Пятница - время поломать голову ;^)

← →
MBo © (2004-06-11 13:56) [0]

1. Корова стояла на мосту в 5 футах от середины и заметила поезд, который находился на расстоянии в две длины моста от ближайшего конца моста, и двигался на нее со скоростью 90 миль в час. Смышленая корова прыгнула навстречу поезду и спаслась, проскочив в 1 футе от него. А если бы она убегала от поезда, то три дюйма от ее задней части осталось бы на мосту.
Какова длина моста и скорость коровы?

2. Заяц и черепаха начинают забег в противоположных направлениях из одной точки на круговой дорожке диаметром 100 м. Заяц не бежал до тех пор, пока Ч не пробежала 1/8 часть дистанции. Думая, что черепахе с ним не тягаться, он лениво плетется до тех пор, пока не встречается с Ч - в этот момент он прошел 1/6
часть дистанции. Во сколько раз быстрее ему придется теперь побежать, чтобы выиграть забег?

3. У окна приделано приспособление для спасения при пожаре - блок и две большие корзины на веревке. Безопасная разница в весе корзин для спуска и подъема составляет 30 фунтов. Начался пожар, в комнате остались отрезаны огнем от лестницы:
тощий сторож - 90 фунтов,
его жена - 210
собака - 60
младенец - 30
Собака и младенец не могут влезть в корзину или вылезти без посторонней помощи. Как всем спуститься?

4. 8 детей разделили 32 яблока так, что Энн получила 1 яблоко, Мэй - 2, Джейн -3, Кэт - 4. Нед Смит взял столько же яблок, сколько и его сестра, Том Браун - вдвое больше сестры, Билл Джонс - втрое, а Джек Робинсон - вчетверо больше свой сестры. Определить фамилии девочек.

5. На Диком Западе Джеку сказали, что до Пайктауна он может добраться 4-мя способами
1) дилижансом с одной 30-минутной остановкой
2) пешком - тогда, если выйти одновременно с дил., то отстанешь от него на одну милю
3) пешком до станции, затем дилижансом. Если выйти одновременно с дил., то дил. прибудет на станцию, когда Джек пройдет 4 мили, но из-за стоянки он как раз успеет к отправлению
4) дил. до станции, потом пешком - тогда прибудешь в Пайктаун на 15 минут раньше дил.
Каково расстояние до Пайктауна?

6. Велосипедист, двигаясь по ветру, проезжает милю за 3 минуты,
а против ветра - за 4 минуты. Если он крутит педали с одинаковой силой, то за сколько он проедет милю без ветра?

7. Учитель танцев хочет расставить по кругу 10 мальчиков и несколько девочек так, чтобы рядом с каждым мальчиком стояли М и Д, и через одного от каждой Д тоже стояли М и Д. Сколько девочек потребуется?

8. Пешеход, идя вдоль шоссе с постоянной скоростью, заметил, что каждые 6 минут его обгоняет автобус, а каждые 3 мин. идет встречный. Каков интервал отправления автобусов?

следующие задачи решаются без компьютера ;)

9. Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

10. Найти все трехзначные числа, которые при делении на 37 дают остаток 2, а при делении на 11 - остаток 5.

11. Найти все числа N, удовлетворяющие условию: среди чисел 1,2,3...1000 имеется ровно 10 чисел с суммой цифр, равной N.

← →
SergP © (2004-06-11 14:05) [1]

9. 105

← →
Рамиль © (2004-06-11 14:26) [2]

4. Джейн Смит, Кэт Браун, Энн Джонс, Мэй Робинсон

← →
Рамиль © (2004-06-11 14:32) [3]

6. 3 3/7

← →
default © (2004-06-11 14:41) [4]

SergP © (11.06.04 14:05) [1]
халявная задача, первое же 3-х значное число кратное 7 - это решение задачи, так как по усл-ию такое число един-нно...

а можно для первой задачи соотн-ния дюймов и миль с футами(

← →
MBo © (2004-06-11 14:42) [5]

[1,2,3] - все верно

← →
Agent13 © (2004-06-11 14:43) [6]

8. 4 мин.

← →
Семен Сорокин © (2004-06-11 14:44) [7]

10. 335, 542

← →
MBo © (2004-06-11 14:45) [8]

фут=12 дюймов
Миля = 5280 футов (

← →
MBo © (2004-06-11 14:47) [9]

>10. 335, 542
335 - правильно, а 542 - нет

← →
Думкин © (2004-06-11 14:53) [10]

> default © (11.06.04 14:41) [4]

Это некрасиво.

← →
Семен Сорокин © (2004-06-11 14:55) [11]

11. 3, 24

← →
Семен Сорокин © (2004-06-11 14:57) [12]

> MBo © (11.06.04 14:47) [9]
> >10. 335, 542
> 335 - правильно, а 542 - нет

обшибся второе - 742 :)

← →
MBo © (2004-06-11 15:03) [13]

>обшибся второе - 742 :)
угу ;)

>11. 3, 24
А как нашел?

← →
Agent13 © (2004-06-11 15:06) [14]

1. длина моста 48 футов, скорость коровы 18 миль в час.

← →
MBo © (2004-06-11 15:08) [15]

>Agent13 © (11.06.04 14:43) [6]
>Agent13 © (11.06.04 15:06) [14]
верно

← →
vertal © (2004-06-11 15:15) [16]

10. 742 и 335.Решение получено без использования компьютера.

← →
default © (2004-06-11 15:17) [17]

Думкин © (11.06.04 14:53) [10]
что именно?

← →
Agent13 © (2004-06-11 15:48) [18]

5. 9 миль.

← →
default © (2004-06-11 15:51) [19]

2. >21.25 раза

← →
Семен Сорокин © (2004-06-11 15:55) [20]

> >11. 3, 24
> А как нашел?

смухлевал :), 20 строк кода

← →
Семен Сорокин © (2004-06-11 15:56) [21]

насчет 10 п. - там закономерность есть (без компьютера).

← →
vertal © (2004-06-11 15:57) [22]

По части 2. согласен с [19]

← →
vertal © (2004-06-11 15:58) [23]

По части 2. согласен с [19]

← →
SergP © (2004-06-11 16:05) [24]

3)

1. Младенец вниз
2. Собака вниз, младенец вверх
3. Сторож вниз, Собака вверх
4. Младенец вниз.
5. Собака вниз, младенец вверх
6. Младенец вниз
7. Жена вниз, сторож,собака,младенец вверх.
8. младенец вниз
9. Собака вниз, младенец вверх
10. младенец вниз
11. сторож вниз, собака вверх
12. собака вниз, младенец вверх
13. младенец вниз.

← →
SergP © (2004-06-11 16:15) [25]

> [4] default © (11.06.04 14:41)
> SergP © (11.06.04 14:05) [1]
> халявная задача, первое же 3-х значное число кратное 7 -
> это решение задачи, так как по усл-ию такое число един-нно...

Дык у меня времени не было на более сложные задачки. Только увидел ветку, как уже пора было идти на обед. :-)))
Просто сразу заметил что число должно заканчиваться пятеркой. А остальные цифры найти уже не проблема...
Думал за остальные задачки после обеда взяться, но как вижу уже поздно... :-((

← →
SergP © (2004-06-11 16:19) [26]

4.
Энн Джонс
Мей Робинсон
Джейн Смит
Кет Браун

← →
SergP © (2004-06-11 16:20) [27]

4.
Энн Джонс
Мей Робинсон
Джейн Смит
Кет Браун

← →
SergP © (2004-06-11 16:23) [28]

> [2] Рамиль © (11.06.04 14:26)

Блин. Не заметил

← →
SergP © (2004-06-11 16:28) [29]

7. 20

← →
default © (2004-06-11 16:29) [30]

Думкин © (11.06.04 14:53) [10]
Вы, наверно, подумали что я как-то пытаюсь задеть SergP типа задача простая и тд.?
ерунда...просто захотелось поделиться да и всё

7.20

> [30] default © (11.06.04 16:29)

Задача действительно простая. Но дело в том что мне пора было идти на обед, и небыло времени на более сложные задачи. :-(((
Просто сразу было видно что последняя цифра числа - пятерка, а остальные вычислить тоже не проблема. поєтому я сразу запостил и пошел на обед :-))

>Семен Сорокин © (11.06.04 15:56) [21]
>насчет 10 п. - там закономерность есть (без компьютера).
у меня довольно объемно (с использованием того, что большинство возможных сумм от 0 до 27 дают по меньшей мере 2*3!=12 вариантов). Возможно, существует изящное короткое решение?

>Семен Сорокин © (11.06.04 15:56) [21]
>MBo © (11.06.04 16:56) [34]
>Возможно, существует изящное короткое решение?
Понял :)
Жаль, что сразу не связал - это похоже на задачу о счастливых билетах, для которой формулы я уже выводил.
Будет симметричное распределение количества вариантов суммы от 0 до 27 с максимумом на 13-14.

MBo[33]>
Во второй задаче условие с диаметром - лишнее выходит? А то у меня тоже 21,25, а я им не пользовался.

MBo[34]>
Я решал так(решение простое и наглядное, по-моему, просто я длинно объясняю :))
Ну во-первых, число 1 в искомые не входит (легко проверить), поэтому искомые числа в интервале от 0..999 будет те же, что и в интервале 1..1000 (просто мне так проще думать :))

Итак
среди чисел от 0..99 сумма цифр дает такие значения:
1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 //от 10..19
3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 //от 20..29
4) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 //от 90..99

в такой записи легко видеть, что количество чисел (к), у которых сумма цифр (сц) равна 0 всего 1, 1 - всего 2 и т.д. в виде таблицы:
сц к
---------
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
11 9
...
18 1

Кроме того, в таком "матричном" представлении видно, что суммы цифр растут до некоторой величины, а потом падают.
дальнейшее суммирование цифр в числах от 100 до 199, 200..299 ... 900..999 каждый раз
приводит к наложению на эту косую "мартицу" такой же, только
сдвинутой на одну строчку вниз, относительно предыдущей матрицы и появляется дополнительно одна строчка. Это не очень понятно, поэтому "нарисую": 100..199

2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 //от 100..109
3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 //от 110..119
4) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
11) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 //от 0..199

теперь если наложить эту матрицу на первую (то есть строчки с одинаковыми номерами слева), получим такой результат:
1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1 штука)
2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2 штуки)
3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2 штуки)
4) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2 штуки)
5) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2 штуки)
6) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2 штуки)
7) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2 штуки)
8) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2 штуки)
9) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2 штуки)
10) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2 штуки)
11) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1 штука)
И теперь таблица примет вид:
сц к
---------
0 1
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
6 8
7 9
8 10
9 11
11 12
...
18 2
19 1

В общем, я думаю ход моих мыслей понятен. И совсем не обязательно так много рисовать , чтобы понять, что в результате мы получим таблицу
сц к
----------
0 1
1 3
2 6
3 10 вот оно первое решение.
4 15
...
и т. д. количество будет расти до некоторой величины, после чего спадет до 1 для суммы цифр 27(для числа 999). Очевидно, что решений еще одно и оно будет симметрично первому, только с конца. А четвертой с конца суммой цифр будет 24 (потому что 3 - четвертая с начала.)

Хух.

10. Вот о чем я подумал, насчет этой задачки:

Если выкинуть нафик число 1000, так как нам оно явно не подходит (с суммой есть только 4 варианта - 1,10,100,1000), то у нас останутся все возможные варианты чисел 100*а+10*b+c где a,b,c от 0 до 9

Теперь нам нужно найти такие суммы N=a+b+c чтобы число вариантов представления их было 10
Представим себе куб 10*10*10, где a,b,c координаты конкретного трехзначного числа...
тогда видно что все числа имеющие одинаковую сумму цифр лежат на одной плоскости.

И число таких чисел: для N<=9 будет K=(N+2)*(N+1)/2,
для N>=18 будет K=(27-N+2)*(27-N+1)/2
а для 9<N<18 число K будет K>K(9) (доказывать это не буду, так как если представить себе куб, то это будет очевидно.)

Вобщем Решая уравнение (N+2)*(N+1)/2=10
и (27-N+2)*(27-N+1)/2=10

Находим N=3 и N=24

Решение немного некрасивое, но нет времени доводить его до нормального вида...

> [39] MBo © (11.06.04 18:54)

Я хотел сказать не совсем законченое...
Я ведь не вывел формулу для для 9<N<18, а отбросил эти варианты потому что при этом кол-во одинаковых сумм явно превышает требуемую (на основе очевидности...

А это для того чтобы было понятнее:
что касается формулы K=(N+2)*(N+1)/2 для N<=9, то K - кол-во точек на пересечении куба с плоскостью, сечение имеет вид треугольника, и кол-во точек имеет вид "треугольных чисел" , т.е. 1,3,6,10 и т.д.
т.е равно сумме ряда с арифметической прогрессией от 1 до N+1

>сечение имеет вид треугольника, и кол-во точек имеет вид "треугольных чисел"
следствие второго из первого - неочевидно (мне сейчас ;)), но тем не менее утверждение верно для n<10

> [41] MBo © (11.06.04 19:28)

Представь себе куб где одна из вершин является началом координат. И представь себе плоскость имеющую точки (0,0,3), (0,3,0), (3,0,0)
получается равносторонний треугольник, в котором находятся все точки сумма координат которых равна 3
Естественно что точек с целыми координатами в этом треугольнике
(3+2)*(3+1)/2, т.е. =10

Кстати при N от 10 до 17 это будет уже шестиугольник
и для него K(n)=S(n+1)-3*S(n-9)
где S(n)=n*(n+1)/2

Пятница - время поломать голову ;^) Найти похожие ветки