Я ЕЕ ТАКИ РЕШИЛ!!!

← →
oldman © (2004-10-26 17:48) [0]

Проходила тут такая задача - доказать, что сумма квадратов расстояний от углов единичного квадрата до прямой, проходящей через его центр всегда равна 1.

Решение:
Проводим произвольную прямую.
Опускаем из углов на нее высоты.
Понятно, что сумма квадратов расстояний от двух углов, находящихся по разные стороны прямой, должно равняться 1/2.
Рассмотрим треугольники, образуемые этими высотами (А и В), прямой и диагоналями.
Видно, что А^2+B^2 равно (С*sin(a))^2+(C*sin(b))^2де
С - половина диагонали, равная sqr(2)/2 и понятно, что
a+b=90 градусов
Отсюда A^2+B^2=1/2 * (sin(a)^2+sin(b)^2)
А искомый результат умножаем на 2 и получаем N=sin(a)^2+sin(b)^2
Легко доказать, что если a+b=90 градусов, то sin(a)^2+sin(b)^2=1
Для непонятливых - строим прямоугольный треугольник с углами a и b, катетами А и В и гипотенузой С
sin(a)=A/C, sin(b)=B/C
sin(a)^2+sin(b)^2=A^2/C^2+B^2/C^2=(A^2+B^2)/C^2
Так, как треугольник прямоугольный, A^2+B^2=C^2, то есть
sin(a)^2+sin(b)^2=C^2/C^2=1
Во как! :)

← →
Vaitek (2004-10-26 19:19) [1]

Поздравляю

Задачка интересная, но простая.
Вот мое решение:
ПНачало координат поместим в центр квадрата. Координаты вершин квадрата (1/2,1/2), (1/2,-1/2), (-1/2,-1/2), (-1/2,1/2).
Прямая, проходящая через центр имеет вид a*x+b*y=0
Квадрат расстояние от точки с координатами (alpha, beta) до этой прямой есть (a*alpa+b*beta)^2/(a^2+b^2). Осталось последовательно вместо alpha и beta подставить координаты вершин квадрата и просуммировать:
S = ((1/2*a+1/2*b)^2+(1/2*a-1/2*b)^2+(-1/2*a-1/2*b)^2+(-1/2*a+1/2*b)^2)/(a^2+b^2) = 1

Я ЕЕ ТАКИ РЕШИЛ!!! Найти похожие ветки