Пятничные похождения Васи Пупкина и другие задачки ;)

← →
MBo © (2006-07-01 18:42) [40]

>Alx2 © (01.07.06 18:23) [39]
>После сокращений, получается матожидание:
1/8*((n+m)^2+n-m-2)*(n+m)

Ну ты навалился на задачи, зверюга ;))
Верно.

← →
Alx2 © (2006-07-01 18:45) [41]

> [40] MBo © (01.07.06 18:42)

:))

Кажется, осталась только задачка про жизненный путь Васи?

← →
Alx2 © (2006-07-01 19:17) [42]

10. Вася ходит только по ломанной, звенья которой находятся под прямым углом. Рискну предположить, что в среднем "жизненный путь" удлинится в столько раз, во сколько кратчайшая ломанная длиньше прямого пути.
Пусть m,n - взаимнопростые числа.
Тогда Вася идет m звеньев, потом поворачивает и идет n звеньев. Итого, он пройдет m+n меторов на маршрут, требующий sqrt(m^2+n^2) метров.
Рассмотрим всевозможные пути, начиная от горизонтального, заканчивая путем под 45 градусов (m=n).
Отношение путей будет (m+n)/sqrt(m^2+n^2).
Возьмем в качестве n громадное простое число.
Тогда всевозможные дороги, пройденные Васей есть сумма k+n, k = 1..n
Всевозможные прямые пути есть сумма sqrt(k^2+n^2), k = 1..n
Отношение Васиной дороги к прямой дороге асимптотически (при n->infinity) есть величина
3/(sqrt(2)+ln(1+sqrt(2))) ~ 1.31

Итак, Вася в среднем ходит в 1.31 раза больше, чем в отсутствие чудачеств.

← →
Alx2 © (2006-07-01 19:38) [43]

10.
В посте [42] ошибка. Не учел, что точки неравномерно располагаются. Поэтому среднее завышено.
Равномерное расположение точек даст окружность.

Пусть конечная цель путешествия лежит на окружности радиуса R.
Рассматриваем первую четверть.
Разобъем ее на N частей.
Тогда
x(k) = R*cos(Pi/2*k/N) - координата конечной цели по x
y(k) = R*sin(Pi/2*k/N) - координата конечной цели по y

Отношение путей есть сумма x(k)+y(k), k =0..N
к общей длине коротких путей = R*(N+1)

Это отношение равно 4/Pi ~ 1.27

(Нецелочисленность x и y можно компенсировать достаточно большим специальным значением R, которое все равно потом "уходит". )

Ответ к 10:
Увеличится в 4/Pi раз.

>Ответ к 10:
>Увеличится в 4/Pi раз.

Точно.

Пятничные похождения Васи Пупкина и другие задачки ;) Найти похожие ветки