Занятно

← →
Jeer © (2007-03-30 17:03) [0]

О необходимом и достаточном условии вписанности четырехугольника в окружность.

"Выпуклый четырехугольник со сторонами a, b, c, d и диагоналями p, q является вписанным тогда и только тогда, когда abp-bcq+cdp-daq = 0"

← →
Сергей М. © (2007-03-30 17:14) [1]

> Jeer © (30.03.07 17:03)

Особо выдающимся, судя по всему, является факт возможности "впуклости" четырехугольника ?)

← →
Vlad Oshin © (2007-03-30 17:34) [2]

доказывается через треугольники?

← →
oldman © (2007-03-30 18:26) [3]

> Сергей М. © (30.03.07 17:14) [1]
>
> > Jeer © (30.03.07 17:03)
>
>
> Особо выдающимся, судя по всему, является факт возможности
> "впуклости" четырехугольника ?)

ты уверен, что все четырехугольники выпуклые?

← →
Vlad Oshin © (2007-03-30 18:34) [4]

невозможно вписать впуклый в окружность

← →
oldman © (2007-03-30 18:38) [5]

> Выпуклый четырехугольник со сторонами a, b, c, d и диагоналями
> p, q является вписанным тогда и только тогда, когда abp-
> bcq+cdp-daq = 0

Подробнее можно насчет "abp-bcq+cdp-daq = 0"?
Что за смесь алгебры и геометрии???

← →
Vlad Oshin © (2007-03-30 18:50) [6]

a, b.. - обозначение отрезков, тоже допускается в геометрии

как я думаю:
Берем треугольник abp(или abq, кто как нарисовал), вписываем.
Достраиваем до нашей фигуры треугольником dcp. Осталось доказать, что его вершина также лежит на окружности, при равенстве [0]
В помощь еще 2 треугольника, которые тоже должны быть вписаны при том же равенстве. ибо, 3 т. определяют дугу

← →
oldman © (2007-03-30 18:53) [7]

Вообще-то, достаточное и необходимое условие вписываемости -
существование точки, равноудаленной от углов многоугольника и находящейся внутри его.

← →
oldman © (2007-03-30 18:55) [8]

При этом, расстояние от точки до угла должно быть равно радиусу окружности.

А то в [5] мне непонятно, что такое "треугольник-треугольник+треугольник=0"...

← →
Vlad Oshin © (2007-03-30 19:00) [9]

> А то в [5] мне непонятно, что такое "треугольник-треугольник+треугольник=0".
> ..

прикалываешься?
длинаСторны1*длинаСторны2*длинаДиагонали1..

правда, таких закономерностей как [0], можно, наверное, еще найти

← →
palva © (2007-03-30 20:19) [10]

> Vlad Oshin © (30.03.07 18:34) [4]
> невозможно вписать впуклый в окружность

Пусть ABCD - квадрат. ABDC - невыпуклый четырехугольник, возле которого можно описать окружность. Или нет?

← →
palva © (2007-03-30 20:45) [11]

А по сабжу что нужно сделать?
Голосую, что утверждение неверно.

← →
palva © (2007-03-30 21:16) [12]

{$APPTYPE CONSOLE} uses math; var vAx,vAy,vBx,vBy,vCx,vCy,vDx,vDy: double; a,b,c,d,p,q: double; begin // четырехугольник ABCD вписан в единичную // окружность с центром в начале координат // берем от фонаря полярные углы последовательных // вершин и вычисляем их координаты vAx := cos(1); vAy := sin(1); vBx := cos(2); vBy := sin(2); vCx := cos(4); vCy := sin(4); vDx := cos(4.5); vDy := sin(4.5); a := sqrt(sqr(vAx-vBx)+sqr(vAy-vBy)); b := sqrt(sqr(vBx-vCx)+sqr(vBy-vCy)); c := sqrt(sqr(vCx-vDx)+sqr(vCy-vDy)); d := sqrt(sqr(vDx-vAx)+sqr(vDy-vAy)); // в сабже не указано, как обозначены диагонали // проверим оба варианта: p := sqrt(sqr(vAx-vCx)+sqr(vAy-vCy)); q := sqrt(sqr(vBx-vDx)+sqr(vBy-vDy)); writeln(a*b*p-b*c*q+c*d*p-d*a*q); // 7.00394603425636E-0017 // а теперь возьмем p и q в другом порядке: p := sqrt(sqr(vBx-vDx)+sqr(vBy-vDy)); q := sqrt(sqr(vAx-vCx)+sqr(vAy-vCy)); writeln(a*b*p-b*c*q+c*d*p-d*a*q); // -5.14906868452440E-0001 // Нулей не наблюдается. // Можно попробовать другие углы. Наверно в симметричных // случаях можно добиться нулевого значения. end.

← →
palva © (2007-03-31 10:02) [13]

Что-то никто не протестует. А ведь первый результат довольно близок к нулю. Если бы мы напечатали отдельно сумму положительных слагаемых из формулы и сумму отрицательных, они с очень большой точностью совпали бы. Если попробовать подвигать начальные точки в программе, то первое число остается близким к нулю. Так что придется доказывать. Причем с таким уточнением: диагональ p выходит из той точки, где соединяются стороны a и d, а другая диагональ q имеет общую точку со сторонами a и b

← →
MBo © (2007-03-31 10:43) [14]

кое-что можно о вписуемых четырехугольниках посмотреть здесь:
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html
приведенной формулы там нет, зато есть более простая
pq = ac + bd

← →
MBo © (2007-03-31 11:00) [15]

P.S. Это простое соотношение из [14] (Птолемея) является необходимым, но вряд ли достаточным, т.е. для вписанного оно выполняется, но из него вписанность не следует

А вот ссылка на работу о соотношении в первом посте
http://www.citebase.org/abstract?id=oai:arXiv.org:math/0410234

← →
MBo © (2007-03-31 11:07) [16]

P.P.S.
Хм... спешу, поправляюсь ;)
Все-таки pq = ac + bd тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный

← →
palva © (2007-03-31 12:33) [17]

Задача решается здесь
http://arxiv.org/pdf/math.GM/0410234
Файл pdf 282 Kb
Автор С. Ю. Садов пишет: "Несмотря на простоту это условие, по-видимому, ново и трудно доказуемо. В работе привлекаются методы компьютерной алгебры и локального нелинейного анализа."

Ну да, это ваша же ссылка.

Вот в этой ветке http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=26235
автор уверяет, что задача очень просто решается. Автор потешается по поводу статьи. Правда ветка, трехлетней давности, а за это время автор так и не выложил подробности. Шутник, наверное...

> palva © (30.03.07 20:19) [10]
>
> > Vlad Oshin © (30.03.07 18:34) [4]
> > невозможно вписать впуклый в окружность
>
> Пусть ABCD - квадрат. ABDC - невыпуклый четырехугольник,
> возле которого можно описать окружность. Или нет?

ну, вырожденный не стоит смотреть..

а так - почитать все это .. ну ..
занятно :)

На последней международке такую давали:

Точка L - центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка Р такая, что
LPBA + LPCA = LPBC + LPCB.
Докажите, что АР > AL, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда Р совпадает с L.

LPBA - это площадь что ли?

> palva © (02.04.07 12:12) [22]

А вот дьявол знает. :( Сам расшифровать не могу. Мало того я L поправил - в некоторых местах это было / . На сайте же исходном - текст более корежный. Поэтому тут - 2 задачи: понять что написано и доказать. :)

> palva © (02.04.07 12:12) [22]

Изначальный текст в формате ворда:

Задача 1. (Корея) Точка / - центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка Р такая, что LPBA + LPCA = LPBC + LPCB. Докажите, что АР > AI, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда Р совпадает с /.

По сабжу Jeer © (30.03.07 17:03) необходимость этого условия доказать несложно через соотношение R = abp/4S (a,b,p - стороны треугольника, S-площадь, R - радиус описанной окружности - само это соотношение легко доказывается): так как сумма площадей двух треугольников, разделенных диагональю p равна сумме площадей двух треугольников, разделенных диагональю q, если радиусы всех описанных вокруг треугольников окружностей равны R, сразу получаем:

abp/4R + cdp/4R = bcq/4R + daq/4R

А вот как доказать достаточность?
:)

Занятно Найти похожие ветки