Математики, ау!

← →
boalse © (2006-05-08 15:05) [0]

Есть уравнение. У него может быть корень кратности 1, конень кратности 2, кратности N. Что такое кратность корня?
Яндекс мне не друг, к сожалению.

← →
boalse © (2006-05-08 15:10) [1]

Если не сложно, объясните на примерах.

← →
Юрий Зотов © (2006-05-08 15:10) [2]

Полином имеет столько корней, какова его степень, но значения корней могут совпадать. Например, уравнение X^2=0 имеет не один, а два корня, но их значения совпадают. В таких случаях говорят, что уравнение имеет один корень, но его кратность равна двум.

См. также метод интервалов, метод "бантиков".

← →
KilkennyCat © (2006-05-08 15:11) [3]

найдено в яндексе:

http://yurae.boom.ru/MSU/bakbio/2004/04.pdf

← →
Axis_of_Evil © (2006-05-08 15:49) [4]

а какова кратность корня в уравнении
x^Pi = 0
?

Pi?

← →
palva © (2006-05-08 16:08) [5]

У уравнения не бывает кратности корня IMHO.
Кратность корня бывает у многочлена или у уравнения, где слева стоит многочлен, а справа нуль.

← →
ferr © (2006-05-08 16:11) [6]

> Полином имеет столько корней, какова его степень, но
> значения корней могут совпадать.

Смотря над каким полем рассматривать.

← →
TJulia © (2006-05-08 19:13) [7]

Так будет над любым алгебраически замкнутым полем. Например, над полем комплексных чисел.

← →
ArtemESC © (2006-05-08 19:28) [8]

boalse © (08.05.06 15:05)
Кратность корня имеет смысл только для многочленов
предположим у тебя есть многочлен
1) 2*X^2 - 3*X + 1 = 0 (взял попроще (^ - возведение в степень))
2) Раскладываем на множители
(X - 1)^1 * (X - 1/2)^1 = 0
3) Корень 1 встречается в этом разложении один раз, значит
кратность этого корня = 1,
аналогично если бы было ( X - 1)^N * ... = 0, то кратность корня 1 = N...
Ясно?

← →
palva © (2006-05-08 20:48) [9]

Кратность корня (степень нуля) можно обобщить с многочленов на некоторый, более широкий класс функций. Скажем, функция
f(x) = exp(x)*(x-1)^2
имеет нуль в точке 1. Если мы разделим эту функцию на функцию (x-1) то результат также будет иметь нуль в точке 1. И только если мы еще раз разделим ее на (x-1) то получившаяся функция уже не будет иметь нуль в точке 1. Нам понадобилось делить два раза, поэтому нуль в этой точке имеет степень два.
Если эту функцию разложить в точке 1 в ряд Тейлора (то есть по степеням x-1) то коэффициент у нулевой степени будет 0. Наименьшая степень с ненулевым коэффициентом и будет степенью нуля.

← →
boalse © (2006-05-09 07:34) [10]

Огромное спасибо. Преподу как-то писал письмо с таким вопросом, он эго проигнорировал, видимо посчитал слишком простым :)

← →
boalse © (2006-05-09 08:06) [11]

В учебном пособии сказано, что для функции sin(z-3)-(z-3) точка z=3 является нулём порядка 3. Ну, я 2 порядка вижу, а где третий? Неужели для sin(x-3) точка 3 - есть ноль порядка 2?

← →
TUser © (2006-05-09 09:43) [12]

Синус видать два раза считают. Ведь Sin х = 0.5 - у него два решения, с точностью до пи эн. В нуле тогда тоже два, только совпадающих.

← →
palva © (2006-05-09 10:37) [13]

boalse © (09.05.06 08:06) [11]
Ну а что тут такого? Раскладываем sin(z-3)-(z-3) в степенной ряд в точке 3. Нас интересует первый ненулевой член.
Производная 0. sin(z-3)-(z-3) в точке 3 = 0
Производная 1. cos(z-3) - 1 в точке 3 = 0
Производная 2. -sin(z-3) в точке 3 = 0
Производная 3. -cos(z-3) в точке 3 <> 0 Значит, степень 3

Очень подробно эту премудрость изучают в курсе ТФКП, там где обсуждаются нули и полюсы функций, ряды Тейлора, Лорана и т. д.

← →
palva © (2006-05-09 10:38) [14]

> Нас интересует первый ненулевой член
Вернее, его номер.

← →
grisme © (2006-05-09 10:40) [15]

Axis_of_Evil © (08.05.06 15:49) [4]
У этого уравнения один корень - x=0.
Поэтому кратность = 1.)

← →
palva © (2006-05-09 10:52) [16]

grisme © (09.05.06 10:40) [15]
К функции x^Pi в точке 0 эта теория неприменима, поскольку функция не раскладывается в данной точке в степенной ряд (здесь логарифмическая точка ветвления). Но, наверно, можно придумать какую-нибудь другую теорию...

← →
TJulia © (2006-05-09 10:58) [17]

Если сама функция и все ее производныэ до n-го порядка в данной точке равны 0, а производная порядка n+1 не равна 0, то данная точка - нуль порядка n+1.

f(z)=sin(z-3)-(z-3), f(3)=0

f"(z)=cos(z-3)-1, f"(3)=0

f""(z)=-sin(z-3), f""(3)=0

f"""(z)=-cos(z-3), f"""(3)=-1

Значит, z=3 - нуль порядка 3.

← →
grisme © (2006-05-09 10:59) [18]

К функции x^Pi в точке 0 эта теория неприменима, поскольку функция не раскладывается в данной точке в степенной ряд

а здесь обязательно разложение в степенной ряд?!=O

← →
palva © (2006-05-09 11:27) [19]

> а здесь обязательно разложение в степенной ряд?
Ничего обязательного нет. Как мы дадим определение, так и будет. См. напр. TJulia © (09.05.06 10:58) [17]

← →
grisme © (2006-05-09 11:37) [20]

ясно..

Да вы че, термин кратность корня определена только для полиномов...
P(x) = a[n]*x^N+a[n-1]*x^(N - 1) + ... a[0], N - только натуральное (1, 2, 3 ... ).

>Очень подробно эту премудрость изучают в курсе ТФКП, там где
>обсуждаются нули и полюсы функций, ряды Тейлора, Лорана и т. д.

Уже месяц пытаюсь изучать ряды Тейлора и Лорана но ничего подобного не знал, спасибо. Наверное, это само сабой разумеющееся и господа профессора не сочли нужным заострять на этом внимание в учебном пособии.

Может мне тогда ещё кто-нибудь подскажет, как разложить функцию в ряд Лорана? Есть конкретный алгоритм? С Тейлором всё понятно, берём производную, пока не надоест и делим каждый раз на факториал n.

Кстати, в слове Лоран, на какой слог ударение падает?

>Да вы че, термин кратность корня определена только для полиномов...
Я тоже раньше думал, что вокруг действительные числа, оказывается, это лишь частный случай комплексных :)

boalse © (09.05.06 14:48) [22]
> Есть конкретный алгоритм?
Конкретный алгоритм дает Теорема ЛорАна, которая выражает коэффициент разложения через контурный интеграл. Но этот алгоритм слишком конкретный. Обычно ограничивают рассмотрение случаем полюса, т. е. когда функция f(z) стремится к бесконечности при приближении к точке z0, но можно подобрать такое целое n, что функция f(z)(z-z0)^n уже не равна бесконечности в точке z0. Эту домноженную функцию раскладывают по Тейлору в точке z0, а потом, чтобы вернуться к исходной функции f(z) все степенные коэффициенты при (z-z0) уменьшают на n. Получается лорановское разложение. Например, функция sin(z)/z^4 в нуле (при z0=0) будет иметь разложение
z^(-3) - (1/3!)z^(-1) + (1/5!)z^1 - (1/7!)z^3 + ...
Если для функции f(z) требуемое целое n подобрать не удается, то точку z0 называют "существенно особой" и никакой хорошей теории для этого случая (кроме теоремы Сохоцкого) нам не преподавали (я не помню, по крайней мере). Но если покопаться в литературе...

> Я тоже раньше думал, что вокруг действительные числа, оказывается, это лишь частный случай комплексных :)
Это как африканский студент только в Москве обнаружил, что бывают отрицательные числа на градуснике.

> Кстати, в слове Лоран, на какой слог ударение падает?

На последний.

boalse © (09.05.06 14:49) [23]
Я тоже думал, что действительный числа частный случай комплексных,
оказалось комплексные - частный случай кватернионов...

ArtemESC © (09.05.06 20:43) [27]
посмотрел я на определение этого кватерниона и понял, что это еще не предел. можно и квинтинионы придумать и сикстинионы и далее со всеми остановками :-))))

> можно и квинтинионы придумать
Теорема Фробениуса говорит, что этого сделать нельзя.
Во-первых осмысленная конструкция получается только при удвоении размерности. То есть комплексные числа имеют (вещественную) размерность 2, кватернионы - 4. Придуманы еще "октавы Кэли" - размерность 8. В этой системе 1 реальная единица и 7 мнимых (i,j,k,E,I,J,K).
Во-вторых, при каждом удвоении мы что-то теряем:
При переходе от вещественных к комплексным потеряли свойство больше-меньше.
При переходе к кватернионам потеряли коммутативность умножения.
При переходе к октавам потеряли ассоциативность умножения.

Теорема Фробениуса и утверждает, что расширить без потерь невозможно.

Математики, ау! Найти похожие ветки