Пятничные задачки (прошу не судить строго)

← →
Alx2 © (2004-07-18 10:27) [40]

>Думкин © (17.07.04 15:20) [39]
Блин, я круговой цилиндр вписывал. Усе пропало :))))))

← →
Vit@ly © (2004-07-18 10:38) [41]

>Думкин ©
Если не затруднит (ветка достаточно большая), выложи нерешенные номера

← →
Alx2 © (2004-07-18 10:45) [42]

2. 4*sqrt(3)/9*Pi*c*b*a - объем вписанного прямого эллиптического цилиндра

← →
Думкин © (2004-07-18 20:03) [43]

> [42] Alx2 © (18.07.04 10:45)

2. Верно. И видим симметрию по отношению к осям, отсюда вывод....

> [41] Vit@ly © (18.07.04 10:38)

Таких уже нет. Но...
1. ни одно решение не приведено полностью, кроме 1.
2. Я считаю, что эти задачи интересны сами по себе как и все пятничные. Это не для мерки. В "Кванте" был раздел для младших школьников, в котором выкладывались задачи и решения не рассматривались редколлегией журнала. Это для читателей и не более, но сами решения потом выкладывались. А вот в задачнике Кванта было соревнование. Тут его нет, простоо решай. :-)

← →
Alx2 © (2004-07-18 20:49) [44]

>1. ни одно решение не приведено полностью, кроме 1.
Что значит не было приведено полностью? То есть не было разжевано?

Что касается задачи 2.:
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 - эллипсоид
x^2/d^2+y^2/f^2 = 1 - эллиптический цилиндр (пока его направляем вдоль оси z). 2*c*sqrt(1-f^2/b^2) и 2*c*sqrt(1-d^2/a^2) - минимальное из этих значений даст высоту впсианного эл. цилиндра (даные значения находятся либо подстановкой, либо, что проще, через полином Лагранджа). Рассмотрим случай: f^2/b^2>d^2/a^2
тогда высота цилиндра = 2*c*sqrt(1-f^2/b^2). Снова методом Лаграджа ищем d и f, которые дадут максимальный объем.
Объем элиптического цилиндра есть Pi*f*d*2*c*sqrt(1-f^2/b^2). При этом соблюдаем ограниение, что f^2/b^2>d^2/a^2. То есть f^2=d^2*b^2/a^2+eps^2, где eps - просто "заглушка", чтобы выболнить неравенство.
Лагранджиан будет иметь вид: Pi*f*d*2*c*sqrt(1-f^2/b^2)+lambda*(f^2-(d^2*b^2/a^2+eps^2)) -> max ;
Решая систему уравнений, составленную из производных данного выражения по f, d, lambda и eps получим, что максимум доставляет решение
lambda = 1/3*Pi*c*sqrt(3)*a/b,
d = 1/3*sqrt(6)*a,
f = 1/3*sqrt(6)*b,
eps = 0

Равенсто eps=0 говорит о равнозначности выбора осей эллипса и независимости максимального объема вписанного эллиптического цилиндра от взаимного раположения величин a,b,c.

Подставляя полученное решение в выражение для объема, получим
V = 4/9*Pi*b*a*c*sqrt(3).

> [44] Alx2 © (18.07.04 20:49)

Угу. Значит вполне можно решать и другим, ибо абсолютго разжеванных нет.
И не надо разжевывать - ответы есть и хватит.

Пятничные задачки (прошу не судить строго) Найти похожие ветки