Пятничные задачки. 13 августа 2004

← →
Думкин © (2004-08-13 08:04) [0]

Ждем возвращения Бориса, в следующую пятницу будет он. А пока, чего бог послал:

1. Докажите, что при любом значении x
x^12-x^9+x^4-x-1 >0

2. Имеется квадратная таблица из 16 клеток, в каждой из которых написан + или -. Разрешается одновременно изменить знаки на противоположные во всех четырех клетках некоторой строки или столбца. Это можно повторять несколько раз, пока число минусов не станет наименьшим. Наименьшее число минусов, к которому можно прийти, отправляясь от данной таблицы, называется ее характеристикой. Какие значения может иметь характеристика? (Найти все возможные значения).

3. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.

4. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1,2,3,4,5,6,7, записанными в произвольном порядке. Докажите, что ни одно из этих чисел не делится ни на какое другое из них.

5. Докажите, что не существует целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению
15*x^2-7*y^2=9

6. Докажите, что при делении любого простого числа на 30, в остатке получится также простое число или 1.

7. Найти наименьшее целое положительное число, половина которого – полный квадрат, одна треть – полный куб, одна пятая – полная пятая степень.

← →
Думкин © (2004-08-13 08:05) [1]

1. x^12-x^9+x^4-x+1 >0

← →
ИдиотЪ (2004-08-13 08:17) [2]

7. n=2^15*3^10*5^6

← →
Думкин © (2004-08-13 08:18) [3]

> [2] ИдиотЪ (13.08.04 08:17)
> 7.
Да.

← →
ИдиотЪ (2004-08-13 08:23) [4]

3.
насчет третьего предположение, что полдиагонали в квадрате пополам

← →
Думкин © (2004-08-13 08:44) [5]

> [4] ИдиотЪ (13.08.04 08:23)

Не понял. Число давай. :))

← →
reticon © (2004-08-13 08:48) [6]

3. 1?

← →
ИдиотЪ (2004-08-13 08:49) [7]

я в общем случае )
1 получается

← →
Рамиль © (2004-08-13 08:52) [8]

3. Для тривиального случая 1. Но ведь, наверное, надо доказать, что при любом положении прямой = 1.

← →
reticon © (2004-08-13 08:53) [9]

ну тогда нужно уточнить условие

← →
Думкин © (2004-08-13 08:54) [10]

> [6] reticon © (13.08.04 08:48)
> 3.
Да.

> [7] ИдиотЪ (13.08.04 08:49)
пол диагонали - sqrt(2)/2. в квадрате 1/2. Пополам - 1/4. Или описка?

← →
Думкин © (2004-08-13 08:56) [11]

> [8] Рамиль © (13.08.04 08:52)
> 3. Для тривиального случая 1. Но ведь, наверное, надо доказать,
> что при любом положении прямой = 1.
> [9] reticon © (13.08.04 08:53)

Да конечно. 1 хорошо - но доказать, что в произвольном случае также. Иначе это метод тыка, но не математическое решение. Как и с задачей где дырку в шаре делали и объем считали. :)

← →
ИдиотЪ (2004-08-13 09:29) [12]

описался в прошлый раз
с квадратом после упрощений получается такое:
сумма=ctg(alpha)^2
где alpha - острый угол пересечения прямой и квадрата
правда в случае параллельности сторонам не подходит

← →
Думкин © (2004-08-13 09:31) [13]

> [12] ИдиотЪ (13.08.04 09:29)

Ответ уже дан. Я так понял его получили для часного случая, когда прямая совпадает с диагональю? Теперь его надо обосновать в произвольном.

← →
Sandman25 © (2004-08-13 09:33) [14]

1.
Нужно док-ть:
A=x*(x^3-1)*(x^8+1) > -1
При x<0 имеем A>0
При x=0 имеем A=0
При x>1 имеем A>0
При 0<x<1 имеем -1<A<0. Эту строчку пока строго доказать не могу, буду думать.

← →
Sandman25 © (2004-08-13 09:47) [15]

2. 0-4. Доказывать надо?

← →
Думкин © (2004-08-13 09:49) [16]

> [15] Sandman25 © (13.08.04 09:47)
> 2. 0-4. Доказывать надо?

Да. Доказывать - верю. Кто захочет - пусть доказывает. :)

← →
Sandman25 © (2004-08-13 09:54) [17]

[16] Думкин © (13.08.04 09:49)

Вообще-то я перебором решал :)
Из 5 всегда можно 4 сделать, а с 4, стоящими по диаганоли, ничего не поделаешь.

← →
Кабан (2004-08-13 09:54) [18]

1) f(x) = x^12-x^9+x^4-x-1 > 0
f(0) = -1 < 0

← →
Думкин © (2004-08-13 09:55) [19]

> [17] Sandman25 © (13.08.04 09:54)

Достаточно.

← →
Думкин © (2004-08-13 09:55) [20]

> [18] Кабан (13.08.04 09:54)

Я исправил в [1].

← →
Кабан (2004-08-13 09:58) [21]

ну да не заметил

← →
Яод (2004-08-13 10:28) [22]

Кабан
есть поправка, ниже
Sandman25 ©
если сделать так:
заменить (x^8+1) на 2 (на максимум на отрезке)
минимум функции x*(x^3-1) при 0<x<1 в точке (1/3)^(1/3)
нижняя оценка минимума A получается чуть больше -1
the end

← →
Яод (2004-08-13 10:31) [23]

Яод
извиняюсь, минимум в точке (1/4)^(1/3)
но оценка все равно больше -1

← →
Anatoly Podgoretsky © (2004-08-13 10:32) [24]

Думкин © (13.08.04 08:04)
Говоришь задачки, это мелось, вот у человека сегодня база рухнула и он винит в этом пятницу 13, вот это задачка :-)

← →
Думкин © (2004-08-13 10:40) [25]

> [23] Яод (13.08.04 10:31)

А почему -1, а не -1/2? Можно аккуратнее и с числами?
Но решается проще.

> [24] Anatoly Podgoretsky © (13.08.04 10:32)

Сочувствую. Опять лежа печатаем?

← →
Anatoly Podgoretsky © (2004-08-13 10:50) [26]

Не угадал, когда лежа, то у меня правописание правильное, это сидя оно хромает.

← →
olookin © (2004-08-13 10:53) [27]

[14] Sandman25 © (13.08.04 09:33)
1.
Нужно док-ть:
A=x*(x^3-1)*(x^8+1) > -1
При x<0 имеем A>0
При x=0 имеем A=0
При x>1 имеем A>0
При 0<x<1 имеем -1<A<0. Эту строчку пока строго доказать не могу, буду думать.

А что доказывать? При 0<x<1 все степени меньше 1. Поэтому обе скобки положительны. И произведение положительно, т.е. больше -1 .

← →
olookin © (2004-08-13 10:55) [28]

[27] olookin © (13.08.04 10:53)

Тьфу, а ведь я наврал.

1.
Как видно из [14], едиственный проблемный участок - (0;1).
(x^12 - x + 1) + (x^4 - x^9)
Выражение во второй скобке на проблемном интервале всегда >0.
Разберемся с выражением в первой скобке.
f(x) = x^12 - x + 1 (1)
Если оно на этом участке больше нуля, то и вся наша функция на нем больше нуля.
Доказательство

f"(x)=12x^11 - 1; x0=(1/12)^(1/11) - точка минимума функции на интервале (0;1). Заметим, что x0 меньше единицы. Подставим эту точку в функцию (1):
x0^12 + (1-x0)
x0^12 -всегда больше 0
1-x0 - тоже больше нуля, поскольку x0<1
Ну а поскольку выражение (1) > 0 в точке минимума на интервале от 0 до 1, то и во всех остальных точках на этом интервале оно тоже больше нуля.

Доказано?

> [29] Bless © (13.08.04 12:51)
> 1.
Да

А проще? :)
1 + x^12 - x >x^12>0 ибо 0<x<1.
или
(1-x)+x^4(1-x^5)+x^12>0 на этом участке.

Думкин © (13.08.04 12:55) [30]>
Тьфу ты! Точно. Как-то даже в голову не пришло x^12 - x + 1 саму проверить. Наверное потому, что идея с производной была неожиданной и показалась гениальной ;) А к выражению x^12 - x + 1 все свелось уже когда я эксплуатировал эту идею и от всех других идей отказался.

Решено 1 2 3 7.
Не решено 4 5 6.

← →
Мюмзик в мове (2004-08-13 14:46) [33]

5.
несложно показать, что y должно делиться на три, тогда сведем к
5*x^2-21*y1^2=3
теперь видно, что x делится на 3, тогда
15*x1^2-7*y1^2=1
а дальше пока не видно

← →
Мюмзик в мове (2004-08-13 14:53) [34]

5.
можно представить как сумму
x1^2+7(2*x1^2-y1^2)=1
если обе части левые неотрицательны, то x может быть -1,0,1

6.
Рассмотрим остатки
0: исходное число делится на 30
1 разрешено(обозначим через +)
2 на 2 (хоть и +)
3 на 3(+)
4 на 2(в общем, четные уже можно не рассматривать:-))
5 на 5(+)
7 +
9 на 3
11 +
13 +
15 на 15
17 +
19 +
21 на 3
23 +
25 на 5
27 на 3
29 +

5.
x2=(9-7y2)/15
Переходим к остаткам по модулю 15.
Имеем
7y2 mod 15=9 mod 15
Но среди y от 1 до 14 нет такого.

В 4-ой задаче одна цыфра в числе дважды встречаться не может?

Пятничные задачки. 13 августа 2004 Найти похожие ветки