Точки

← →
Думкин © (2005-12-08 06:10) [40]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:07) [38]
> Думкин © (08.12.05 5:40) [37]

? Вот отрезок [0,1] четный? ибо его можно разбить бескончнеое чилсо раз на равномощные пары.
Смысл такого понятия? Все бесконченые множества тогда будут четными.
Что значит эквивалентные?

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:24) [41]

Думкин © (08.12.05 6:10) [40]
Что значит эквивалентные?

Мощность множества
в математике, обобщение на произвольные множества понятия "число элементов". М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощности называются часто кардинальными (т. е. количественными) числами. Наименьшей бесконечной мощностью является A0 - М. м. натуральных чисел. Понятие М. м. введено основателем теории множеств Г. Кантором (1878), который установил, что М. м. действительных чисел с больше A0, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности.

(с) Большая советская энциклопедия

Взаимно однозначное соответствие
Взаимно однозначное соответствие (математическое), такое соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует один определённый элемент второго множества, а каждому элементу второго множества — один определённый элемент первого множества. В. о. с. — частный вид функции или отображения, когда данная функция и ей обратная являются однозначными. Если между двумя множествами можно установить В. о. с., то эти множества называются эквивалентными, или равномощными. Например, множества целых и их квадратов равномощны, так как соответствие n ® n2 является В. о. с.

(с) Российский энциклопедический словарь

Если между двумя множествами можно установить В. о. с., то эти множества называются эквивалентными, или равномощными.

Вот например отрезок (0,1] четный, т.к. его можно разбить на 2 эквивалентных отрезка (0, 0.5] и (0.5, 1]. Между этими отрезками можно установить ВОС X2=X1+0.5

А отрезок [0,1] нечетный, т.к. его нельзя разбить на 2 отрезка между которыми можено установить ВОС.

Ю а андестенд?

← →
Думкин © (2005-12-08 06:30) [42]

Неа. Не адестенд.
отрезок [0,1] - етный ибо его можно разбить на 2 равномощных множества. Например:
[0;0,5] &(0.5;1]
и нечетный ибо можно разбить на три равномощных множемства:
[0;1/3) [1/3;2/3] (2/3;1]

:)

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:33) [43]

Думкин © (08.12.05 6:30) [42]
отрезок [0,1] - етный ибо его можно разбить на 2 равномощных множества. Например:
[0;0,5] &(0.5;1]

Тогда какое ВОС будет между этими двумя отрезками?

Вот например между (0, 0.5] и (0.5, 1] ВОС X2=X1+0.5

А какое ВОС между [0;0,5] &(0.5;1]?

← →
Думкин © (2005-12-08 06:35) [44]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:33) [43]

Ты в явном виде его требуешь. А это ведь неважно - главное, что оно существует.
Добавление кончного множества элементов к бесконечному множеству - не меняет его мощности. Как и удаление оного.
Почитайц Ершова - Мат.логика. Обычно проходят на втором курсе Мехмата. Удивись.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:38) [45]

Есть ВОС и между точками квадрата и отрезка. А вот непрерывного - увы. :(
Много чего есть.И забавного.
Например:
Есть гостиница со счетным числом мест. Все места заняты. приезжает гость. И ег селят. Приезжает счетное число гостей и их селят. приезжает счетное число поездов о счетным числом гостей - так ведь и их селят.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:39) [46]

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Ладно почитаю.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:42) [47]

Думкин © (08.12.05 6:38) [45]
Много чего есть
Об этом пожалуйста, в другой ветке. А то ветка опять закончится салом и чебуреками.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:43) [48]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:42) [47]

А она уже закончилась. Ибо задачи уже нет.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:45) [49]

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Да кстати, а [0, 1] это бесконечное множество?

← →
Думкин © (2005-12-08 06:47) [50]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:45) [49]

Это множество имет мощность континуума. В более привычном - да, ибо содержит бесконечное множество элементов.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:49) [51]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:45) [49]

Если конечно. это не множество дву элементов 0 и 1, а именно отрезок действительной оси. Если это отрезок во множестве рациональных чисел - тоже бесконечное, но уже счетное множество. Если целых - то конечное.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 06:49) [52]

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Добавление кончного множества элементов к бесконечному множеству - не меняет его мощности. Как и удаление оного.

Еще раз перечитал БСЭ и пришел к выводу, что ты не прав.

Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. Кантор, основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1-1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1-1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1-1)-соответствие.

Думкин © (08.12.05 6:35) [44]
Ты в явном виде его требуешь. А это ведь неважно - главное, что оно существует.
Я все еще требую его в явном виде.

← →
Думкин © (2005-12-08 06:54) [53]

> КаПиБаРа © (08.12.05 06:49) [52]

Я прав. А в выраженном в конечном виде его возможно и нет.
Тут такая аналогия
Первообразная от функции sin(x)/x - существует, как от кусочно непрерывной функции. Но вот беда - в квадратурах не выражается.
То есть написать ее используя элементарные функции - не удастся. Но тем не менее она существует.

Можешь спорить конечно и до дыр перечитывать БСЭ. Но я прав. :)

Установить - можно. Но это вовсе не значит, что оно выписываемо в конечном виде.

Ты вот подумай: [0;1] [0;2] - равномощны.

← →
КаПиБаРа © (2005-12-08 07:02) [54]

Думкин © (08.12.05 6:54) [53]
Ты вот подумай: [0;1] [0;2] - равномощны
Да равномощны.

А (0, 1] и [0, 2] неравномощны.

> КаПиБаРа © (08.12.05 07:02) [54]

Это в конце концов утомительно. Они равномощны. Как бы странно тебе это ни казалось. Завязываю на этом. Ты все-таки почитай. А то на пустом месте топчешься.
Равномощны они. даже несмотря на то, что я не приведу тебе в конечной записи соответствие. Ты же сам списал:
> Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В;

Так вот в мат.логике показывается, что такое правило тут существует. Но приводить его - вовсе не обязательно.

> [41] КаПиБаРа © (08.12.05 06:24)

> Например, множества целых и их квадратов равномощны, так
> как соответствие n ® n2 является В. о. с.

Вот так и хочется просто взять и с этим категорически не согласиться. Надеюсь понятно почему? ;-)

Skyle © (08.12.05 7:32) [56]
Ещё до создания М. т. Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1-1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1-1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n, то получим (1-1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р. Дедекинд).

Не повторяй его ошибку

> КаПиБаРа ©

Кстати. про явный вид соответствия между (0;1) [0;1].
х=х.
Проблема в одной точке - 0. Ей нет пары.
Выделим на отрезке (0,1] все рациональные числа. Это множество счетное. Добавим к нему элемент 0. Множество по прежнему останется счетным и будет равномощно предыдущему. А раз так, то значит существует взаимноодозначное соответствие между этим множеством и старым. А значит существует и ВОС между исходными множествами.
Доказательство того, что счетное множество не меняет мощность при добавлении коненчного числа элементов(или даже счетного) - можно считать домашним заданием.

Или так. Прежнее тождественно отображение чуть подкорректируем.
Выделим такое счетное множество:
1. 0.1
2. 0.01
3. 0.001 и т.д.
Добавим 0 и построим такое соответствие:
0->0.1
0.1->0.01
0.01->0.001 и т.д.

Точки Найти похожие ветки