Поразительно !!!

← →
ikivio © (2004-06-07 17:19) [0]

В «Поле чудес» Якубович предлагает на выбор 3 ящика,
В одном из которых, ключи от машины.
После выбора он открывает один ящик, где нет ключей,
И предлагает выбрать ящик из 2-х оставшихся.
Поразительно следующее:
Остаешься при своем мнении – вероятность одна треть,
Меняешь мнение - вероятность две трети !!!
Не могу понять почему…

← →
Nous Mellon © (2004-06-07 17:22) [1]

Прошлая ветка с этим вопросом растянулась в ХолиВар постов в 500.
Не надо!

← →
ИМХО © (2004-06-07 17:32) [2]

Якубович"s Лохотрон?

← →
AlexG © (2004-06-07 17:35) [3]

> Поразительно следующее:
> Остаешься при своем мнении – вероятность одна треть,
> Меняешь мнение - вероятность две трети !!!
> Не могу понять почему…

Не понял, что за Мнения?

← →
ikivio © (2004-06-07 17:48) [4]

Мнение:
Первый вариант: оставляешь тот ящик, который выбрал – «при своем мнении»
Другой вариант: выбираешь другой ящик – смени мнение/

← →
вразлет © (2004-06-07 17:52) [5]

ikivio ©

формула Байеса, если не ошибаюсь

← →
ikivio © (2004-06-07 17:54) [6]

Извиняюсь: не на той раскладке клавиатуры набивал
Другой вариант: выбираешь другой ящик – сменил мнение.

← →
Murkt © (2004-06-07 18:49) [7]

Для наглядности возьмем чуть другой пример.
У нас есть 1000 ящичков. Ты вибираешь один. Вероятность, что приз там - 1/1000. Вероятность, что в остальных 999 - 999/1000. Получается, что мы всего лишь открываем те 999 ящичков, если поменяем мнение. И вероятность угадывания - 999/1000.

А не 1/2, как пытались доказывать несознательные люди.

← →
Nous Mellon © (2004-06-07 18:57) [8]

> [7] Murkt © (07.06.04 18:49)

Вот это нихрена себе математика.. Наверно у меня перед ЕГЭ крыша едет, но до такого я бы не допер :)

← →
DiamondShark © (2004-06-07 19:52) [9]

Классно! Опять всплыла задачка.

Пусть ящики пронумерованы 1,2,3.
Естественно, вероятность p(i) того, что в i-том ящике приз = 1/3 и p(1) + p(2) + p(3) = 1.

Пусть мы выбрали ящик 1.
тогда p(1) = 1/3; p(2) + p(3) = 2/3

Ведущий открывает ящик (пусть это будет 2), в котором ЗАВЕДОМО нет приза, т.е. p(2) = 0.
Но всё равно p(2) + p(3) = 2/3.

Ещё "на пальцах".
Игра состоит фактически из двух ходов. Причём, на втором ходу становится известной некая дополнительная информация о игровой ситуации. Стратегия "не менять мнения" не использует эту информацию.

← →
ikivio © (2004-06-07 20:45) [10]

DiamondShark
>"не менять мнения" не использует эту информацию
Это понятно.
Непонятно следующее: Почему у двух оставшихся
ящиков разная вероятность ?

← →
DiamondShark © (2004-06-07 20:54) [11]

> Непонятно следующее: Почему у двух оставшихся
> ящиков разная вероятность ?

Потому что один открыли и показали ;)

Фактически игра сводится к одношаговой игре:
Открыть один ящик или открыть два ящика сразу.

← →
Огромное Кулясище (2004-06-07 21:59) [12]

>Открыть один ящик или открыть два ящика сразу.

Да, похоже.

← →
SergP © (2004-06-07 22:38) [13]

Удалено модератором

← →
SergP © (2004-06-07 23:01) [14]

Кстати если кто-то мне будет утверждать что мол я не прав и общая вероятность должна быть 2/3 а у меня 1/3+1/2, я скажу что вы не правы.
Общая вероятность будет на самом деле:
1/3 (вероятность что ключи в 2 ящике)+ 2/3 (вероятность того что их нет во 3 ящике) * 1/2 (вероятность того что они в 3 ящике, после того как остались 1 и 3) = 2/3

← →
SkyRanger © (2004-06-08 05:43) [15]

Не знаю, но после того как вскрыт один из ящиков, вероятность того что ключи в любом другом 50/50 как повезет...

← →
DiamondShark © (2004-06-08 11:35) [16]

Похоже, начнётся по новой...

Кто не верит выкладкам "на пальцах", напишите программу-модель, это не сложно, и проведите миллион-два-десять розыгрышей (на это уйдёт десяток секунд).

← →
ikivio © (2004-06-08 12:36) [17]

>SkyRanger Не знаю, но после того как вскрыт один из ящиков, >вероятность того что ключи в любом другом 50/50 как повезет...
Если ты упертый (остаешься при своем мнении) -
вероятность одна треть(выбирал один из трех)
Меняешь мнение - вероятность две трети !!!(не одна вторая, как кажется).
Именно это и поразительно !

← →
Agent13 © (2004-06-08 13:42) [18]

> напишите программу-модель

Надо же! Не поверил, написал прогу, пришлось поверить :) Правда теперь всё стало проясняться. Но на первый взгляд кажется абсурдом!

← →
Aleksey Pavlov © (2004-06-08 14:17) [19]

Забавная получается математика, господа! =)

Хорошо:
1). p(1)+p(2)+p(3)=1;
События p(1), p(2), p(3) - равновероятные и равны каждый по 1/3;

2). Становится известно, что p(1)=0;
И вот тут начинается работа мысли (DiamondShark (07.06.04 19:52)) я плакаль =))))
Известно, что в двух ящиках ЗАВЕДОМО есть ключи!!!
Т.е. p(2)+p(3)=1, а не 2/3, как заметил DiamondShark.
По рассуждениям DiamondShark (07.06.04 19:52) получается, что возможен такой вариант, что ни во втором ни в третьем ключей не буедт =)))

3). Таким образом: p(2)+p(3)=1; События равновероятны => p(1)=p(2)=1/2.

Учите мат. часть, господа.

← →
nikkie © (2004-06-08 14:36) [20]

>Учите мат. часть, господа.
прежде всего к тебе это относится. формулу условной вероятности знаешь?

← →
Aleksey Pavlov © (2004-06-08 14:46) [21]

Р(А|В)= Р(АB)/P(B)

Но не надо путать тёплое с мягким!

← →
nikkie © (2004-06-08 15:09) [22]

>2). Становится известно, что p(1)=0;
не знаю кому становится известным, но вероятность этого события 2/3. назовем его B. тогда p(2|B)=p(3|B)=1/2. ты посчитал условные вероятности.

← →
ikivio © (2004-06-08 16:29) [23]

Так кто-нибудь может объяснить,
Когда у оставшегося ящика меняется
Вероятность с 1\3 на 2\3 ?

← →
ламер © (2004-06-08 17:23) [24]

1/2. и условная вероятность тут совершенно не при деле.

← →
han_malign © (2004-06-08 17:55) [25]

>Становится известно, что p(1)=0;
- а изначально известно, что p(1)=p(2)=p(3)...

← →
Agent13 © (2004-06-08 18:05) [26]

Кто ещё не понял, объясняю:

Вероятность, что вы выбрали пустой ящик = 2/3. Тогда Якубовичу ничего не остаётся, как открыть другой пустой ящик, а в третьем - гарантированно приз.

← →
Murkt © (2004-06-08 18:13) [27]

ламер © (08.06.04 17:23) [24]
На ник свой глянь.

← →
Aleksey Pavlov © (2004-06-08 18:24) [28]

>>nikkie © (08.06.04 15:09) [22]:

Зачем огород городить?
Есть два события: А(ключ во втором ящике) и В(ключ в третьем ящике), при этом оба эти события несовместимы (т.к. ключ только в одном из них). Вероятность того, что ключ находится в этих ящиках (в одном из них) = 1.
Теперь вспоминаем теорему:
"Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий."
Благожелательных случаев для A - 1, всего элементарных случаев 2.
=> P(A)= 1/2; Это же справедливо и для случая B.

Итого, получаем P(A)+P(B)=1; (аксиома) (1/2+1/2=1 - проверка ;)

ХОТЯ, данную задачу можно с лёгкостью решить используя понятие условной вероятности, о чём, по-видимому, хотел сказать nikkie © (08.06.04 15:09).

Но результат будет тот же: после того, как один ящик уже открыт, вероятность того, что ключ во втором(третьем) = 0.5
=)

← →
Aleksey Pavlov © (2004-06-08 18:24) [29]

← →
Aleksey Pavlov © (2004-06-08 18:26) [30]

sorry за повтор.

P.S. Чудес не бывает ;)

← →
Agent13 © (2004-06-08 18:41) [31]

> Aleksey Pavlov ©

Ты пункт [26] опровергнуть можешь?

← →
DiamondShark © (2004-06-08 18:43) [32]

Ребята, а моделированию вы верите?

← →
ikivio © (2004-06-08 21:55) [33]

>Aleksey Pavlov
>Но результат будет тот же: после того, как один ящик уже >открыт, вероятность того, что ключ во втором(третьем) = 0.5
А убедиться что ты не прав не хочешь ?
>Надо же! Не поверил, написал прогу, пришлось поверить :) Правда >теперь всё стало проясняться. Но на первый взгляд кажется >абсурдом!

← →
марсианин © (2004-06-09 00:44) [34]

но ведь прав Aleksey Pavlov, это ж очевидно

формула условной вероятности.. на пальцах:
1/3 - ровно половина от 2/3!
т.е. вероятность, что ключ окажется в одном неоткрытом ящике = половине вер-ти, что он оказался в двух неоткрытых, т.е. половина 2/3.. все очевидно.

а насчет моделирования: моделировать тоже можно неправильно

← →
kaif © (2004-06-09 01:02) [35]

Народ, я помню ту ветку! Я ожесточенно спорил тогда, что такого не может быть. Только потыкав эмулятор, который написал один из участников спора, я признал свою неправоту. А потом уже сам логически доказал себе, что так оно и есть. Это именно ситуация с 999 оставшимися ящиками. Мне сейчас только странно, почему поначалу настолько сильно кажется, что это не так... Ведь если эта модель работает и в других ситуациях в жизни, то получится, что стратегия "всегда менять решение при получении любой информации в пользу этого решения" в жизни лучше, чем "придерживаться сделанного выбора". Возможно в этом причина психологического сопротивления...
Кстати, сообщу одну интересную деталь. Первые 15 ходов эмулятор лил воду "на мою мельницу" и только потом я стал безнадежно проигрывать...
Может "придерживаться сделанного выбора" - эффективная стратегия, если играешь только один раз? Это мистика, но я не исключаю, что так оно и есть... :)))

>Может "придерживаться сделанного выбора" - эффективная >стратегия, если играешь только один раз? Это мистика, но я не >исключаю, что так оно и есть... :)))
Мистика и математика несовместимы !

>Кто ещё не понял, объясняю:
>Вероятность, что вы выбрали пустой ящик = 2/3. Тогда Якубовичу >ничего не остаётся, как открыть другой пустой ящик, а в >третьем - гарантированно приз.
Это понятно, но в какой момент меняется вероятность ?
Исходно Удачный выбор - 1\3
После открытия (при смене мнения) - 2\3

> Aleksey Pavlov © (08.06.04 14:17) [19]

> 2). Становится известно, что p(1)=0;

Придирка, конечно, но, если оставить начальные условия (ключ может быть в любом из ящиков), то сама вероятность, как статистическая величина, не изменилась.
Вероятность - относительная частота, с которой событие появляется внутри класса событий.
Другое дело, что после открытия первого ящика, мы первую задачу полностью отбрасываем. И решаем другую, в которой два ящика.
Для первой задачи, вероятность = 1/3, для второй 1/2.

>YurikGl
>Для первой задачи, вероятность = 1/3, для второй 1/2.
Ты пункт [26] опровергнуть можешь?

> Другое дело, что после открытия первого ящика, мы первую
> задачу полностью отбрасываем. И решаем другую, в которой
> два ящика.

Так вот в этом-то и дело. После открытия одного изящиков начальные вероятности полностью теряют свой смысл. Поэтому прав
> Aleksey Pavlov

> Это понятно, но в какой момент меняется вероятность ?

Вероятность меняется именно в момент открытия ящика, мы получаем о третьем, невыбранном сначала и неоткрытом ящике, дополнительную информацию.

> Так вот в этом-то и дело. После открытия одного изящиков
> начальные вероятности полностью теряют свой смысл.

Не теряют. Одиин ящик открыть не могли в любом случае, так как он был выбран нами изначально. Значит открытие другого ящика о его вероятности ничего не говорит. А вот третий ящик могли открыть, но не открыли - это повышает его шансы на успех. И вообще можно перефразировать исходную задачу: требуется всего лишь угадать и выбрать ящик, где НЕТ приза, тогда открыв пустой ящик, Якубович сам того не желая укажет на приз.

>Aleksey Pavlov
>ламер
>марсианин
>YurikGl
>AlexG
вам двойка по теорверу.

>Agent13
>Вероятность меняется именно в момент открытия ящика, мы >получаем о третьем, невыбранном сначала и неоткрытом ящике, >дополнительную информацию.
С трудом, но осознал.

Всем сомневающимся, что 1/3+1/3<>1 читать пункты [28] и [38] до полного просветления.

А аргументы типа "Ты пункт [26] опровергнуть можешь?", (без каких-либо мат. доказательств) напоминают детский сад и не рассматриваются как ответ.

Дальнейшие споры imho беспочвенны.

в [26] вроде все четко объяснено.

>Всем сомневающимся, что 1/3+1/3<>1
давай не будем тупить, а?
вероятность того, что приз в первой выбранной коробке 1/3.
вероятность того, что приз в одной из двух других 2/3.
Якубович знает, где приз, поэтому всегда откроет пустую коробку, его действия не изменяют эти две вероятности.
вероятность угадать, не изменяя выбор = 1/3.
вероятность угадать, изменяя выбор = 2/3.
1/3 + 2/3 = 1.

стойте, вы не берете разрез во времени, на какой момент времени какая вероятность, первоначальная вероятность и ли разрез времени когда один ящик уже открыт и его в системе уже нет, и система представляет собой 2 ящика, все выкладки описаные выше относятся к тому что нулевой разрез времен, вероятность относительно какого времени, тогда правда, в другом случае, если мы пересматриваем вероятность при каждом шаге (у нас их 2), меняеться, сначала от одной третей а на втором шаего до одной второй, вот так ...

В дополнение к [45] могу прокомментировать [26] и [38] - данные рассуждения годились бы в том случае, если бы Якубович мог открыть ЛЮБОЙ ящик, даже названный игроком, а уже потом игрок выбирал бы из 2 оставшихся. В данном же случае Якубович НЕ МОЖЕТ открыть выбранный игроком ящик, поэтому утверждать, что 1 и 2 ход никак между собой не связаны - нельзя.

> Murkt © (08.06.04 18:13) [27]
> На ник свой глянь.
у вас проблемы?

> nikkie © (09.06.04 15:00) [42]
> >Aleksey Pavlov
> >ламер
> >марсианин
> >YurikGl
> >AlexG
> вам двойка по теорверу
не далее, как вчера утром, получил по сему предмету зачёт. так что кое-что ещё помню.

>получил по сему предмету зачёт.
если с преподом еще встретишься, задай эту задачку ему. :)

Поразительно !!! Найти похожие ветки