Помогите найти решение задачки

← →
Antonn © (2005-07-18 10:32) [0]

Была у меня когда то хорошая книга "Зри в корень" Маковецкого, там приводилась задача про смешивание жидкостей с разной температурой, и путем этих смешаний результирующая температура была выше их средней температуры( (t1+t2)/2 ). Но книгу посеял, а задача до сих пор не дает покоя, сам не могу понять, как там получилось. Может кто знает/помнит/посмотрит и напишет?

← →
БарЛог © (2005-07-18 10:56) [1]

Реакция с выделением тепла?

← →
alexeis © (2005-07-18 11:35) [2]

экзотермическая реакция

← →
Antonn © (2005-07-18 12:14) [3]

нет, в том то и дело, смешивали воду, никаких потерь(и тд) не учитывалось. Теоретически получили(насколько помню) из 3 литров воды 10С и 3 литров воды 90С -> 6 литров воды с температурой 67,3С(что то "из той степи"). А средняя 50С.
Вот и хочу все таки найти решение, потому как в книге все доказательство выглядело пучком.

← →
Юрий Зотов © (2005-07-18 12:33) [4]

При отсутствии источников и стоков тепла и пренебрегая зависимостью теплоемкости от температуры, уравнение энергии выглядит так:
C*(M1+M2)*T = C*M1*T1 + С*M2*T2
где C - теплоемкость, M - масса, T - абсолютная температура.

Откуда:
T = (M1*T1 + M2*T2)/(M1+M2)

Если M1=M2, то получаем:
T = (T1+T2)/2
или
t = (t1+t2)/2
где t - температура по Цельсию (t = T - 273,16).

И никаких чудес.

← →
Sandman29 (2005-07-18 14:58) [5]

Насколько я помню, у Маковецкого речь шла немного о другом - ему нужно было прокипятить воду, причем энергии не хватало на доведении всей массы воды до 100С. С помощью теплообмена он по частям прокипятил всю воду, но при этом в любой момент времени кипятком была только часть воды.

← →
Юрий Зотов © (2005-07-18 15:10) [6]

> Sandman29 (18.07.05 14:58) [5]

Что-то тут не так. Если под словом "вскипятить" мы понимаем нагрев от t0 до 100 С, то для этого надо затратить энергию
C*M*(100-t0)

И если такой энергии нет, то вскипятить всю массу M не удастся никак. Ни сразу, ни по частям, ни со смешиванием, ни без него - вообще никак.

Ну не возьмется энергия из ниоткуда - хоть расшибись, хоть растрескайся. А поскольку автор книги о физике не понимать этого не может, то, значит, он рассматривал какую-то другую задачу.

← →
Ega23 © (2005-07-18 15:13) [7]

2 Юрий Зотов © (18.07.05 15:10) [6]

Вы забыли про прцесс парообразования. Энергии па переход воды с температурой 100 С в пар с температурой 100С тоже немало тратится.

← →
Antonn © (2005-07-18 15:16) [8]

да нет же, я точно помню, он смешивал из 2х сосудов одинаковой емкости, одинаковое кол-во воды и получал результирующую температуру большую, чем их средняя. Задача называлась вроде "Переливания", или что то в этом роде. Я в инете нашел сборник этих задач, но там нет некоторых и этой тоже.
А действовал он так(в начале): брал 2 части горячей воды и 1 холодную, и далее какимто образом мутил с неравными частями.
Мне не верится, что в такой сборник задач попала бы "левая" задачка.

Sandman29 (18.07.05 14:58) [5]
то другое, там бли встречные потоки горячей и холодной воды, горячая частично нагревала холодную.

← →
Antonn © (2005-07-18 15:21) [9]

Юрий Зотов © (18.07.05 15:10) [6]
вот такой аппарат был:

| |
| |________________
| |
----------------- |
----------------- |
|__________________|
горелка

сверху вливалось, сбоку выливалось

← →
Sandman29 (2005-07-18 15:39) [10]

Юрий Зотов © (18.07.05 15:10) [6]

Необходимо было прокипятить воду, чтобы убить все бактерии.
Простейший пример. Имеем 10 литров воды с t=30C. Кипятим половину, затем закрытую посуду с этим кипятком опускаем в другую емкость с оставишимися 5 литрами, температура выравнивается (в идеале до (100+30)/2=65С). Вытаскиваем "кипяток" и догреваем до 100. Получается, что потратили 5*(100-30)+5*(100-65) < 10*(100-30)

← →
Sandman29 (2005-07-18 15:42) [11]

Antonn © (18.07.05 15:16) [8]

Закон сохранения энергии нарушился бы. Наверное, что-то другое там было.

← →
Ega23 © (2005-07-18 15:46) [12]

2 Sandman29 (18.07.05 15:39) [10]
У тебя при этом 5 литров воды осталось при температуре 65.

← →
Юрий Зотов © (2005-07-18 15:53) [13]

> Sandman29 (18.07.05 15:39) [10]

Понятно. То есть, повторное использование части тепла.

Фокус в том, что конечная т-ра всей массы воды не обязана быть 100 С.

← →
Sandman29 (2005-07-18 15:57) [14]

Ega23 © (18.07.05 15:46) [12]

Да. Но все бактерии погибли, так как вся вода была прокипячена.

Юрий Зотов © (18.07.05 15:53) [13]

Именно так. Но я не вижу, как можно решить задачу автора - он хочет иметь конечную температуру выше средней, и для этого придется найти дополнительный источник энергии.

← →
Юрий Зотов © (2005-07-18 16:00) [15]

> Ega23 © (18.07.05 15:46) [12]

> 5 литров воды осталось при температуре 65.

В этом и соль. Задача ставилась - хоть на миг довести воду до 100 С, а какая температура у нее будет потом - неважно.

Кстати, отсюда напрашивается куда более сложная и интересная задача по повторному использованию тепла - как надо построить процесс, чтобы минимизировать подвод внешней энергии?

Ясно, что в общем случае надо рассматривать непрерывный процесс, а не порционное "нагрели - охладили". Поэтому тут уже диффуры в дело пойдут. Есть желающие поупражняться?

← →
Ega23 © (2005-07-18 16:00) [16]

А-а-а, вот в чём дело! Т.е. конечной целью была задача умерщвления бактерий, а не превращения воды в кипяток!
Тогда да, весьма остроумное решение.
А в целом - задача не решаема, т.к. закон сохранения энергии будет нарушать.

← →
Antonn © (2005-07-18 16:01) [17]

> Но я не вижу, как можно решить задачу автора - он
> хочет иметь конечную температуру выше средней, и для
> этого придется найти дополнительный источник энергии.

это не моя задача:) Я тоже не могу представить, как ее решить, однако в этих задачах большую роль играет смекалка ;)

← →
Sandman29 (2005-07-18 16:34) [18]

Юрий Зотов © (18.07.05 16:00) [15]

В той же книге было решение - кипяченая вода течет навстречу холодной, с максимальным теплообменом между трубами. При этом обеспечивается минимальная разница в каждом конкретном месте между "холодной" и "горячей" трубой. В результате получается экономия, выраженная красивым числом, связанным с основанием натурального логарифма e. Жаль, что не помню точное значение.

← →
Igorek © (2005-07-19 00:22) [19]

Юрий Зотов © (18.07.05 16:00) [15]
как надо построить процесс, чтобы минимизировать подвод внешней энергии?

Делим воду на N частей. Кипятим первую часть, потом ее делим на N-1 и "теплоуравниваем" с остальными холодными. Берем вторую .. и так до N-1. Последнюю просто кипятим. N устремляем к бесконечности.
Если я правильно напутал, то получилось:
Коеф. экономии K = (2/N)*(1 - 1/(2^N)) при N -> + бесконечноть

или
N : K 1 : 1 2 : 0.75 3 : 0.583333 4 : 0.46875 10 : 0.199805 60 : 0.0333333

Sandman29 (18.07.05 16:34) [18]
В результате получается экономия, выраженная красивым числом, связанным с основанием натурального логарифма e. Жаль, что не помню точное значение.
Оно?

← →
Igorek © (2005-07-19 00:39) [20]

Igorek © (19.07.05 0:22) [19]
остальное - дело техников :)

← →
Думкин © (2005-07-19 08:42) [21]

> [20] Igorek © (19.07.05 00:39)

При при N -> + бесконечноть в данном случае K будет стремится к 0. Что-то не так видимо? Ряд видимо должен появится?

← →
Sandman29 (2005-07-19 09:12) [22]

>Оно?

Не помню. В книге описывался лучший способ нагрева, когда кипяченая вода отдавала почти всю энергию, опускаясь до исходной температуры. Упрощенно - делим на N частей, нагреваем 1 часть, выравниваем со 2, затем остывшую 1 часть выравниваем с 3, затем еще более отсывшую 1 часть выравниваем с 4 и т.д. до N. Нагреваем 2 часть, выравниваем с 3, потом с 4 и т.д. Нагреваем 3 часть, выравниваем с 4, потом с 5 и т.д.

Решение: труба в трубе. В центральной части течёт горячая, вокруг неё - холодная.

Думкин © (19.07.05 8:42) [21]
При при N -> + бесконечноть в данном случае K будет стремится к 0. Что-то не так видимо? Ряд видимо должен появится?
Да, к нулю. И ряд был, но я его упростил. А не так - сама формула в [19]. Она неправильна.
Sandman29 (19.07.05 9:12) [22]
Возьмем три части. Три литра воды и температура 0. Пусть 1 - колл. тепла для кипячения одного литра.
Кипятим 1 часть - 1.
Уравниваем 1 с 2, потом 1 с 3 - имеем 1, 2 - 50 градусов, 3 - 25 - кипятим вторую - 0,5.
Уравниваем 2 с 3 - имеем (25 + 100)/2=62,5 - кипятим третью - 0,375.
Итого (1 + 0,5 + 0,375)/3 = 0,625.

Теперь по моему.
Кипятим 1 часть - 1.
Уравниваем половины 1 части с 2 и 3 - имеем две по 33 градуса - кипятим вторую - 2/3.
Уравниваем 2 и 3 - имеем (33 + 100)/2=66 градусов - кипятим 3 - 1/3.
Итого (1+2/3+1/3)/3 = 0,6(6)

Как видим твой способ лучше. Можно и ряд написать.
И кипяченая часть у тебя охладилась лучше. Собственно задачу можно переформулировать - "как лучше всего охладить кипяток?"

Только вот как доказать, что способ оптимальный?
Ega23 © (19.07.05 10:31) [23]
Решение: труба в трубе. В центральной части течёт горячая, вокруг неё - холодная.
Неа. Лучше сделать трубы плоскими и завернуть их как фольгу в конденсаторе. :)

Вот что получилось у меня для "непрерывного" разлива:

Обозначим через "x" время.
Тогда количество тепла, необходимое для нагрева массы f(x+dx)-f(x) есть
C*f"(x)*(T-t(x))*dx где t(x) - температура оставшейся части воды. T - температура кипения.

Общее количество теплоты для нагревания по кусочкам некоторой массы за единицу времени:

Q = C*int(f"(x)*(T-t(x)),x=0..1) (1)

Найдем зависимость t(x):
Теплота порции:
C*f"(x)*dx*T
Теплота оставшейся части (M есть масса):
C*(M-f(x))*(t(x)-dt)
Теплота после слияния:
C*(M-f(x)+f"(x)*dx)*t(x)
Уравнение:
C*f"(x)*dx*T+C*(M-f(x))*(t(x)-dt)=C*(M-f(x)+f"(x)*dx)*t(x);
откуда
dt/dx = f"(x)*(T-t(x))/(M-f(x));

Решаем этот диффур, учитываем t(0)=t0 и получаем, что
t(x) = (T-t0)/(M-f(0)) * (M-f(x))+T

Подставим его в (1)
Q = C*int(f"(x)*(T-t(x)),x=0..1)

Получим:
Q = C*(T-t0)/(M-f(0)) * int(f"(x)*(M-f(x)),x=0..1)

Здесь даже не нужно вариационное исчисление для минимизации функционала, так как он считается явно.

Q = C*(T-t0)/(M-f(0)) *( (M*f(1)-f(1)^2/2) - (M*f(0)-f(0)^2/2) )

подставляем f(0)=0 и f(1)=M, получаем что

Q = 1/2*C*(T-t0)*M

То есть, независимо от способа разлива (главное, чтобы он был непрерывным и дифференцируемым), количество теплоты для того, чтобы каждый "кусочек" воды побывал при температуре T, необходимо вдвое меньше, чем все греть целиком.

← →
Sandman29 (2005-07-19 13:15) [27]

Igorek © (19.07.05 12:12) [25]

При делении на N->бесконечность кипяток остывает до исходной температуры, то есть всю свою энергию отдает еще не кипяченным частям. Поэтому доказывать, что это оптимально, - неоптимально :)

Antonn © (19.07.05 13:16) [28]
Так тебе уж пояснили. Есть закон сохр. энергии.
Единственная зацепка - расширение жидкости при нагревании. Если взять литр холодной воды, вскипятить, получится больше литра, потом отлить лишнее и смешать снова с холодной - будет температура ниже средней. Бо горячий литр легче холодного. :)
А в формуле енергии нагревания фигурирует масса, а не обьем. Вот и весь прикол.
Sandman29 (19.07.05 13:15) [27]
Поэтому доказывать, что это оптимально, - неоптимально :)
Типа 1/N = 1/(N^N) = 0 при N -> + бесконечность. :))

При отсутствии источников и стоков тепла и пренебрегая зависимостью теплоемкости от температуры

а почему это вы пренебрегаете зависимостью? Если теплоемкость при бОльших температурах - больше, то так и получается, что установится температура выше средне арифмитической...

значит ни у кого книжки нету... жаль, пойду продолжать лопатить инет

Помогите найти решение задачки Найти похожие ветки