вычисление дифференциала

← →
Fill181 (2003-04-09 21:02) [0]

Привет народ, я знаю, что вопрос не в тему, но может, кто знает! Есть ряд чисел (7шт.), как получить дифференциал от каждого из этих чисел, с помощью рядов Тейлора (шаг = 15), большое спасибо, если выручите!

← →
VD601 (2003-04-09 21:35) [1]

Дифференциал от чисел?? Ты чего такое говоришь?
Дифференциал - главная линейная часть приращения функции.
Если функция равна константе (числу), то ее приращение, а значит и дифференциал, и производная равны нулю.
В ряд Тэйлора расладываются ФУНКЦИИ!
Не знаю, кто тебе дал эти задания, но если он имел ввиду, скажем, число Эйлера (Непера), то можно разложить функцию exp(x), а потом взять ее в точке 1.
Напиши четко, что ты хочешь.

← →
Fill181 (2003-04-10 05:42) [2]

>>>VD601
Примерно это раскладывается по формуле y[i]=(1/2h)*(y[i+1]-y[i-1]), но главная проблема в том, как вычислить крайние числа ряда!
(Это численное дифференцирование). И хорошо бы знать, как вычислить формулу диф. 4 степени.

← →
Fill181 (2003-04-10 05:42) [3]

>>>VD601

Примерно это раскладывается по формуле y[i]=(1/2h)*(y[i+1]-y[i-1]), но главная проблема в том, как вычислить крайние числа ряда!
(Это численное дифференцирование). И хорошо бы знать, как вычислить формулу диф. 4 степени.

← →
ЮЮ © (2003-04-10 05:57) [4]

>но главная проблема в том, как вычислить крайние числа ряда!

Здесь нет проблемы, просто если ф-ция задана в 7 точках, то для её производной по твоей ф-ле можно определить значения только в 5-ти точках.

>И хорошо бы знать, как вычислить формулу диф. 4 степени.
Применить алгоритм 4 раза. Только по 7 точкам сможешь найти только 1 значение для диф. 3 степени :-)

При численных методах значений должно быть гораздо больше

← →
Rol (2003-04-10 06:17) [5]

2Fill181
(y[i+1]-y[i-1])/(2*h) - разностная аппроксимация первой производной с точностью O(h).
Аналоги:
1. разность вперёд: (y[i+1]-y[i])/h
2. разность назад: (y[i]-y[i-1])/h
Т.о. можно найти приближенное значение производной в любой из 7 точек. Но, пользуясь данными выражениями, никак не дифференциала(смотри определение выше) и, уж тем более, не y[i], как у тебя.

← →
Fill181 (2003-04-10 20:12) [6]

>>Rol да может не все так точно, как я описал, но проблема не этом, то что ты описал это с точностью 0(h), а мне надо минимум
0(h2), и все-таки как-то можно вычислить крайние числа, это точно, сам видел, только формулу не знаю!

>Fill181 (10.04.03 20:12

Дабы избежать нагромождений рассмотрим случай трех точек (сетка равномерная, шаг = h):

Для "крайнего" числа x ищем приближение производной в виде
f"(x)=a1*f(x)+b1*f(x+h)+c1*f(x+2*h);
Требуется найти a1,b1,c1

Получим Ряд Тейлора по h:
a1*f(x)+b1*f(x)+c1*f(x)+(b1*f"(x)+2*c1*f"(x))*h+(1/2*b1*f""(x)+2*c1*f""(x))*h^2+...

Требуем равенства его f"(x) путем подбора a1,b1,c1

(b1+2*c1)*h = 1 - единица, потому что этот коэфициент стоит перед f"(x)
(1/2*b1+2*c1)*h^2 = 0 - потому-что перед второй производной a1+b1+c1 = 0 - потому-что перед f(x)

Решаем и находим
c1 = -1/2*1/h, a1 = -3/2*1/h, b1 = 2*1/h
Или
f"(x) ~= (-3/2*f(x)+2*f(x+h)-1/2*f(x+2*h))/h - формула второго порядка для производной в "крайней левой" контрольной точке.

Аналогично можно расчитать и для семи контрольных точек.

>Fill181 (10.04.03 20:12

Забыл добавить, что общий подход - провести интерполяционный многочлен через узлы сетки и считать уже его производную в нужной точке.

вычисление дифференциала Найти похожие ветки