Точки

← →
Kerk © (2005-12-06 15:26) [0]

Четное количество точек размещены по случайным координатам на плоскости. Всегда ли существует прямая, с одной стороны которой будет лежать ровно половина точек?

← →
Igorek © (2005-12-06 15:27) [1]

да

← →
Igorek © (2005-12-06 15:28) [2]

нет

← →
Kerk © (2005-12-06 15:28) [3]

А доказательство?

← →
Igorek © (2005-12-06 15:30) [4]

А это уже другая задача. :)

← →
Kerk © (2005-12-06 15:32) [5]

> Igorek © (06.12.05 15:30) [4]

Ну в [1] и [2] не решение.

← →
MBo © (2005-12-06 16:08) [6]

http://algolist.manual.ru/forum/showflat.php/Cat/0/Number/7238/an/0/page/1#7238

← →
Igorek © (2005-12-06 17:03) [7]

По мотивам
> MBo © (06.12.05 16:08) [6]

Домустим - нет.
Возьмем любую прямую - отложим на ней проекции всех точек.
Очевидно, что перпендикуляром не разделить тогда, когда есть совпадения. Допустим совпали А и Б. Повернем прямую на бесконечно маленький угол. Допустим снова совпали. Но точно не А и Б - они совпадут через 180 градусов. И так далее - на бесконечное число уголов - на 180 градусов. Значит существует такое бесконечное множество пар точек, что как ни вращай прямую - найдутся две, что совпадут. Следовательно множество точек - бесконечно!
Вопрос - может ли существовать множество из бесконечного парного числа точек?

← →
vertal © (2005-12-07 05:17) [8]

> Точки
:)))

← →
Думкин © (2005-12-07 06:01) [9]

> Четное количество точек размещены по случайным координатам на плоскости

Координат две. То ли пива мало, то ли точек много.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 06:43) [10]

Дана фигура.
Окружность состоящая из N точек, где N четное число, такое что любая прямая пересекающая окружность проходит через 2 точки принадлежащие окружности (прямая не может пройти между точек).
Внутри окружности через ее центр проведена хорда из К точек, где К четное число.

Любая прямая пересекающая эту фигуру через центр (под любым углом к внутренней хорде) проходит через 2 точки лежащие на окружности.
Любая прямая пересекающая фигуру не через центр проходит через 3 точки, 2 лежащие на окружности и 1 на хорде.

Существует ли прямая, с одной стороны которой будет лежать ровно половина точек?

← →
Думкин © (2005-12-07 06:49) [11]

Удалено модератором

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 06:51) [12]

Удалено модератором

← →
Думкин © (2005-12-07 06:58) [13]

Удалено модератором

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 07:00) [14]

Удалено модератором

← →
Думкин © (2005-12-07 07:02) [15]

Удалено модератором

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 07:05) [16]

Удалено модератором

← →
MBo © (2005-12-07 07:34) [17]

>КаПиБаРа © (07.12.05 06:43) [10]
Так не может быть.
Раз число точек задано - это счетное множество, а окружность содержит несчетное множество (что следует из того, что любая прямая проходит через точки)

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 07:41) [18]

MBo © (07.12.05 7:34) [17]
А несчетное множество может содержать четное число элементов?

← →
Думкин © (2005-12-07 07:43) [19]

> КаПиБаРа © (07.12.05 07:41) [18]

ы не поверишь.... содержит.
Но вот любая прямая через него не проходит. Заковыка. Ты думать начинай. Я разрешаю. :)

← →
MBo © (2005-12-07 07:50) [20]

>КаПиБаРа © (07.12.05 07:41) [18]
Не вполне понял вопрос.
Как свое подмножество - может.
А количество элементов в несчетном множестве по определению несчетно ;)

← →
Думкин © (2005-12-07 07:52) [21]

> MBo © (07.12.05 07:50) [20]

И Кантор показал, что такие множества вполне конструируемы человеческим мозгом.

← →
vrem (2005-12-07 08:12) [22]

Удалено модератором

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 08:22) [23]

MBo © (07.12.05 7:50) [20]
>КаПиБаРа © (07.12.05 07:41) [18]
Не вполне понял вопрос.

Ну например можно сказать что множество всех чисел несчетно? Вроде можно.
Можно сказать что множество всех чисел нечетно? Например если предположить что у каждого числа есть пара с противоположным знаком и есть еще 0 у которого пары нет.

Вот человек тоже этим вопросом задается.
Igorek © (06.12.05 17:03) [7]
Вопрос - может ли существовать множество из бесконечного парного числа точек?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 08:24) [24]

КаПиБаРа © (07.12.05 8:22) [23]
Можно сказать что множество всех чисел нечетно?

Вернее так. Бесконечное множество всех чисел содержит нечетное число элементов.

← →
MBo © (2005-12-07 08:59) [25]

>Ну например можно сказать что множество всех чисел несчетно? Вроде можно.

Каких чисел? Есть несколько уровней мощности -
конечное множество
счетное множество (например, множества натур. чисел, рациональных чисел, алгебраических чисел)
несчетное множество - иррациональных чисел, точек отрезка, прямой, квадрата и т.п.

понятие четности количества (и вообще само понятие количества) применимо только к конечным множествам

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 09:30) [26]

MBo © (07.12.05 8:59) [25]
Каких чисел?
Множество действительных чисел.

Возьмем окружность содержащую несчетное множество точек. Каждой точке для угла Fi [0...Pi) соответствует точка расположенная под углом Fi + Pi. Т.е. число точек четно.

Любая прямая проходящая через центр окружности пресекает ее в 2-х точках. Для любого числа прямых четного или нечетного N найдется 2*N точек, т.е. четное число, которые она пересекает. Значит число точек в окружности четное.

← →
Думкин © (2005-12-07 10:43) [27]

> КаПиБаРа © (07.12.05 08:22) [23]
> Ну например можно сказать что множество всех чисел несчетно?
> Вроде можно.

Типа земля круглая, а типа ИМХО и квадртная. :(
Не вроде. А множество натуральных чисел - счетное. Рациональных - обратно - счетное. А вот действительных ни разу. без вроде и ИМХО и прочего невежества. Яндекс не поможет. Ну ни разу.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 10:53) [28]

Думкин © (07.12.05 10:43) [27]
Ответь на несколько вопросов.

Если множество А несчетное, множество B = -А тоже несчетное?
Если множество С состоит из А и В, оно тоже несчетное?
Можно ли сказать, что во множестве С четное число элементов?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 10:53) [29]

Думкин © (07.12.05 10:43) [27]
Яндекс не поможет. Ну ни разу.

Тебе череп не жмет?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 10:57) [30]

Думкин © (07.12.05 10:43) [27]
Еще просьба. Пиши пожалуйста оскорбления в отдельных постах, что бы их можно было удалять не задевая содержательной части.

← →
Думкин © (2005-12-07 11:13) [31]

> КаПиБаРа © (07.12.05 10:53) [28]

1. Про минус - проясни. Отрицание. а ...и т.п.
2. если А ИЛИ Б несчетное - то да. Если оба счетные - то нет.
3. А что есть множество С?

Ты не вник. Оскорблять не буду. Ты сам себя оскорбляешь. Невежеством.
Чубайс запретил подчиненны кдумать и книги читать? Сочувствую.

В душе моей огонь горит прекрасный,
Его зажгли Вы - автор слов бесценных.
Перо в руке, чернила, шарф атласный...
Пишите дальше, радуйте нас бренны (с)

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 11:18) [32]

Думкин © (07.12.05 11:13) [31]

Множество А содержит точки отрезка (0..1]
Множество В содержит точки отрезка (-1..0]
Множество С содержит точки [-1..0) и (0..1]

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 11:19) [33]

КаПиБаРа © (07.12.05 11:18) [32]
Множество В содержит точки отрезка (-1..0]

не правильно
Множество В содержит точки отрезка [-1..0)

← →
Думкин © (2005-12-07 11:26) [34]

> КаПиБаРа © (07.12.05 11:18) [32]

and what?
One wonderfool day fly two crocodiles first to Afrika and second is green.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 11:30) [35]

Думкин © (07.12.05 11:13) [31]
Ты не вник.

Да, кстати во что я не вник?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-07 11:49) [36]

Думкин © (07.12.05 11:26) [34]
and what?

MBo © (07.12.05 8:59) [25]
несчетное множество - иррациональных чисел, точек отрезка, прямой, квадрата и т.п.

Думкин © (07.12.05 10:43) [27]
Ответь на несколько вопросов.

1. Если несчетное множество А содержит точки отрезка (0..1], множество B = -А содержит точки отрезка [-1..0) тоже несчетное?
2. Если множество С состоит из А и В содержит точки [-1..0) и (0..1], оно тоже несчетное?
3. Можно ли сказать, что во множестве С четное число элементов?

← →
Думкин © (2005-12-08 05:40) [37]

1. Несчетное
2. Да
3. Понятие четности для бесконечных множеств - в студию.

Несчетное множество - имеющее мощность выше счетного. Например - действительные числа. Так что?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:07) [38]

Думкин © (08.12.05 5:40) [37]
Понятие четности для бесконечных множеств - в студию

Я бы дал такое определение.

Четным называется множество, состоящее из четного количества эквивалентных множеств.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:09) [39]

> КаПиБаРа © (07.12.05 09:30) [26]

м случае - любая пересекающая окружность прямая будет решать указанную задачу. Ибо будет делить окружность на 2 равномощных множества. :( Любая перескающая.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:10) [40]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:07) [38]
> Думкин © (08.12.05 5:40) [37]

? Вот отрезок [0,1] четный? ибо его можно разбить бескончнеое чилсо раз на равномощные пары.
Смысл такого понятия? Все бесконченые множества тогда будут четными.
Что значит эквивалентные?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:24) [41]

Думкин © (08.12.05 6:10) [40]
Что значит эквивалентные?

Мощность множества
в математике, обобщение на произвольные множества понятия "число элементов". М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощности называются часто кардинальными (т. е. количественными) числами. Наименьшей бесконечной мощностью является A0 - М. м. натуральных чисел. Понятие М. м. введено основателем теории множеств Г. Кантором (1878), который установил, что М. м. действительных чисел с больше A0, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.

(с) Большая советская энциклопедия

Взаимно однозначное соответствие
Взаимно однозначное соответствие (математическое), такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определённый элемент второго множества, а каждому элементу второго множества — один определённый элемент первого множества. В. о. с. — частный вид функции или отображения, когда данная функция и ей обратная являются однозначными. Если между двумя множествами можно установить В. о. с., то эти множества называются эквивалентными, или равномощными. Например, множества целых и их квадратов равномощны, так как соответствие n ® n2 является В. о. с.

(с) Российский энциклопедический словарь

Если между двумя множествами можно установить В. о. с., то эти множества называются эквивалентными, или равномощными.

Вот например отрезок (0,1] четный, т.к. его можно разбить на 2 эквивалентных отрезка (0, 0.5] и (0.5, 1]. Между этими отрезками можно установить ВОС X2=X1+0.5

А отрезок [0,1] нечетный, т.к. его нельзя разбить на 2 отрезка между которыми можено установить ВОС.

Ю а андестенд?

← →
Думкин © (2005-12-08 06:30) [42]

Неа. Не адестенд.
отрезок [0,1] - етный ибо его можно разбить на 2 равномощных множества. Например:
[0;0,5] &(0.5;1]
и нечетный ибо можно разбить на три равномощных множемства:
[0;1/3) [1/3;2/3] (2/3;1]

:)

Думкин © (08.12.05 6:30) [42]
отрезок [0,1] - етный ибо его можно разбить на 2 равномощных множества. Например:
[0;0,5] &(0.5;1]

Тогда какое ВОС будет между этими двумя отрезками?

Вот например между (0, 0.5] и (0.5, 1] ВОС X2=X1+0.5

А какое ВОС между [0;0,5] &(0.5;1]?

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:33) [43]

Ты в явном виде его требуешь. А это ведь неважно - главное, что оно существует.
Добавление кончного множества элементов к бесконечному множеству - не меняет его мощности. Как и удаление оного.
Почитайц Ершова - Мат.логика. Обычно проходят на втором курсе Мехмата. Удивись.

Есть ВОС и между точками квадрата и отрезка. А вот непрерывного - увы. :(
Много чего есть.И забавного.
Например:
Есть гостиница со счетным числом мест. Все места заняты. приезжает гость. И ег селят. Приезжает счетное число гостей и их селят. приезжает счетное число поездов о счетным числом гостей - так ведь и их селят.

Думкин © (08.12.05 6:38) [45]
Много чего есть
Об этом пожалуйста, в другой ветке. А то ветка опять закончится салом и чебуреками.

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:45) [49]

Это множество имет мощность континуума. В более привычном - да, ибо содержит бесконечное множество элементов.

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:45) [49]

Если конечно. это не множество дву элементов 0 и 1, а именно отрезок действительной оси. Если это отрезок во множестве рациональных чисел - тоже бесконечное, но уже счетное множество. Если целых - то конечное.

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Добавление кончного множества элементов к бесконечному множеству - не меняет его мощности. Как и удаление оного.

Еще раз перечитал БСЭ и пришел к выводу, что ты не прав.

Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. Кантор, основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1-1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1-1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1-1)-соответствие.

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Ты в явном виде его требуешь. А это ведь неважно - главное, что оно существует.
Я все еще требую его в явном виде.

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:49) [52]

Я прав. А в выраженном в конечном виде его возможно и нет.
Тут такая аналогия
Первообразная от функции sin(x)/x - существует, как от кусочно непрерывной функции. Но вот беда - в квадратурах не выражается.
То есть написать ее используя элементарные функции - не удастся. Но тем не менее она существует.

Можешь спорить конечно и до дыр перечитывать БСЭ. Но я прав. :)

Установить - можно. Но это вовсе не значит, что оно выписываемо в конечном виде.

Ты вот подумай: [0;1] [0;2] - равномощны.

> КаПиБаРа © (08.12.05 07:02) [54]

Это в конце концов утомительно. Они равномощны. Как бы странно тебе это ни казалось. Завязываю на этом. Ты все-таки почитай. А то на пустом месте топчешься.
Равномощны они. даже несмотря на то, что я не приведу тебе в конечной записи соответствие. Ты же сам списал:
> Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В;

Так вот в мат.логике показывается, что такое правило тут существует. Но приводить его - вовсе не обязательно.

> [41] КаПиБаРа © (08.12.05 06:24)

> Например, множества целых и их квадратов равномощны, так
> как соответствие n ® n2 является В. о. с.

Вот так и хочется просто взять и с этим категорически не согласиться. Надеюсь понятно почему? ;-)

Skyle © (08.12.05 7:32) [56]
Ещё до создания М. т. Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1-1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1-1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n, то получим (1-1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р. Дедекинд).

Не повторяй его ошибку

> КаПиБаРа ©

Кстати. про явный вид соответствия между (0;1) [0;1].
х=х.
Проблема в одной точке - 0. Ей нет пары.
Выделим на отрезке (0,1] все рациональные числа. Это множество счетное. Добавим к нему элемент 0. Множество по прежнему останется счетным и будет равномощно предыдущему. А раз так, то значит существует взаимноодозначное соответствие между этим множеством и старым. А значит существует и ВОС между исходными множествами.
Доказательство того, что счетное множество не меняет мощность при добавлении коненчного числа элементов(или даже счетного) - можно считать домашним заданием.

Или так. Прежнее тождественно отображение чуть подкорректируем.
Выделим такое счетное множество:
1. 0.1
2. 0.01
3. 0.001 и т.д.
Добавим 0 и построим такое соответствие:
0->0.1
0.1->0.01
0.01->0.001 и т.д.

Точки Найти похожие ветки