02.07.04 12:09) [45]
> холоднее ;)

А Вы проверте двадцать два...
20 0 + 20 40 1 + 18 60 2 + 16 80 3 + 14 100 4 + 12 120 5 + 10 140 6 + 8

← →
GuAV © (2004-07-02 13:27) [68]

т.е. второй столбец группы по 22, третий - остаток.
множим второй на 2, слаживаем с третим.
зы проверяю 26, может решение тоже.

← →
default © (2004-07-02 13:27) [69]

WondeRu © (02.07.04 13:17) [64]
почему нет?
вон в excel-е начертите
Думкин © (02.07.04 13:22) [66]
можно поточней?

← →
Думкин © (2004-07-02 13:29) [70]

> [69] default © (02.07.04 13:27)

Ну не может прямая y=Ax касаться синусоиди в локальном максимуме.

← →
default © (2004-07-02 13:29) [71]

7.ещё раз:
1989,1990,1991

← →
default © (2004-07-02 13:30) [72]

Думкин © (02.07.04 13:29) [70]
это почему?

← →
GuAV © (2004-07-02 13:31) [73]

> зы проверяю 26, может решение тоже.

Нет

← →
Думкин © (2004-07-02 13:33) [74]

> [72] default © (02.07.04 13:30)

Потому что для касания - производные должны совпадать для начала. А в одном случае 1, а во втором A.

← →
MBo © (2004-07-02 13:34) [75]

>default © (02.07.04 12:47) [53]
>9,10,11 при a=599
Верно. Требовалось найти значение многочлена - 1989, 1990, 1991, но это уже ясно.

>GuAV © (02.07.04 13:24) [67]
>А Вы проверте двадцать два...
Хм.. Работает!
А я получил 7 штук на копейку, 3 коп. за штуку и успокоился ;)

← →
GuAV © (2004-07-02 13:36) [76]

Есть еще решения
21:
20 0 + 20
40 1 + 19
60 2 + 18
80 3 + 17
100 4 + 16
120 5 + 15
140 6 + 14

23:
20 0 + 20
40 1 + 17
60 2 + 14
80 3 + 11
100 4 + 8
120 5 + 5
140 6 + 2

← →
WondeRu © (2004-07-02 13:37) [77]

default © (02.07.04 13:30) [72]
это почему?

возьми линейку и карандаш - увидишь, если аналитика не помогает! ;-)

← →
Agent13 © (2004-07-02 13:38) [78]

5. 1910

7:
20 3 + 6 40 5 + 5 60 8 + 4 80 11 + 3 100 14 + 2 120 17 + 1 140 20 + 0Зы - пора прогу писать, чтоб найти их все.

>Agent13 © (02.07.04 13:38) [78]
>5. 1910
Почти точно ;)
Возможно, не учел, что на первом круге вычеркиваются четные, а не нечетные?

> Возможно, не учел, что на первом круге вычеркиваются четные,
> а не нечетные?

Ну тогда 1911.

>Ну тогда 1911.
Да.

Кто-нить, напомните, что ещё не решено...

> [84] GuAV © (02.07.04 13:57)

Это:
Функция f задана и дифференцируема на отрезке [a,b], f(a)=a, f(b)=b. Доказать существование таких различных точек x1,x2 из (a,b), что f’(x1)*f’(x2)=1.

>GuAV © (02.07.04 13:57) [84]
не решена 6.

добавлю;)
10. В Восьмиречье в обращении находятся денежные купюры номиналом 1 рубль, 8 рублей и 64 рубля. Банком, в котором содержится неограниченный запас купюр каждого вида, 20 купюрами выдана некоторая сумма, меньшая 500 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом купюр выдать ее невозможно.

11. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов А и Б, причем второй шел со скоростью 4 км/ч. Встретившись через 40 минут, они продолжили движение. Первый пешеход пришел в пункт Б на 18 минут раньше, чем второй пришел в А. Найти скорость первого пешехода.

12. Окружность с центром на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC касается катетов AB и BC в точках M и N соответственно. Найти периметр треугольника ABC, если АМ = 4, СN = 9.

10. Очень простая. 7 по 1, 7 по 8, (20-7-7) по 64.

Что-то не встречал такой... и что его доказывать? если прямая то для любых точек верно, а если не очень прямая, то значит есть места где производная больше 1 и есть где меньше. Функция без резких углов (ну, т.е. гладкая или как там она зовется...), т.к. она диференцируема, значит, производная не меняется скачком, значит если она принимает значения t1<1 и t2>1, то она принимает и значение t3: t1<t3<1 и t2>1/t3>1. да... много слов. еще может неточности есть когда начинал писать, казалось очевидно...

11. 5*V^2 + 9V - 80 = 0

10
447 руб

11. 5 км/ч

Sandman25 © (02.07.04 14:15) [87]
КаПиБаРа © (02.07.04 14:19) [90]
верно

WondeRu © (02.07.04 14:18) [89]
верно
Ну уж дал бы сразу корень 5 км/ч ;)

MBo

Когда можно будет ожидать ответы по задачам? Мне с 6 вроде бы все ясно, но в процессе решения не хватает внимательности, хочется посмотреть решение, чтобы найти свою ошибку. А то неудобно решать на куче листочков размером 4x4 см, решение приходится отслеживать по 5-6 листочкам :(

12. Видимо я чего-то намудрил, но ответ выходит некрасивый: 25+5*sqrt(13)

>Sandman25 © (02.07.04 14:29) [94]
x^2-8[x]+7=0
пусть x=n+f, где n - целое.
x^2+7=8n => n>0
n^2+7<= x^2+7=8n <(n+1)^2+7=n^2+2n+8
попарно решая неравенства относительно n, получаем n=1,5,6,7

x^2=8n-7=1,33,41,49
x=1,7,sqrt(33), Sqrt(41)

>Agent13 © (02.07.04 14:40) [95]
>25+5*sqrt(13)
Верно. Кстати, в моем источнике дан неправильный ответ (с опиской, видимо) ;)

> Кстати, в моем источнике дан неправильный ответ (с опиской,
> видимо) ;)

А описка эта заключалась случайно не в том, что длина гипотенузы была принята ровно 18? :)

[96] MBo © (02.07.04 14:46)

Понятно, спасибо. Значит, я совсем не тем путем шел :(
у меня было:
x=a+b
a^2 + 2ab+b^2-8a+7=0
a^2+a(2b-8)+(b^2+7)=0
Откуда имеем через дискриминант:
a1=4-b+sqrt(9-8b)
a2-аналогично
Значит, надо, чтобы 9-8b>0, и чтобы a1 было целое, назовем его как n.
Тогда n=4-b+sqrt(9-8b)
sqrt(9-8b)=b-4+n
Обозначим k=(-4+n)-тоже целое число
Имеем
sqrt(9-8b)=b+k
В квадрат
9-8b=b^2+2bk+k^2
получаем
b^2+b(2k+8)+(k^2-9)=0
Опять квадратное уравнение:
b1=-k-4-0.5*sqrt(4k^2+32k+64-4k^2+36)=-k-4-sqrt(8k+25)
Надо, чтобы
8k+25>0
и 0<b1<1
Получаем k=-2 либо k=-1
Дальше я запутался. Только самое интересное, что sqrt(8*1+25)=sqrt(33) и sqrt(8*2+25)=sqrt(41), как в Вашем ответе.

>Agent13 © (02.07.04 14:54) [99]
>А описка эта заключалась случайно не в том, что длина гипотенузы была принята ровно 18? :)
Там вместо корня из 13 - корень из 3

Борис, Вы препод?

> GuAV © (02.07.04 14:17) [88]

:-)
Неа, сие доказательством не является. Докажи. Есть простое, намного проще того что описано, к тому же и не доказаное. Почему скачком не меняется, докажи?
Я давал уже эту задачу. Правильно пока никто не решил. А ответ толже давал. Он красивый. %-)

> [60] default © (02.07.04 13:07)
> Думкин © (02.07.04 12:42) [51]
> ну прямая же будет кас-ся синус-ды в точка 5Pi/2 и -5Pi/2
> отсюда
> sin(5Pi/2)=5Pi/2*A --> A=2/(5Pi)

То что прямая должна быть касательной к синусоиде - это так. Но тольно не в точке 5pi/2, а немножко левее нее..., а также немного правее точки -5pi/2

А вообще интерестно: можно ли данную задачу решить аналитически?
А то что я не делаю, все равно получаю трансцендентные уравнения.

Тут вот 8 монет взвешивали за 2 раза - это легко.
А вот из 12 за 3 взвешивания и вес фальши/вес эталона -
неизвестен.

> [107] SergP © (02.07.04 21:18)

Да примерно так. Только левую гранцу уточнить еще бы.
Далее есть такое sin^2+cos^2=1. Из уравнений Ax=sinx A=cosx получаем выражения для A. И из найденных границ может досточно хорошо приблизить А, во-всяком случае до точности 0,01.

> [106] Думкин © (02.07.04 18:10)

Это я сгоряча. Извиняюсь. Он, на самом деле, как 5-й элемент - само совершенство. :-)

>А вообще интерестно: можно ли данную задачу решить аналитически?
Нет, нельзя. Задача с росс. мат. олимпиады, фишка в том, чтобы определить интервал по X, в который попадает точка касания, причем конечные точки чтобы были легко считаемые, и найти А - интервал для A будет узким.

> [111] MBo © (05.07.04 07:43)

Ну то это нужно было написать с самого начала в условии. (насчет интервала)
А то и аналитически она не решается и вроде бы как численные методы (с помощью компа) использовать нехорошо...

Пятница - не сломай головы ;^) Найти похожие ветки