как аналитически доказать- что больше

← →
lak (2004-04-19 15:11) [0]

e^pi или pi^e ?

← →
Ega23 © (2004-04-19 15:21) [1]

pi^e=e^(ln(pi^e)) ->
Надо сравнить, что больше, pi или ln(pi^e);
ln(pi^e)=e*ln(pi)

Осталось сравнить, что больше: pi, или e*ln(pi).

← →
pasha_golub © (2004-04-19 15:27) [2]

Е в степени Пи больше

← →
ghg © (2004-04-19 15:28) [3]

что-то мне кажется что все равно придется считать чей-нибудь логарифм
полностью аналитически не получится

это как сравнить a^b и b^a, где известно что а>b и все

нет полностью аналитически не получится

← →
Serrrrg (2004-04-19 16:19) [4]

У числа Пи и у числа е есть определения (lim...).
Пишем это всё и пытаемся причесать.

← →
pasha_golub © (2004-04-19 16:36) [5]

Serrrrg (19.04.04 16:19) [4]
Какие-такие определения? Знаю разложения в ряд, но вот определений не знаю. Сорри.

← →
Ega23 © (2004-04-19 16:43) [6]

Он это и имел ввиду (разложение в ряд)

← →
Vlad Oshin © (2004-04-19 16:51) [7]

ln(pi^e) = e ln(pi) = e(1+ln(pi/e)) = e (1+ln(1+pi/e-1)) < e(1+ pi/e-1)= pi = ln(e^pi)

← →
default © (2004-04-19 16:54) [8]

тоже больше склоняюсь к тому что никак

← →
default © (2004-04-19 17:04) [9]

Vlad Oshin © (19.04.04 16:51) [7]
с какого бодуна Pi=Ln(e^Pi)?

← →
Jack128 © (2004-04-19 17:24) [10]

> default © (19.04.04 17:04)
возведение в степень под логорифмом выносится за знак логорифма как произведение (если вспомнить, что такое лог, то это очевидно) => Ln(e^Pi) = Pi * Ln(e) = Pi * 1 = Pi

← →
Vlad Oshin © (2004-04-19 17:34) [11]

> ln(pi^e) = e ln(pi)

а это не удивило?

ln(e^pi) = pi ln(e) = pi

← →
PaRL © (2004-04-19 21:59) [12]

Ну тут уже прозвучало, что pi и e это пределы последовательностей...
мне кажется можно доказать это следующим образом...
есть такая теорема об арифметических св-вах предела
{если Xn>Yn для любого n, то limXn >= limYn
ну в нашем случае = не может быть ввиду показательной ф-ии, поэтому сразу >}
дак вот,
e^pi u pi^e
pi u e*ln(pi)
так как pi = 2*lim [sqr(2n!!/(2n-1)!!) / (2n+1)]
e = lim(1+1/n)^n
и учитывая, что ln(lim<pi>) = lim(ln(pi)) по непрерывности ln и lim(ln(pi))*lim<e> = lim(ln(pi)*e) по арифм.св-вам предела

короче говоря в итоге всего этого бреда стоит задача доказать, что
2*[sqr(2n!!/(2n-1)!!) / (2n+1)] > [(1+1/n)^n]*ln{2*[sqr(2n!!/(2n-1)!!) / (2n+1)]}

я пробовал через мат. индукцию, но трудно это...

а вообще я не силен в математике)) типа идею выдал))

зы кто не в курсе 2n!! = 2*4*...*2n
(2n-1)!! = 3*5*...*(2n-1)

ззы и все пределы тут были при n -> бесконечность

← →
Sphinx © (2004-04-19 22:09) [13]

e^pi~23.14

pi^e~22.46

---------------
е=2,7182818284590452353602874713527
pi=3,1415926535897932384626433832795

Чего доказывать то??? Или я чего-то не понял :(

← →
default © (2004-04-19 22:11) [14]

Vlad Oshin © (19.04.04 17:34) [11]
просмотрел)но по сути Ваше доказ-во из разряда [1]
как говорится фиг на фиг менять...
не то что надо
(1+ln(1+pi/e-1)) < (1+ pi/e-1)
про левую скобку можем лишь сказать что она больше 1, про вторую тоже, но не более

← →
default © (2004-04-19 22:14) [15]

это "док-во" вообще ничего не говорит)пустой набор символов)
интересно есть ли решение...

детский сад...
изучаем поведение функции x^(1/x) - ищем экстремум. после этого сравниваем e^(1/e) и pi^(1/pi).

← →
lak (2004-04-19 22:53) [17]

2[16]
да-да.. что-то около того.. если тут не будет вразумительного ответа - завтра запостю.

Приводим к одному основанию, например, к е: е*ln(pi) сравниваем с (pi)*ln(e).
В силу положительности произведения чисел е и пи, делим на него: ln(pi)/(pi) сравниваем с ln(e)/(e).
Рассмотрим на x>0 функцию вида ln(х)/(х) и найдем промежутки ее возрастания и убывания, через знак производной. Последняя имеет точку смены знака в х=е и слева от нее положительна (т.е. f(x) возрастает), а справа отрицательна (т.е. f(x) убывает).
По условию задачи требуется сравнить значения f(pi) и f(е). Используя неоспоримый факт, что e < 3 < (pi), получаем, что f(pi) < f(e).
Так как не было преобразований, меняющих возможный знак неравенства, полученный соответствует исходному:
пи в степени е меньше е в степени пи.

> причём здесь ф-ия x^(1/x)

Нужно взять производную и найти интервалы убывания и возрастания функции X^(1/X). Затем с помощью логарифмирования этой функции приходим к исходной задаче.

причём здесь ф-ия x^(1/x)

А при том что данная функция при x=e имеет экстремум (а точнее максимум), поэтому e^(1/e)>pi^(1/pi)

а значит и e^pi>pi^e

как аналитически доказать- что больше Найти похожие ветки