Что-то пятничных задачек нет

← →
palva © (2007-03-16 13:09) [0]

Как известно, определителем третьего порядка | a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 | называется число a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13 - -a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a12*a21*a33. Найти максимум этого определителя, составленного из нулей и единиц. Можно перебором на компьютере. Но хотелось бы обойтись без него.

← →
ferr © (2007-03-16 13:14) [1]

вроде помню что 4 ;-)

← →
ferr © (2007-03-16 13:15) [2]

или нет, 4 вроде если из +/- 1..

← →
@!!ex © (2007-03-16 13:16) [3]

По логике - 3....

← →
ferr © (2007-03-16 13:17) [4]

ну здесь тогда 2 =)

← →
@!!ex © (2007-03-16 13:18) [5]

хотя не. 3 не может быть.

← →
@!!ex © (2007-03-16 13:19) [6]

Да. 2. Точно.

← →
palva © (2007-03-16 13:26) [7]

Задачка оказалась простой. Действительно, по главной диагонали нули, остальные единицы. Получается 2.
А если разрешить элементам плавать от нуля до единицы, то можно получить больший определитель?

← →
Sam Stone © (2007-03-16 13:32) [8]

> [7] palva © (16.03.07 13:26)

Произведение таких чисел будет меньше любого множителей, так что нет.

← →
palva © (2007-03-16 13:42) [9]

А произведения входят в определитель с разными знаками, так что все они могут уменьшится, но в разной степени, и определитель в результате увеличится. Мне тоже кажется, что ответ отрицательный, но я пока не вижу доказательства.

← →
MBo © (2007-03-16 13:53) [10]

Для матриц nxn с комплексными элементами, не превосходящими по модулю 1, Адамар доказал, что определитель (или его модуль, не помню) ограничен n^(n/2)

← →
Думкин © (2007-03-16 14:13) [11]

1. Если рассмотреть треугольник с вершинами (0,0), (x1,y1),(x2,y2) то определитель матрицы ((x1,y1),(x2,y2)) c точностью до занка можно рассматривать как удвоенную площадь этого треугольника.
2. Точно также для трех измерений.

Максимальная площадь треугольника будет достигнута, если вершины будут лежать на сторонах единичного квадрата в первой четверти. Отсюда - найти максимум выражения 1- xy при положительных значениях. Очевидно - это 0,0. И значение 1.

Такие же рассуждения можно применить и тетраэдру вписанного в единичный куб в первом октанте.

> Такие же рассуждения можно применить и тетраэдру вписанного в единичный куб в первом октанте.

Ну то есть, матрица, на котором достигается максимум определителя будет иметь хотя бы одну единицу в каждом столбце и каждой строке. На этом мысль останавливается.

> palva © (16.03.07 14:35) [13]

Вспомни про функции определенные на симплексах и где у них максимумы. Это к твоей задачке про варьирование от 0 до 1.

Думкин © (16.03.07 14:37) [14]
> и где у них максимумы
Смущает, что целевая функция нелинейна.
Нашел про Адамара
http://mathworld.wolfram.com/HadamardsMaximumDeterminantProblem.html
Похоже, что там содержится ответ для третьего порядка.

> palva © (16.03.07 14:39) [15]

Она линейна по каждому параметру. Этого в данном случае достаточно.
Вроде не ошибаюсь. Во всяком случае пока шел домой - думал, противоречий не нашел. Это не дает ответа на первую задачу, но то что между 0 и 1 мы не превысим максимума на вершинах - получается.

У Адамара ведь не положительный куб. Или нет?

Что-то пятничных задачек нет Найти похожие ветки