Метод решения уравнения

← →
Gero © (2006-04-06 22:05) [0]

Имеется уравнение: X * Y = X + Y + 2004
Нужно найти все возможные целые неотрицательные пары X и Y.
Существует ли какой-либо метод решения этой задачи, кроме последовательного перебора?

P.S: Задание было на вступительных экзаменах в ВУЗ у одного моего знакомого, в группе его не решил никто.

P.P.S: Понятно, что при наличии компьютера решатся за считанные минуты.

← →
Rial © (2006-04-06 22:41) [1]

Да вроде бы и так перебирать то вариантов нужно всего лишь 44,
для увеличения скорости нужно учесть, что
X+2004=Y*A
Y+2004=X*B
где A и B в свою очередь тоже целые.
Ну а аналитическое решение вряд ли существует ...

← →
Думкин © (2006-04-07 05:29) [2]

(x-1)*(y-1)=5*401

← →
Думкин © (2006-04-07 05:51) [3]

> Задание было на вступительных экзаменах в ВУЗ у одного моего
> знакомого, в группе его не решил никто.

Без комментиариев. :(

← →
jack128 © (2006-04-07 10:27) [4]

Думкин © (07.04.06 5:29) [2]
Дим, никто и не сомнивался, что проф математик решит эту задачку на раз-два-три. Но есть сомнения, что обычный школьник без натаскивания на такого рода задачи сможет их решить, уж тем более на экзамене, в стрессовой ситуации..

← →
Думкин © (2006-04-07 10:36) [5]

> jack128 © (07.04.06 10:27) [4]

0. Проф. Но уже лет 10 никак нет.
1. Где в решении той задачи натаскивание?
2. Там есть и другой ход - для очень тугодумных школьников более простой.
3. Не умеющий решить такую задачу и пртендующий на околоматематическую специальность в ВУЗе - отсеивается.
4. В чем я не прав?

← →
TUser © (2006-04-07 11:02) [6]

> Но есть сомнения, что обычный школьник без натаскивания на такого рода задачи сможет их решить

А почему без натаскивания? Если это серьезный ВУЗ, например хороший технический, и там есть вступительная математика, - то именно на такие задачи и натаскивают абитериентов.

← →
Jeer © (2006-04-07 11:06) [7]

Думкин © (07.04.06 10:36) [5]

Прав, прав.
Это элементарная задачка.
Вот из той же серии
X^3-3X^2-16X+48=0

Хотя в общем случае, решение ур-ний n>=5 в радикалах, в том числе и в целых числах не имеет методов, насколько помню доказано Абелем и Галуа.

← →
xayam © (2006-04-07 11:09) [8]

> кроме последовательного перебора

...еще графический способ есть, самый простой и эффективный в большинстве случаев

← →
Jeer © (2006-04-07 11:12) [9]

xayam © (07.04.06 11:09) [8]

Ну да, еще можно ноутбук брать на экзамен и численными давить:)

← →
McSimm © (2006-04-07 11:13) [10]

> 5*401

-1

← →
jack128 © (2006-04-07 11:16) [11]

TUser © (07.04.06 11:02) [6]
так с натаскиванием - конечно легко решается.

Думкин © (07.04.06 10:36) [5]
0. Проф. Но уже лет 10 никак нет.
Ну... "Талант не пропьешь"(c)..
Думкин © (07.04.06 10:36) [5]
1. Где в решении той задачи натаскивание?
до этого решения нужно додуматься. Решение для обычного школьника совсем не очевидное..
Думкин © (07.04.06 10:36) [5]
2. Там есть и другой ход - для очень тугодумных школьников более простой
вполне возможно..
Думкин © (07.04.06 10:36) [5]
3. Не умеющий решить такую задачу и пртендующий на околоматематическую специальность в ВУЗе - отсеивается.
математику у нас сдают на вступительных даже физкультурники..
Думкин © (07.04.06 10:36) [5]
4. В чем я не прав?
в категоричном отношении.

McSimm © (07.04.06 11:13) [10]
не-а. Единицу на разлощение на множетели изъяли..

← →
jack128 © (2006-04-07 11:19) [12]

Jeer © (07.04.06 11:06) [7]
ну и? Вот решение этой задачи я увидел сразу. Мгновенно. Почему? А потому что выше Думкин привел решение аналогичной задачи.

← →
Vlad433 © (2006-04-07 11:23) [13]

Из предыдущих выступлений видно корни 6 и 402 (все равно x или y).
А какие другие решения ? Извиняюсь за тупость...

← →
McSimm © (2006-04-07 11:25) [14]

> Единицу на разлощение на множетели изъяли..

да, это я проглючил :)

← →
McSimm © (2006-04-07 11:30) [15]

Все-таки задачка немного на смекалку, хотя именно за них я и любил математику

← →
Jeer © (2006-04-07 11:36) [16]

jack128 © (07.04.06 11:19) [12]

Потому, что метод группировки в элементарной школе преподается.
А правило "уравнение не изменится, если к левой и правой частям прибавить по одинаковому члену" - даже мартышки знают.

← →
Sandman25 © (2006-04-07 11:44) [17]

Я бы, наверное, до решения Думкина не допер. Решил бы подбором, а потом доказал, что решение одно (кроме симметричного, конечно).
F(x,y)=xy-x-y-2004
Производная по x F"=y-1, при y>1 функция возрастает.
Аналогично по y.

← →
Jeer © (2006-04-07 11:45) [18]

McSimm © (07.04.06 11:30) [15]

Скорее - на логику, без которой в математике нечего делать.

← →
Sandman25 © (2006-04-07 11:46) [19]

Jeer © (07.04.06 11:36) [16]

Согласен, преподается. Мне раньше даже нравилось добавлять и вычитать одинаковое значение, для выделения полных квадратов и пр.

← →
Jeer © (2006-04-07 11:47) [20]

Sandman25 © (07.04.06 11:44) [17]

Для решения некоторых классов ур-ний в целых числах существуют некоторые методы (метод цепных дробей, например), вполне доступные старшекурснику, тем более, готовящемуся к поступлению во ВТУЗ

← →
Sandman25 © (2006-04-07 11:48) [21]

Н-да, мое решение было бы неправильным. Ведь вместо 5*401 могло быть 2^10 и куча решений :(

← →
Sandman25 © (2006-04-07 11:49) [22]

Jeer © (07.04.06 11:47) [20]

Понятно

← →
McSimm © (2006-04-07 11:55) [23]

Очень часто простое и красивое решение кажется очевидным, после того как его узнаешь.
И хлопаешь себя по-лбу, блин, ну это же элементарно.
-----
Я кажется когда-то давно рассказывал, как один профессор решал задачку на вероятности. Из жизни - предложили на паре.
Задачка решается элементарно, но это надо было сообразить. Не сообразил, стал решать очень мудреными формулами, ряды и прочее и, кажется, зашел в тупик. Когда объяснили - смеялись.
--
Если интересно:
Одному правителю в связи с напряженной обстановкой с соседями вздумалось увеличить процент мужского населения. Был издан указ - в каждой семье можно иметь неограниченное количество детей, но после рождения первой же девочки детей больше быть не должно под страхом казни.
При условии, что закон этот соблюдался беспрекословно, т.е. в любой семье не рождалось ребенка после рождения девочки, какое соотношение полов рождаемых детей будет в стране, вероятность появления ребенка любого пола по условию 0.5

← →
Думкин © (2006-04-07 11:59) [24]

> McSimm © (07.04.06 11:13) [10]
>
> > 5*401
>
> -1

Поясни. Честно - не вник. 1 не взял - ну настолько в идиоты абитуру не записываю. Или уже пора?

> jack128 © (07.04.06 11:16) [11]
> TUser © (07.04.06 11:02) [6]
> так с натаскиванием - конечно легко решается.

Если уже и это натаскивание, то я датский кролик. Думать==натаскивать. Шиза определенно косит чьи-то ряды.

0. Проф. Но уже лет 10 никак нет.
> Ну... "Талант не пропьешь"(c)..

Сарказма не уловил. уровня профессиональности тоже.

1. Где в решении той задачи натаскивание?
> до этого решения нужно додуматься. Решение для обычного
> школьника совсем не очевидное..

Не очевидно? Пусть подметает дворы - надеюсь с этим он справится. Но в околоматематических специальностях - ему путь закрыт. Самим собой - в неуменни решить тривиальнейшую сабжевую задачу.

2. Там есть и другой ход - для очень тугодумных школьников
> более простой
> вполне возможно..

Не возможно. а факт. Иначе мы задачу Ньютона о коровах начнем вучебники академиков заносить. запретив ее в Перельмане.

3. Не умеющий решить такую задачу и пртендующий на околоматематическую
> специальность в ВУЗе - отсеивается.
> математику у нас сдают на вступительных даже физкультурники.

Эьто проблемы физкултурников. пусть не сдают. а если не могут - пусть не подтягиваются. :) Возражения не понял.

4. В чем я не прав?
> в категоричном отношении.

2*2=4 Категорично. но почему то я все-таки опять прав.

McSimm © (07.04.06 11:30) [15]
Нет. Я как и писал - там есть и еще одно решение. Более длинное, но абсолютно0-тривиально логичное. кстати. в решении этой задачи. самое длинное мое вычисление - это доказательство того, что 401 - простое число. Все остальное, для того кто решал в школе задачт. а не .... матом. Дима успокойся... это тривиальщина.

Sandman25 © (07.04.06 11:44) [17] Я бы, наверное, до решения Думкина не допер.
? Это не делает чести твоим 10 баллам. значит у меня бы было минимум 12. пустое. И не только у меня но и у остальных. а у тебя - 10. :о) Смяшно.

← →
Думкин © (2006-04-07 12:00) [25]

Да нет там методов. Там 2=2=4. Методы. детсад.

← →
Sandman25 © (2006-04-07 12:06) [26]

Думкин © (07.04.06 11:59) [24]

Конечно, смейся. А я лучше порадуюсь, что мой мозг в первую очередь забывает неиспользуемую годами информацию, а не то, как меня зовут и какой рабочий номер телефона.

← →
Jeer © (2006-04-07 12:07) [27]

Думкин © (07.04.06 12:00) [25]

В предложенной - да.
А вот для общего решения
a*x+b*y+c=0
метод цепных дробей в самый раз.

← →
McSimm © (2006-04-07 12:21) [28]

> Поясни. Честно - не вник.

Это я протормозил.

> Sandman25 © (07.04.06 12:06) [26]

Информации. Это так сейчас называется.

1. в понедельник всегда идет дождь
2. сегодня понедельник

откуда следует:

3. сегодня идет дождь

современные тебе школьники с 10 баллами зарезервированными для гениев считают сие информацией и не более? Я пас.

У задачи только одна пара корней?

Думкин © (07.04.06 12:24) [29]

Если ты не можешь отличить имманентную здоровым на голову людям логику от передаваемого обучением метода разложения на множителя, то это не мои проблемы.

> X * Y = X + Y + 2004

В общем грустно это все. Покажу как это решается напрямую, хотя для настоящего решения мне хватило 15 секунд. Моей жене 16. Ну я все-таки муж.
Имеем.
X * Y = X + Y + 2004
Попробуем выразить Х через У. Имеем:
Х*(У-1)=У+2004
Х=У/(У-1)+2004/(У-1)
Х=У/(У-1)+2004/(У-1) + 1/(У-1)-1/(У-1)
Х= 1-2005/(У-1)
Далее из условия имеем:

> целые неотрицательные

Откуда получаем, что 2005 должно делиться нацело на (У-1)
Дальше продолжать? Или совсем "охренели" с современными компьютерами?

Похожие задачки я видел на олимпиадах для 7-х классов, решались на ура.

>Попробуем выразить Х через У.

Почему, зачем?

Извини, но после этого ты - дурак. не более.

Замени на нормальный человек, и я соглашусь.

> Sandman25 © (07.04.06 12:38) [36]

А почему я воду из одной трубы называю Х а не У? И скорость лодки вниз по рек принимаю за Х? Ну идиота то строить не надо.

McSimm © (07.04.06 11:55) [23]

При условии, что закон этот соблюдался беспрекословно, т.е. в любой семье не рождалось ребенка после рождения девочки, какое соотношение полов рождаемых детей будет в стране, вероятность появления ребенка любого пола по условию 0.5

1 к 1? :)

Sandman25 © (07.04.06 12:06) [26]

"Дурака лелеют, дурака заботливо
взращивают, дурака удобряют... Дурак стал нормой, еще
немного - и дурак станет идеалом, и доктора философии
заведут вокруг него восторженные хороводы. А газеты водят
хороводы уже сейчас. Ах, какой ты у нас славный, дурак! Ах,
какой ты бодрый и здоровый, дурак! Ах, какой ты
оптимистический, дурак, и какой ты, дурак, умный, какое у
тебя тонкое чувство юмора, и как ты ловко решаешь
кроссворды!.. Ты, главное, только не волнуйся, дурак, все
так хорошо, все так отлично, и наука к твоим услугам,
дурак, и литература, чтобы тебе было весело, дурак, и ни о
чем не надо думать..."

Метод решения уравнения Найти похожие ветки