Еще раз про пончик

← →
palva © (2006-10-17 09:55) [0]

Чтобы задача, за которую был обещан пончик, была по-настоящему трудной ее надо правильно сформулировать. В таком случае решение, которое обсуждалось в удаленной ветке, будет всего лишь ложным ходом.

Какова наибольшая площадь прямоугольника, вершины которого лежат на оси Ox и на параболе y=3-x^2 , и который не расположен в нижней полуплоскости.

← →
Sandman29 © (2006-10-17 10:09) [1]

То есть максимизировать выражение x*sqrt(3-x^2)?
А стандартные подходы типа приравнивания производной к нулю разве не работают?

← →
palva © (2006-10-17 10:23) [2]

> То есть максимизировать выражение x*sqrt(3-x^2)?

Здесь как раз не то есть. Возможен прямоугольник с диагональю лежащей на оси Ox. Он будет иметь гораздо большую площадь.

Моя формулировка задачи все еще несколько двусмысленна. Хотелось бы придумать корректную формулировку, которая тем не менее не служила бы наводкой на решение. Тогда задачка потянет на олимпиадную.

← →
Sandman29 © (2006-10-17 10:29) [3]

palva © (17.10.06 10:23) [2]

Возможен прямоугольник с диагональю лежащей на оси Ox

Не думаю. Если две вершины лежат на Ox, то две другие вершины лежат в одной полуплоскости (либо верхней, либо нижней).

Тогда задачка потянет на олимпиадную.

я удаленную ветку не видел, так что тут помочь ничем не могу

← →
Jeer © (2006-10-17 10:31) [4]

Какова наибольшая площадь прямоугольника, две смежные вершины которого лежат на оси Ox, а оставшиеся две - в верхней полуплоскости на параболе y=3-x^2.

← →
palva © (2006-10-17 10:50) [5]

Sandman29 © (17.10.06 10:29) [3]
Ну хорошо, опишу, что я имею ввиду. Если я возьму какую нибудь точку на положительной части параболы и буду проводить через нее секущие, то парабола будет отсекать на секущей некоторый отрезок. При некотором положении секущей отрезок будет делиться осью x точно пополам. Вот этот отрезок и будет диагональю прямоугольника. Вторая диагональ будет лежать на оси Ox будет иметь ту же длину и делиться пополам первой диагональю. Таким образом мы получим вершины прямоугольника. Осталось максимизировать его площадь путем выбора начальной точки. Здесь наверно будут использованы производные.

Jeer © (17.10.06 10:31) [4]
Конечно, если говорить о смежных вершинах, то задача становится неинтересной.

← →
Sandman29 © (2006-10-17 11:10) [6]

palva © (17.10.06 10:50) [5]

Вы правы. Теперь понял. Я почему-то решил, что прямогугольник должен захватывать вторую четверть.
Буду думать.

← →
palva © (2006-10-17 11:13) [7]

> Буду думать.
Сами вычисления уже не так интересны.

← →
TUser © (2006-10-17 16:03) [8]

Если на Ох лежит диагональ, то площадь может быть сколь угодно большой.

Две точки на оси - x1 и х2. Где-то на параболе в верхней полуплоскости лежит третья вершина (х0,3-х0^2). Очевидно, что площать однозначно определяется двумя из трех точек х0,х1,х2. Зафиксируем х0 и будем удалять х1 в минус бесконечность. Одна сторона прямоугольника будет бесконечно увеличиваться, а другая будет все время больше 3-х0^2. След-но площадь увеличивается.

Иначе, S=(3-x0^2)*(x2-x1), x0=const, x1->-inf => x2-x1->+inf, => S->+inf.

← →
palva © (2006-10-17 16:13) [9]

> TUser © (17.10.06 16:03) [8]

Что-то я не понял.
> будем удалять х1 в минус бесконечность
Но угол x1x0x2 все время должен быть прямым, а у вас он будет увеличиваться?

← →
TUser © (2006-10-17 16:38) [10]

Нет, я найду х2 по заданным х1 и х0 так, чтобы угол остался прямым. При этом чем больше х2, тем больше угол, это очевидно. Если х2=х0 то при фиксированном х1 угол меньше 90 (он будет прямым для бесконечно удаленной х1). Для того, чтобы угол был равен 90, надо x2 > x0. Могу картинку прислать.

← →
Sandman29 © (2006-10-17 16:40) [11]

TUser © (17.10.06 16:38) [10]

ИМХО лучше не картинку, а значения всех точек для x1=-1000

← →
palva © (2006-10-17 16:45) [12]

> Могу картинку прислать.
Пришлите, все равно туплю.

Вершины
x1=(-1000;0), x2=(9/1000;0); на параболе (0;3) и еще одна (9/1000-1000;-3)

x0=(0,0)

Площадь 3*(9/1000+1000)

еще одна (9/1000-1000;-3)

Это не на параболе.

http://monkey.belozersky.msu.ru/~evgeniy/task.jpg (70K)

Сканер не доступен, так что съемка мобильником :(

> Это не на параболе.

А где сказано, что все вершины должны быть или на параболе или на оси? Если так, то извиняюсь за невнимательность :(

Если в расчетах не ошибся, то получается прямоугольник 3.53x5.40 c площадью 19 с мелочью
Координаты вершин
-2.05, 0
-0.05,2.997
2.45, -2.997
4.445, 0

путь - задал центр(на оси OX), диагональ прямоугольника и угол между диагоналями
Из условия принадлежности двух несмежных вершин параболе выразил x-координату центра и диагональ через тангенс угла, далее площадь через диагональ и угол и т.д.

Еще раз про пончик Найти похожие ветки