Пятничные похождения Васи Пупкина и другие задачки ;)

← →
MBo © (2006-06-30 10:44) [0]

1. У Васи Пупкина есть лист толстой фанеры в виде прямоуг. равнобедренного треугольника
с катетами 1 м и плохонькая пила ;). Перед ним стоит задача с минимальными усилиями
распилить лист на две части равной площади.
Какова будет длина наименьшего прямого распила?
Можно ли улучшить результат, если распил будет не прямым?

2. Найти наименьшее нат. число такое, что если его последнюю цифру
переместить в начало (1234 -> 4123), результат будет больше начального числа,
и будет нацело делиться на него.

3. Вася Пупкин едет на мотоцикле под горку со скоростью 72 км/ч, по равнине-63,
в гору - 56 км/ч. Из Криводановки в Хацепетовку он доехал за 4 часа, а обратно
за 4 часа 40 минут. Какое расстояние между деревнями?

4. В ящике лежат цветные шары, причем число шаров каждого цвета одинаково.
Если добавить 20 шаров нового цвета, вероятность вытащить (без возврата)
пару шаров одинакового цвета не изменится.
Сколько шаров было в ящике?

5. Найти наименьшее нат. число, большее миллиарда, у которого имеется ровно
1000 делителей (учитывая 1 и само число, например, 9 в такой постановке имеет 3 делителя)

6. Последовательность из натуральных чисел задана рекуррентным соотношением
a[n+3] = a[n+2]*(a[n+1] + a[n]), для n = 1, 2, 3, ... .
Если a[6] = 8820, чему равно a[7] ?

8. Параллелепипед со сторонами a, b, c составлен из единичных кубиков.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых количество внутренних
кубиков равно количеству внешних кубиков?

9. Из последовательности нат. чисел n, n+1 ... m-1, m
случайно равновероятно без возврата выбирают три числа.
Чему равно мат.ожидание произведения трех выбранных чисел?

10. В Верхнеурюпинске, где живет Вася Пупкин, все улицы и площади замощены
квадратными плитами 1x1 м. Вася ходит таким образом, чтобы всегда наступать
точно в центр какой-нибудь плиты (больше чем на 1 м Вася шагать не умеет).
Во сколько раз эта особенность удлиняет Васин жизненный путь?

11. Есть 70 монет. 15 лежат вверх решкой, остальные - орлом.
В темноте нужно разделить все монеты на две группы так, чтобы количество
решек в обеих группах было одинаковым.

← →
McSimm © (2006-06-30 10:54) [1]

11. решаема ?
результат случайно не "по 45 решек в каждой группе" ?

← →
Ega23 © (2006-06-30 10:58) [2]

10. В sqrt(2) раз

← →
Desdechado © (2006-06-30 11:06) [3]

> 15 лежат вверх решкой
и
> на две группы так, чтобы количество решек в обеих группах было одинаковым
Раз нечетное пополам нельзя, то все монеты нужно перевернуть и тогда делить. Причем те 15 можно не делить.

← →
Кабан (2006-06-30 11:08) [4]

70 монет, по 45 решек это как :)

← →
Desdechado © (2006-06-30 11:10) [5]

10. если плиты поставлены ровно и Вася все время ходит по диагонали, то Ega23 © (30.06.06 10:58) [2]
если же ходит в основном по прямой, то зависит от конечных точек его перемещения.

> Васин жизненный путь
а это вообще не оценить, ибо ходьба - хорошо для здоровья, но формулы к продолжительности жизни нет

← →
MBo © (2006-06-30 11:20) [6]

>McSimm © (30.06.06 10:54) [1]
>11. решаема ?

Да, решаема

>Ega23 © (30.06.06 10:58) [2]
>10. В sqrt(2) раз

Нет.

>Desdechado © (30.06.06 11:10) [5]
>10. если плиты поставлены ровно и Вася все время ходит по диагонали,

Плиты ровно, а ходит - по всякому

← →
McSimm © (2006-06-30 11:21) [7]

> Кабан (30.06.06 11:08) [4]
>
> 70 монет, по 45 решек это как :)

это по кнопке не попал, 35, конечно

← →
Кабан (2006-06-30 11:21) [8]

11
разделить монеты на две группы 15 монет и 55 монет
в первой группе окажется x решек, во второй 15-x решек
перевернем все монеты первой группы, в ней окажется 15-x решек
15-x = 15-x

← →
Desdechado © (2006-06-30 11:24) [9]

11. все монеты лежат общей кучей или поделены по признаку орел-решка?

← →
For kaif (2006-06-30 11:26) [10]

6. 2469600

← →
For kaif (2006-06-30 11:46) [11]

4. 190

← →
Agent13 © (2006-06-30 12:15) [12]

3. 273 км

← →
For kaif (2006-06-30 12:15) [13]

2. 153846

← →
MBo © (2006-06-30 12:41) [14]

>Кабан (30.06.06 11:21) [8]
Верно

>For kaif (30.06.06 11:46) [11]
>4. 190
Верно

>Agent13 © (30.06.06 12:15) [12]
>3. 273 км
Верно

>For kaif (30.06.06 12:15) [13]
>2. 153846
Неверно. Как решал?

>For kaif (30.06.06 11:26) [10]
>6. 2469600
Верно. Это единственный вариант?

← →
For kaif (2006-06-30 12:53) [15]

>2. 153846
Неверно. Как решал?

Оптимизированным перебором. Нашел, что (10^n-a)*с должно делиться на 10a-1, где с от 2 до 9, а от 2 до 8.
Поэтому проверял остатки (10^n-2)/19, (10^n-3)/29, (10^n-4)/13 и т.д. для возрастающих n и a.
При n=5 и a=4 получилось целое.
Сейчас проверил для a=5, оказывается, следующее значение тоже делится и получается меньший результат. 142857. Последние 2 проверять лень :)

← →
MBo © (2006-06-30 12:56) [16]

>For kaif (30.06.06 12:53) [15]
Путь правильный, но наилучший результат все же где-то пропущен

← →
For kaif (2006-06-30 13:06) [17]

>6. 2469600
Верно. Это единственный вариант?

Да.

← →
For kaif (2006-06-30 13:06) [18]

MBo © (30.06.06 12:56) [16]

Понятно, спасибо. Искать не буду - не люблю рутинную работу без стимула.

← →
default © (2006-06-30 17:07) [19]

1. sqrt(2)/2

← →
TJulia © (2006-06-30 19:45) [20]

5. 8890560000

← →
Alx2 © (2006-06-30 20:38) [21]

2.
025641*4=102564 :)
102564*4=410256

← →
Alx2 © (2006-06-30 21:15) [22]

1. Длина для прямого распила: sqrt(sqrt(2)-1) ~ 0.6436

Для непрямого еще смотрю :)

← →
Alx2 © (2006-06-30 21:44) [23]

> [22] Alx2 © (30.06.06 21:15)
> Для непрямого еще смотрю :)

Посмотрел. Экстремалями по длине являются прямые. Получается, что кривой распил хуже прямого.

← →
Alx2 © (2006-07-01 13:09) [24]

8. 60, не считая симметрий.

← →
Alx2 © (2006-07-01 13:11) [25]

8. Сорри. 58.

← →
MBo © (2006-07-01 13:24) [26]

>TJulia © (30.06.06 19:45) [20]
>5. 8890560000
Неверно

>Alx2 © (30.06.06 20:38) [21]
> 2. 102564*4=410256

Да

>Alx2 © (30.06.06 21:15) [22]
>1. Длина для прямого распила: sqrt(sqrt(2)-1) ~ 0.6436
Верно

>Alx2 © (01.07.06 13:09) [24]
>8. 60, не считая симметрий.
>8. Сорри. 58.
Нет
нет.

>Alx2 © (30.06.06 21:44) [23]
>Посмотрел. Экстремалями по длине являются прямые. Получается, что кривой распил хуже прямого.

Хинт - не помнишь задачу о складной ширме в углу, которой надо было отгородить наибольшую площадь?

← →
Agent13 © (2006-07-01 15:00) [27]

5. 3056130000

← →
MBo © (2006-07-01 15:45) [28]

>Agent13 © (01.07.06 15:00) [27]
>5. 3056130000

Неа, есть еще меньше ;)

> [26] MBo © (01.07.06 13:24)

1. Наименьшая длина для двухзвенной ломанной:
sqrt(sqrt(4+2*sqrt(2))-sqrt(2)-1) ~ 0.446

Ломанная начинается по катету от прямого угла на расстоянии
1-1/2*(4+2*sqrt(2))^(1/4) ~ 0.192
доходит до точки с координатами (0.3093, 0.2533) (считая началом координат прямой угол)
а далее идет на гипотенузу и пересекается с ней при x=0.57152

> Неа, есть еще меньше ;)

Будем искать :)

> [26] MBo © (01.07.06 13:24)
1.
Хотя в первой окружность должна быть оптимумом. Длина тогда 1/4*sqrt(2*Pi) ~ 0.63

Наверное, обсчитался где-то.

> [31] Alx2 © (01.07.06 15:59)

Нашел ошибку. Итак, оптимум, если пилим по окружности с центром в остром угле и радиусом sqrt(2/Pi).
Тогда длина распила равна 1/4*sqrt(2*Pi) ~ 0.6266570685
Если резать по двухзвенной ломанной, то длина распила равна 0.6307334892, что хуже, чем по окружности.
Оптимальность, видимо, следует из свойства окружности иметь максимальную площадь при минимуме длины. :)

8. Не все симметрии учел. Еще выкинулось. Осталось всего 20.

>Agent13 © (01.07.06 15:53) [30]
>Будем искать :)
А как ищешь? Если нащупать верный способ, то перебор будет минимальным.

>Alx2 © (01.07.06 16:31) [33]
>8. Не все симметрии учел. Еще выкинулось. Осталось всего 20.
Верно

>Alx2 © (01.07.06 16:06) [32]
Ага. Это хорошо видно при симметричном расположении 8 треугольников(острым углом в центр), образующих квадрат

5. 1060290000. Пусть tau(n) - количество делителей n. Тогда tau(p^n)=n+1, гле p - простое. Кроме того, tau(p1^n1*p2^n2)=(n1+1)*(n2+1), p1 и p2 - простые. Из этих соображений решается задачка. Но не уверен, что нет еще ближе к миллиарду :)

9. (n+n+1+n+2+..+m)^3 - после раскрытия скобок получится сумма всевозможных произведений. Количество слагаемых есть (m-n+1)^3
Отсюда мат. ожидаение = ((n+n+1+n+2+..+m)/(m-n+1))^3 = 1/8*(n+m)^3

9. Без возврата. Значит, каждое число повторяется только один раз.
Отсюда из всевозможных троек (n+n+1+n+2+..+m)^3 выкидываем все тройки, где числа встречаются два раза и три раза.
Получаем сумму:
(n+n+1+n+2+..+m)^3 - 3*(n^2+(n+1)^2+..+m^2)*(n+n+1+n+2+..+m)+2*(n^3+(n+1)^3+..+m^3)=1/8*(m^2-n^2)*((n-m)^2-1)*((n+m)^2+n-m-2);
Слагаемых в такой сумме - (число сочетаний из m-n+1 по 3)*3!
После сокращений, получается матожидание:
1/8*((n+m)^2+n-m-2)*(n+m)

>Alx2 © (01.07.06 18:23) [39]
>После сокращений, получается матожидание:
1/8*((n+m)^2+n-m-2)*(n+m)

Ну ты навалился на задачи, зверюга ;))
Верно.

Пятничные похождения Васи Пупкина и другие задачки ;) Найти похожие ветки