Вопрос к знатокам математики

← →
Verner (2005-09-18 15:06) [0]

Сижу, готовлюсь к олимпиаде, наткнулся на такое задание:
==
Сравните Sin(1)+Sin(1/2)+Sin(1 / 2^2)+Sin(1 / 2^3)+...++Sin(1 / 2^n)
и число 2 (где n - произвольное натуральное число)
==

Есть какие-нибудь идеи по решению?

← →
MBo © (2005-09-18 15:18) [1]

Это легко решается с использованием комплексных чисел. Можно их использовать?

← →
MBo © (2005-09-18 15:26) [2]

Ага, без комплексных тоже нетрудно.
Начерти единичную окружность, последовательно откладывай указанные углы, и увидишь, что получится.

← →
TJulia © (2005-09-18 15:27) [3]

Известно,что Sin(x)<x при 0<x<Pi/2.
Тогда Sin(1)+Sin(1/2)+Sin(1 / 2^2)+Sin(1 / 2^3)+...++Sin(1 / 2^n) < 1+(1/2)+(1 / 2^2)+
+(1 / 2^3)+...+(1 / 2^n)<1+(1/2)+(1 / 2^2)+(1 / 2^3)+...+(1 / 2^n)+... (бесконечная сумма)

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1+(1/2)+(1 / 2^2)+(1 / 2^3)+...+(1 / 2^n)+...=1/(1-(1/2))=2,

то есть

Sin(1)+Sin(1/2)+Sin(1 / 2^2)+Sin(1 / 2^3)+...++Sin(1 / 2^n) < 2

← →
Думкин © (2005-09-19 06:31) [4]

> TJulia © (18.09.05 15:27) [3]
> Известно,что Sin(x)<x при 0<x<Pi/2.

Оно таки да, но - все-таки не тривиально. если без графиков. но на уровне школы канает. Хотя с комплексными более точно - даже при школьном уровне строгости.

← →
TJulia © (2005-09-19 14:01) [5]

> Думкин © (19.09.05 06:31) [4]
> Хотя с комплексными более точно - даже при школьном уровне строгости.

А комплексные числа разве в школе проходят?

← →
Думкин © (2005-09-19 14:04) [6]

> TJulia © (19.09.05 14:01) [5]

А неравенство:
> Известно,что Sin(x)<x при 0<x<Pi/2. ?

И где-то проходят.

← →
TJulia © (2005-09-19 14:08) [7]

В физ.-мат. школе, наверное, все проходят.

Неравенство с помощью производной в две строчки доказывается, а производную точно везде проходят.

← →
Думкин © (2005-09-19 14:10) [8]

> TJulia © (19.09.05 14:08) [7]

А как ее берут? Для синуса? :)
Впрочем - пустое.

← →
TJulia © (2005-09-19 14:14) [9]

(sin(x))"=cos(x)

А на вопрос "Откуда это берется?" школьник обычно отвечает: "Из учебника". :)

> TJulia © (19.09.05 14:14) [9]

во-во. :)
Насколько я помню, то, что из учебника - там как раз при выводе производной и используют указанное неравенство.

Ну, если нужно, чтобы все законно было, можно срисовать отсюда:

http://ilib.mirror0.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/shk-1.htm

Там вообще производная не участвует. :)

← →
Verner (2005-09-20 19:47) [12]

Еще одно задание, которое никак не могу решить:

==
Вычислили значение логарифма каждого из ста последовательных натуральных чисел по основанию 2. Докажите, что ср.арифметическое этих чисел - иррациональное число
==

Не поможете?

Так это совсем просто.:)

Пусть (log_2(x+1)+...+log_2(x+100))/100 - рациональное, тогда
log_2(x+1)+...+log_2(x+100)=log_2((x+1)*...*(x+100)) - рациональное, т. е.
log_2((x+1)*...*(x+100))=p/q, p и q - натуральные.
2^(p/q)=(x+1)*...*(x+100)
2^p=((x+1)*...*(x+100))^q

Левая часть не делится ни на одно простое, кроме 2, а правая делится, т. к. одно из чисел
x+1 и x+2 нечетное. Противоречие.

Вопрос к знатокам математики Найти похожие ветки