мистическая тройка

← →
Krants © (2007-07-10 11:28) [0]

Господа матмастера!)
Обьясните плз, такую теорему иль аксиому, почему у числа делящегося на три, сумма последовательных чисел(символов) обязательно делится на три?
т.е. 213->2+1+3=6.

← →
Правильный Вася (2007-07-10 11:29) [1]

вообще-то это называется "признак делимости"
букварь почитай

← →
Думкин © (2007-07-10 11:29) [2]

это аксиома, поэтому никак не объяснить. :(

← →
pasha_golub © (2007-07-10 11:33) [3]

> Думкин © (10.07.07 11:29) [2]
>
> это аксиома, поэтому никак не объяснить. :(
>

Ты серьезно что-ли? :) По-моему, должно быть доказательство...

← →
Krants © (2007-07-10 11:34) [4]

> Правильный Вася (10.07.07 11:29) [1]

не поверишь, читал) нет там такого)))
а какие еще есть "признаки делимости"?

← →
Думкин © (2007-07-10 11:37) [5]

> pasha_golub © (10.07.07 11:33) [3]

Паш, не пугай меня. Ты же вроде математик? :о)

> Krants © (10.07.07 11:34) [4]

Из простых - на 2,4,6,8,9,11,5,25,125 и степени 10. Можно и еще подкатить.

← →
TUser © (2007-07-10 11:37) [6]

> это аксиома

???? Она, думаю, доказана в "Зан. Арифметике".

A = a0+a1*10+a2*10^2+... и А делится на 3(9).
А = (а1*9+а2*99+...)+(а0+а1+а2+...)

первая скобка, очевидно, делится на 3(9), сзначит и все число делится, только в том случае, если на 3(9) делится вторая, то есть сумма цифр.

← →
Jeer © (2007-07-10 11:37) [7]

> Krants © (10.07.07 11:34) [4]

А букварь ?

5 -> *5

← →
Krants © (2007-07-10 11:37) [8]

> Ты серьезно что-ли? :) По-моему, должно быть доказательство...

просто обычно в мат-е я все понимал, а это алгебра, очень простая аксиома, где ни логики ни мат. обоснования не вижу... Мистика?)

← →
pasha_golub © (2007-07-10 11:38) [9]

> Krants © (10.07.07 11:34) [4]

На много :)

Доказательство я нашел через сравнения по модулю (конгруэнтность).
И ты найдешь.

← →
pasha_golub © (2007-07-10 11:39) [10]

> Думкин © (10.07.07 11:37) [5]
>
> > pasha_golub © (10.07.07 11:33) [3]
>
> Паш, не пугай меня. Ты же вроде математик? :о)
>

Через конгруэнтности доказывается.

← →
Правильный Вася (2007-07-10 11:42) [11]

> не поверишь, читал) нет там такого)))

Выгодского почитай, классический букварь по элементарной математике

> а какие еще есть "признаки делимости"?

четные числа знаешь? это признак делимости на 2
круглые знаешь? это на 10
и т.п.

← →
Думкин © (2007-07-10 11:42) [12]

> TUser © (10.07.07 11:37) [6]

Есесно.

> pasha_golub © (10.07.07 11:39) [10]

Не выражайся. Через взятие по модулю - это понимаю.

← →
Zagaevskiy © (2007-07-10 11:42) [13]

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА ТРИ
ЕСЛИ СУММА ЧИСЕЛ, ОБРАЗОВАННЫХ ЦИФРАМИ ЧИСЛА ДЕЛИТСЯ НА 3 ТО И ВСЁ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 3.

и вообще почему "последовательных"? ВСЕХ!!!

← →
pasha_golub © (2007-07-10 11:55) [14]

> Думкин © (10.07.07 11:42) [12]

> Не выражайся. Через взятие по модулю - это понимаю.

Мы часто пользовались таким выражением, как "классы конгруэнтности" , они же суть "класы вычетов".

Доказательство:
Произвольное число x = Xn.....X0 = Xn * 10^n + .... + X1 * 10^1 + X0 * 10^0, где – цифры Xi числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 3), то 10^2 ≡ 1 (mod 3) и вообще 10^k ≡ 1 (mod 3) для любого натурального k. Отсюда Xn * 10^n + .... + X1 * 10^1 + X0 * 10^0 ≡ Xn + ... + X1 + X0 (mod 3).

← →
Однокамушкин (2007-07-10 11:55) [15]

Есть два правила, которые легко проверить:

(a+b) mod x = ((a mod x)+(b mod x)) mod x (1)
(a*b) mod x = ((a mod x)*(b mod x)) mod x (2)

теперь замечаем, что 10 mod 3 = 1

Отсюда легко сделать вывод, что для любых натуральных a и N верно равенство

a mod 3 = (a*10^N) mod 3 - это следует из правила (2)

Из правила (1) следует, что для любых натуральных a, b следует, что

(a+b) mod 3 = (a+10*b) mod 3, т.е. для двузначного числа остаток от деления на 3 равен остатку от деления на три суммы его цифр... Это утверждение легко обобщается на произвольное количество разрядов...

← →
pasha_golub © (2007-07-10 11:57) [16]

Тот же стиль доказательства и для делимости на 9

← →
pasha_golub © (2007-07-10 12:04) [17]

По теме: Признак Паскаля http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F

← →
Думкин © (2007-07-10 12:08) [18]

> pasha_golub © (10.07.07 11:55) [14]

У нас это сравнением по модулю называлось, и больше никак.

← →
boriskb © (2007-07-10 12:09) [19]

Krants © (10.07.07 11:28)
мистическая тройка

Ты в какой класс перешел?

← →
pasha_golub © (2007-07-10 12:15) [20]

> Думкин © (10.07.07 12:08) [18]
>
> > pasha_golub © (10.07.07 11:55) [14]
>
> У нас это сравнением по модулю называлось, и больше никак.
>
>

Ну, не могу ничего сказать.

Тут вот нарыл:

Конгруэнция — стабильное отношение эквивалентности на алгебраической системе.

Сравнение по модулю - есть отношение эквивалентности.

Вообщем, случае может быть и неверно называть, хотя в литературе таки встречается. Ну, да не суть важно.

← →
vajo (2007-07-10 12:30) [21]

если две последние цифры делятся на 4, то и все делится на 4.
124 => 24 делится на 4, значит и 124 делится на 4.

← →
partizan (2007-07-10 12:50) [22]

Док-во по индукции
1) База индукции: 3 делится на 3.
2) Увеличиваем число на 3:
- если последняя цифра меньше 7 - она увеличивается на 3, и больше ничего в числе не меняется => сумма цифр увеличивается на 3.
- последняя цифра больше 6 - она уменьшается на 7 (7-0, 8-1, 9-2), а следующие за ней (справа на лево) девятки изменяются на нули, а первая справа не 9ка - увеличивается на 1 => сумма цифр изменяется на число 9k+1-6=9k+6 - кратное 3м

← →
Krants © (2007-07-10 15:31) [23]

> Однокамушкин
> pasha_golub ©

сенкс, за разьяснение...

ЗЫ: перечитал ветку, и смешно и плакать хочется. Задал же несерьезный вопрос, а столько негативной критики...
Конечно извините уважаемые господа гении), за то что осмелился отвлечь Ваше ценное внимание таким примитивным и бестолковым вопросом. Но спрашивается, какого? вставлять свои "пять копеек", если толком не можете помочь по сути вопроса?

← →
palva © (2007-07-10 15:40) [24]

А вот Вася Пупкин однажды выяснял про число в 1000 битов, делится ли оно на три. Ну и как он это сделал? Не переводить же число в десятичную систему!

← →
palva © (2007-07-10 15:45) [25]

> Krants © (10.07.07 15:31) [23]
> Задал же несерьезный вопрос, а столько негативной критики...

Надо задавать серьезные вопросы.

← →
pasha_golub © (2007-07-10 15:51) [26]

> palva © (10.07.07 15:40) [24]
>
> А вот Вася Пупкин однажды выяснял про число в 1000 битов

Произвольное число?

← →
palva © (2007-07-10 16:11) [27]

> Произвольное число?
Число произвольное, и Вася придумал признак, по которому проверил число, не используя длинную арифметику и обойдясь одним делением (2-байтовых целых чисел).

← →
Иксик © (2007-07-10 16:18) [28]

Оффтоп: А где Nikki вообще? Давно его нет :(

Оказалось, что при помощи похожего признака можно проверить делимость числа на 7 и на 15. Ну еще, к примеру, на 255 (это уже подсказка).

> А где Nikki вообще? Давно его нет :(

Расстреляли нашего Nikki в 1918 году в Екатеринбурге :(

Ну раз сегодня пятница, то придется рассказывать решение Васи Пупкина.
Если число записано в n-ичной системе счисления, то оно делится на (n-1), если и только если сумма его цифр делится на (n-1).
Доказательство: Число можно представить в виде, a = a0 + a1*n + a2*n^2 + ... + ak*n^k, где ak,...,a2,a1,a0 - цифры числа a в n-ичном представлении.
Вычтем из числа a сумму его цифр. Получим:
a - (a0+a1+a2+...+ak) = a1*(n-1) + a2*(n^2-1) + ... + ak*(n^k-1)
Любая круглая скобка справа делится на (n-1), ведь (n^i-1) = (n-1)*(n^(i-1)+n^(i-2)+...+n^0). Поэтому вся правая часть, а следовательно, и левая тоже делятся на (n-1). Но левая часть представлена в виде разности двух чисел. Если разность делится на (n-1), то оба члена либо одновременно делятся на (n-1), либо одновременно не делятся.
Теперь Васе достаточно разбить двоичное чило на двухбайтовые отрезки и получить представления числа в четверичной системе. Сложив эти двухбайтовые кусочки (их 500 штук, так что длинную арифметику использовать не пришлось) и найдя остаток от деления получившейся суммы на 3, Вася захлопал в ладоши.

>palva © (13.07.07 22:56)

Вроде бы проще можно. Получить сумму байтов. Так как 256^n mod 3 = 1 то остаток от деления на 3 сохранится и для суммы байтов. Также для суммы слов, двойных слов и любого прочего размером 2*p бит (p - натуральное)

ппц. математики чтобы объяснить простейшие формулы придумывают доказательства через ж...
помню как в школе запоминал доказательство какой-то простейшей формулы или правила, само правило - помещается в одно предложение не более 30 букв, а доказательство, явно высосанное из пальца его аффтором тянула на пол листа тетрадки мелким шрифтом.
я конечно понимаю что всё это придумано не в моём веке, и людьми во многом превосходящими знаниями в своей нише, но доказывать формулу придумывая целую свалку бреда совсем не относящуюся к формуле, совершенно не привязянную к практическому применению формулы - есть бред сивой кобылы.

мастера своего дела знают свою предметную область куда больше "обычных смертных", но как "разъяснители" правил и формул своей родной стихии - совершенно не годны. они знают что это есть, как это работает, но незнают как это пояснить, потому и придумывают всякий бред

> VirEx © (14.07.07 10:17) [35]

Не все то бред, что не умещается в скорбную голову. Теория сравнений имеет гораздо более широкое применение, чем доказательство тривиальных вещей вроде признаков делимости, да и ней эти признаки доказываются на раз-два в одну строку.

> [36] Думкин © (14.07.07 11:06)

умещается, и даже иногда зазубривается, но смысл этого бреда просто поражает своей глупостью

> VirEx © (14.07.07 11:28) [37]

Раз зазубривается и так и остается бредом - значит не умещается. Ну не всем это дано, как и на скрипке играть.

Зубрить математику - это вообще бред. Это не химия или медицина какая. Это чистая логика и разум. И зазубривание говорит только о неспособности понять. И ни о чем более.

> [38] Думкин © (14.07.07 11:36)

и это еще раз доказывает что в качестве пояснителей/учителей большинство "могучих профессионалов в своем деле" - некуда не годятся.
всем всё дано, но не каждому дано сделать интересным свою предметную область для других, и тем более научить их своему мастерству.

ты Думкин, если заинтересуешся (либо кто-нибудь тебя заинтересует) скрипкой, то за короткий срок выучишся на "первую скрипку в окрестре" без проблем, если заинтересуешся парашютным спортом, без труда выучишь все "тонкости" этого дела и станеш профессионалом, ну и т.п.
(словосочетание "без труда" можешь не интерпретировать в буквальном смысле :) )

а попробуй научи пятилетнего ребенка программированию если тот и дня не может прожить без кружка по бАльным танцам.
ты сможешь его научить если заинтересуешь, что маловероятно.

мистическая тройка Найти похожие ветки