Метод градиента

← →
Kair (2004-01-09 12:05) [0]

Метод градиента

Чета не знаю как программу сделать по описанному ниже алгоритму.
Помогите... Если возможно, то дайте программу по данному методу...
Вот теория:

(dF/dXj)^2 < eps (1)
F(X(k+1))<F(X(k)) (2)

МЕТОД ГРАДИЕНТА

Как уже говорит само название метода, в нем используется градиент
целевой функции. В отличии от рассмотренного выше метода релаксации
в методе градиента в методе градиента шаги совершаются в направле-
нии наибыстрейшего уменьшения целевой функции, что, естественно,
ускоряет процесс поиска оптимума. Поиск оптимума при использовании
метода градиента также производится в два этапа.На первом находятся
значения частных производных по всем независимым переменным,которые
определяют направление градиента в рассматриваемой точке. На втором
этапе осуществляется шаг в направлении, обратном направлению гради-
ента, т.е. в направлении наибыстрейшего убывания целевой функции.
При выполнении шага одновременно изменяются значения всех независи-
мых переменных. Каждая из них получает приращение, пропорциональное
соответствующей составляющей градиента по данной оси.

По существу в методе градиента применяется та же информация о це-
левой функции, что и в методе релаксации при выборе осевого направ-
ления, однако спуск производится оптимально.

Алгоритм градиентного метода может быть записан следующим образом

Xj(k+1) = Xj(k) - h(0)*[dF(X(k))/dXj] (3)

В этом случае величина шага vXj(k) при постоянном значении пара-
метра h(0) изменяется автоматически в соответствии с изменением аб-
солютной величины градиента. Длина шага определяется выражением:

vXj(k) = - h(0)*[dF(X(k))/dXj] (4)

Алгоритм (3) обладает тем достоинством, что при приближении к опти-
муму длина шага vXj(k) автоматически уменьшается.

Момент окончания поиска определяется по выполнению некоторых
предварительно заданных условий. Один из вариантов окончания поиска
заключается в проверке на каждом шаге соотношения (1).

Алгоритм поиска оптимума целевой функции методом градиента при
выполнении лабораторной работы следующий:

1.Задаются координаты начальной точки: X1, X2.
2.Определяются частные производные в начальной точке:
dX10 = F"X1(X10, X20), dX20 = F"X2(X10, X20)
3.Определяется направление градиента и находятся координаты сле-
дующей точки X11, X21 по (3-4). Величину шага можно принять
равной h(0) = 1.
4.Определяются частные производные в следующей точке:
dX11 = F"X1(X11,X21), dX22 = F"X2(X11,X21)
5.Проверяется условие окончания поиска по (1). Точность поиска
принять равной 0.05. Если это условие выполняется для каждой
частной производной в найденной точке, то поиск прекращается,
если нет, то вычисления продолжаются с пункта 3.

Че за координаты начальной точки X1, X2? В других методах задавался интервал на прямой [A,B]. А тут - координаты.
Не понимаю как решать эту часть: dX10 = F"X1(X10, X20), dX20 = F"X2(X10, X20)
И че за X10, X20, откуда они взялись-то?

← →
Nikolay M. (2004-01-09 12:23) [1]

> че за X10, X20, откуда они взялись-то

Думаю, в п.1. вкралась неточность: не X1, X2, а X10, X20 - начальные условия.

Метод градиента Найти похожие ветки