Фрактальная размерность множества

← →
Alkid © (2007-12-26 15:13) [0]

Кон-нибудь на пальцах без заумных формул может объяснить что есть фрактальная размерность множества или дать ссылку на популярную статью по этому вопросу?

← →
clickmaker © (2007-12-26 15:15) [1]

размерность, не являющаяся целым числом?

← →
Alkid © (2007-12-26 15:20) [2]

> размерность, не являющаяся целым числом?

Ну это является наиболее видимым свойством такой размерности. Но мне надо "по сути" разобраться :) Гложет меня это. Что есть "обычная" размерность - это понятно (как и то, почеум это всегда целое число), а как так может быть размерность дробной?
"Нипонятна" (с)

← →
ыы (2007-12-26 16:14) [3]

Для фрактала в простейших случаях применима размерность Хаусдорфа-Безиковича. Вычисляется как отношение логарифмов "сколько частей на текущей итерации" к "сколько частей на предыдущей итерации", представляет собой "степень заполнения пространства". Например, для "снежинки Мандельброта" (___) -> (_/\_) размерность равна ln(4)/ln(3).

← →
MBo © (2007-12-26 16:16) [4]

Возьмем плоскость и плоскую фигуру - треугольник, или лучше - квадрат. Удвоим его размер - получим 4 квадрата. Утроим - получим 9 квадратов. Или равносильно - разобъем на одинаковые части половинного размера - получим 4 квадрата.
Для куба удвоение даст 8 кубов

Multiplication^Dimension = NumSpecies
Dimension = Ln(NumSpecies) / Ln(Multiplication)

Теперь возьмем снежинку Коха. Она состоит из 4 частей _/\_
Перейдя на следующий уровень детализации, т.е. заменим каждый из фрагментов целой снежинкой - получим в 3 раза большую снежинку.
Dim = Ln(4)/Ln(3) = 1.26 - вот она, дробная размерность!

Треугольник Серпинского - 3 треугольника составляют удвоенную фигуру
Dim=Ln(3)/Ln(2)=1.6

Кривая Пеано - 9 отрезков заменяем на целую кривую, получаем в 9 раз большую кривую из 81 отрезка
Dim = 2 - размерность получилась целой, т.к. кривая Пеано полностью заполняет плоскость (space-filling curve, как и кривая Серпинского)

Для плоской кривой есть связь еще с ее длиной - например, линия морского побережья - чем точнее мы ее измеряем, тем больше ее длина, и размерность может доходить до 1.5.
Для space-filling curves длина экспоненциально растет с уровнем детализации

Более серьезное обоснование - надо читать о метрике Xаусдорфа

← →
Иксик © (2007-12-26 16:39) [5]

> MBo © (26.12.07 16:16) [4]

Вы замечательно объясняете!! Завидую вашим студентам!

Круто, спасибо!

Есть популярная книга Мандельброта. Сейчас дам ссылку, или можно попросить у меня по почте/аське.

http://monkey.belozersky.msu.ru/~evgeniy/books/mandelbrot_fractali.djvu (5.3 Mb)

Фрактальная размерность множества Найти похожие ветки