Пятница - значит, очередные задачки...

← →
MBo © (2004-05-28 07:47) [0]

1. Внутри цилиндрического стакана с окружностью 6 дюймов на расстоянии 1 дюйм от верхнего края есть капля меда. Снаружи стакана на расстоянии 3 дюйма от верхнего края сидит муха (противоположно капле, т.е. в проекции на стол - на 12 и на 6 часов соответвенно). Какое кратчайшее расстояние проползет муха? 2. Три моряка нашли на острове кучу кокосов. Первый взял половину орехов и еще пол-ореха, второй - половину оставшихся, и еще пол-ореха, третий -половину остатка и пол-ореха. Остался один орех, который стащила мартышка. Сколько было орехов? 3. Наблюдатель сидит на крыше и изучает поведение дятла, сидящего на дереве и ритмично долбящего кору клювом. Проведя измерения, наблюдатель отмечает, что видит ровно 60 ударов в минуту, а слышит ровно 61 удар в минуту. С какой скоростью у него едет крыша? 4. Встречаются два математика. 1) Ты как живешь? 2) Трое детей... 1) а сколько им лет-то? 2) В сумме четырнадцать, а произведение - как окон в вооон том доме. И на дом тычет. 1) Маловато информации для решения. 2) А, ну да - старший ребенок рыжий. И тут 1) говорит, сколько им лет. Вопрос, разумеется, сколько им лет-то? 5. Функция f(x) задана кусочно по правилу: - │ 4x+4 при x <= -1; f(x) = + 0 при -1 < x <= 1; │ x-1 при 1 < x <= 2; │ 3-x при x > 2. L Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется, значок "x" и числовые коэффициенты тоже можно использовать). 6. Даны шесть одинаковых по размеру кубиков разного веса: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 грамм. Hа кубиках написаны числа от 1 до 6. Требуется с помощью коромысловых весов (без гирь) доказать или опровергнуть утверждение: "Числа на кубиках соответствуют их весу в граммах". За какое минимальное количество взвешиваний это можно сделать (и как)? 7. Научная делегация в Америке. Аспиранты-математики оказались типичными математиками: они были ужасно рассеяны, а сообщаемые ими сведения были абсолютно точны, но при этом абсолютно бесполезны. Так, ни один из них не только не помнил, на каком этаже гостиницы проживал профессор Ковальски, но не помнили даже, на каком этаже жил каждый из них. -- Впрочем, я помню, когда мы с профессором, поднимаясь в лифте, назвали свои этажи, названное им число было ровно вдвое больше того, что назвал я, -- вспомнил один из аспирантов. -- А я однажды зашел в номер к профессору за кипятильником, так вот, я отлично помню, что, чтобы вернуться в свой номер, мне пришлось спуститься ровно на два этажа, -- припомнил второй. -- Все трое жили на разных этажах? -- Да. -- Может, вспомните еще что-нибудь? -- Я только помню, что номер моего этажа представлял собой простое число, -- сказал первый. -- Номер моего этажа тоже был простым числом, -- сказал второй. Больше ничего не удалось у них выяснить, но и то, что они сообщили, могло пригодиться. На каком этаже гостиницы жил профессор и каждый из аспирантов? 8. Населённые пункты А и Б расположены на прямом шоссе. Расстояние между А и Б - три километра. Аня живёт в пункте А, а Боря - в Б. Они познакомились в чате и влюбились друг в друга без памяти. Боря ходит в два раза быстрее, чем Аня. Они назначили свидание в том месте шоссе, до которого им идти от своих домов одинаковое время. Аня - математик, а Боря - физик. ВОПРОС: Назовите причину, по которой свидание не состоялось. 9. Доказать, что при натуральном n число 3^(3n+3) - 26n -27 делится на 169.

← →
Alx2 © (2004-05-28 07:52) [1]

Ух-ты сколько задачек :))

2. 15

← →
MBo © (2004-05-28 07:56) [2]

>Alx2 © (28.05.04 07:52) [1]
Могу предложить более сложную задачау о кокосах ;)

← →
Думкин © (2004-05-28 08:02) [3]

> MBo © (28.05.04 07:56) [2]

100 моряков попали на остров?

← →
Alx2 © (2004-05-28 08:02) [4]

5. 3/2*x+1/2*abs(x-1)-abs(x-2)-2*abs(1+x)+7/2

← →
Alx2 © (2004-05-28 08:04) [5]

4. 1, 4, 9

← →
MBo © (2004-05-28 08:09) [6]

> Alx2 © (28.05.04 08:04) [5] 4. 1, 4, 9
Неа.

>Alx2 © (28.05.04 08:02) [4]
>5. 3/2*x+1/2*abs(x-1)-abs(x-2)-2*abs(1+x)+7/2
угу ;)

← →
Alx2 © (2004-05-28 08:11) [7]

>MBo © (28.05.04 08:09) [6]
Да, с 4-й я поспешил. Вариант прозевал. Сейчас еще прикину :))

← →
Леприкон © (2004-05-28 08:15) [8]

1. L=3(ползет вверх к краю стакана)+1(ползет вниз к дну по внутр. стенке)+3.14*6(ползет параллельно пл-ти стола по полуокружности)

← →
Alx2 © (2004-05-28 08:16) [9]

4. 3, 3, 8

:)

← →
MBo © (2004-05-28 08:17) [10]

>Леприкон © (28.05.04 08:15) [8]
нет, есть путь короче. (да и третье слагаемое неверно посчитал)

← →
Леприкон © (2004-05-28 08:30) [11]

> MBo © (28.05.04 08:17) [10]

Я думал 6 это радиус. :))

Тогда наверное так.

L=3{вверх к краю}+Sqrt(Sqr(Pi*6)+Sqr(2))/2{к капле меда по половине витовой лини с шагом 2}

← →
MBo © (2004-05-28 08:32) [12]

>Леприкон
нет.

← →
Романов Р.В. © (2004-05-28 08:48) [13]

1.
SQRT(Pi*Pi*6*6+4*4)=19.269

← →
Думкин © (2004-05-28 08:49) [14]

> Романов Р.В. © (28.05.04 08:48) [13]

нет

← →
Романов Р.В. © (2004-05-28 08:53) [15]

1.
SQRT(3*3+4*4)=5
Не внимательно прочитал задание

← →
Думкин © (2004-05-28 09:06) [16]

> Романов Р.В. © (28.05.04 08:53) [15]

да

← →
Nikolay M. © (2004-05-28 09:21) [17]

> 2. Три моряка нашли на острове кучу кокосов.

8?

← →
Думкин © (2004-05-28 09:22) [18]

> Nikolay M. © (28.05.04 09:21) [17]

нет. она решена выше.

← →
Nikolay M. © (2004-05-28 09:25) [19]

> Думкин © (28.05.04 09:22) [18]

Тьфу, конечно.
(x-7)/8=1.
Не знаю, как у меня 8 получилось :)

← →
Кабан (2004-05-28 10:12) [20]

4. 3 - 3 - 8

← →
Alx2 © (2004-05-28 11:01) [21]

>9. Доказать, что при
>натуральном n число 3^(3n+3) - 26n -27 делится на 169.

Дважды индукция:
пусть f(n)=3^(3n+3) - 26n -27. При n=1 утверждение справедливо.
рассмотрим f(n+1).

f(n+1)=f(n)+3^(3*n+6)-26-3^(3*n+3)=f(n)+702*27^n-26=f(n)+169*(54*27^n-2)/13. Покажем, что (54*27^n-2)/13 - целое.
пусть g(n)=54*27^n-2. g(1) делится на 13. По индукции покажем, что g(n) тоже делится на 13.
g(n+1)=g(n)+54*27^(n+1)-54*27^n=g(n)+27^n*(54*27-54)=g(n)+54*26*27^n. Очевидно, что 54*26*27^n также делится на 13.

Доказано, что f(n) делится на 169.

← →
default © (2004-05-28 11:57) [22]

6.
на одну чашу положим кубики с цифрами 1, 2, 3, а на другую кубик с цифрой 6 - если будет равновесие, то возможно верность утверждения, иначе утвержденин не верно
далее на одну чашу ложим кубик с цифрой 4, на другую - с цифрой 5
если "5" тяжелее, то утверждение верно
минимум 2 взвешивания

← →
Думкин © (2004-05-28 12:01) [23]

> Alx2 © (28.05.04 11:01) [21]

Можно без индукции:
В последней задаче 3^(3n+3)=27^(n+1), 27^n=(26+1)^n и далее бином Ньютона - делится на 26^2 значит
и на 169=13*13

← →
MBo © (2004-05-28 12:10) [24]

Alx2 © (28.05.04 08:16) [9]
4. 3, 3, 8

Кабан (28.05.04 10:12) [20]
4. 3 - 3 - 8

Верно. Один из путей решения для тех, кому интересно:
По условию, второй знает произведение, но раскладывается на множители оно неоднозначно, причем неодн. снимается указанием, что старший ребенок лишь один. Следовательно, это произведение может быть представлено и как N*M*M, где M>N, и N+2M=14
Возможных значений M тогда всего два - 5 или 6, далее, думаю, понятно.

>Alx2 © (28.05.04 11:01) [21]
Я тоже по индукции делал
3^(3n+3) - 26n -27 =27*27^n-26n-27=
27(27^n-1)-26n
n+1 член
27(27*27^n-1)-26n-26
разность
27*26*27^n-26=26(27^(n+1)-1)=26(27-1)(27^n+27^(n-1)+...+1)=26^2(27^n+27^(n-1)+...+1)

← →
Sergp © (2004-05-28 12:10) [25]

1. 5

← →
Sergp © (2004-05-28 12:19) [26]

3.

скорость звука / 60

← →
Sergp © (2004-05-28 12:36) [27]

> -- Впрочем, я помню, когда мы с профессором, поднимаясь
> в
> лифте, назвали свои этажи, названное им число было ровно
> вдвое
> больше того, что назвал я, -- вспомнил один из аспирантов.
> -- А я однажды зашел в номер к профессору за кипятильником,
> так вот, я отлично помню, что, чтобы вернуться в свой номер,
> мне
> пришлось спуститься ровно на два этажа, -- припомнил второй.
> -- Все трое жили на разных этажах?
> -- Да.
> -- Может, вспомните еще что-нибудь?
> -- Я только помню, что номер моего этажа представлял собой
> простое число,
> -- сказал первый.
> -- Номер моего этажа тоже был простым числом, -- сказал
> второй.
> Больше ничего не удалось у них выяснить, но и то, что они
> сообщили,
> могло пригодиться.
> На каком этаже гостиницы жил профессор и каждый из аспирантов?

Допустим первый жил на этаже - a, второй на этаже b , професор на с

1. 2*a=c
2. 2+b=c
3. a-простое
4. b-простое
5. a<>b, a<>c, b<>c

Получаем 2*a=2+b т.е. b=2*(a-1)
Отсюда видно что b - четное.
Единственное простое четное число - это 2
Но в таком случае не выполняется a<>b

Следовательно задача не имеет решения. Т.е. аспиранты

← →
MBo © (2004-05-28 12:43) [28]

>Sergp © (28.05.04 12:19) [26]
>3. скорость звука / 60

Верно ;), около 5 м/c (эффект Допплера)

>Sergp © (28.05.04 12:36) [27]
Задача с подвохом ;)
В первом, непроцитированном тобой абзаце есть косвенное указание на него.

Наверное Аня пошла в сторону противоположную направлению в пункт Б?

> >Sergp © (28.05.04 12:36) [27]
> Задача с подвохом ;)
> В первом, непроцитированном тобой абзаце есть косвенное
> указание на него.

Подвох понял.
Решение 7 , 11 , 14

6.
если на самом деле окажется что кубики весят не так как на них написано, но (каждый кубик весит) = (то что на нем написано) * (одинаковое число для всех кубиков)

То опровергнуть это не удасться

>Sergp
>Наверное Аня пошла в сторону противоположную направлению в пункт Б?
Именно так. Точек, удовлетв. условию, две, и она, как чистый математик, взяла первый попавшийся корень. Физик же применил граничные условия.

>Решение 7 , 11 , 14
Верно ;)

>То опровергнуть это не удасться
Это уже буквоедство ;) Пусть не граммы, а относительные единицы будут.

> и в чём подвох был?

У америкосов нет 13 этажа.

8. Наверно Боря не оказался джентельменом. (Девушка должна ждать, а парень идти на встречу). ;-)

Решение юмористическое
1. 2 как только доползет до капи, то дальше сдвинуться не сможет, ни голод ни интелект не помогут.

> [20] Кабан (28.05.04 10:12)
> 4. 3 - 3 - 8

> [9] Alx2 © (28.05.04 08:16)
> 4. 3, 3, 8
>
> :)

Вот блин... А я не заметил постов и только что решал эту задачку используя для удобства FOXPRO. Сначала запендярил в БД все варианты, потом SQL -запросами выбирал где одинаковые произведения и в котором из результатов имеется только один вариант что старший ребенок один... :-))))
А только хотел ответ запостить, как увидел что их тут аж 2 запощено...

> [36] Igorek © (28.05.04 13:24)
> 8. Наверно Боря не оказался джентельменом. (Девушка должна
> ждать, а парень идти на встречу). ;-)

Не надо гнать на Борю... Он чиста нормальный пацан, и сделал все правильно. Это Аня пошла "налево"....:-)))

Пятница - значит, очередные задачки... Найти похожие ветки