Пятничные задачки. Не дай мозгам засохнуть

← →
MBo © (2005-09-30 08:19) [0]

1. На симпозиум прибыло N ученых. Они получили номера от 1 до N.
Правила расселения не позволяют определить в одну комнату ученых,
чьи номера образуют тройки вида a,b,a+b и пары вида a,2*a.
Какое число ученых можно разместить в четырех комнатах?

2. Васе и Пете задали задачку:
"В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого
угла.
В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Hайти их
радиусы."
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.
У Васи получились ответы 3 и sqrt(3), а у Пети - 2 и sqrt(2).
Кто из них ошибся?

3. Миллион водомерок разбежались из одной точки на берегу реки в различных
направлениях, с постоянной скоростью V (вектор) относительно воды.
Скорость течения u линейно растет с расстоянием х от берега: u=k*x.
Какую геометрическую фигуру будут образовывать водомерки в
некоторый момент времени t?

4. Мустафа и Али торговали верблюдами, как-то
они решили продать своих животных и впредь
торговать баранами. Они привели своих верблюдов
на рынок и получили за каждого верблюда количе-
ство динаров, равное общему числу проданных вер-
блюдов, На эти деньги они купили баранов по 10
динаров за каждого и козла.
На пути домой они поругались и решили поде-
лить баранов, но обнаружили, что один баран лиш-
ний. Тогда Али взял себе этого барана и отдал
Мустафе козла. <Но у меня меньше, чем у тебя, -
сказал Мустафа - потому что козел стоит дешевле
барана>.
<Хорошо. - ответил Али, - чтобы уравнять на-
ше богатство, я тебе отдам одну из моих жен>.
Во сколько оценил Али свою жену?

5. Миша бросил кубик просто так. А Гриша предварительно три раза
на него поплевал. Вероятность того, что он таки выбросит больше очков
чем Миша, больше или меньше 1/2 ?

6. На окружности N занумерованных точек. Сколько существует способов
провести хорды между точками так, чтобы никакие две хорды не пересекались
(в том числе и концами). Замечу, что не обязательно проводить все
возможные хорды, то есть, отсутствие хорд тоже является вариантом.
N=1 - 1
N=2 - 2
N=3 - 4
N=4 - 9
Дальше?

7. Электронные часы состоят из 4-х 7-сегментных индикаторов.
Один сегмент потребляет 1 мВт. Каково среднее потребление часов?

8. С высоты H бросают тело с начальной скоростью v.
Под каким углом a к горизонту следует бросить тело,
чтобы горизонтальное перемещение было максимальным?

9. Колесо радиусом 1 катится по ровной дороге. В ободе колеса гвоздь.
Найти радиус кривизны кривой, по которой он движется, в верхней точке.

10. Какой должна быть форма дороги, чтобы квадратное колесо "гладко" катилось по ней?
Т.е. чтобы ось колеса, проходящая через центр квадрата, не испытывала вертикальных колебаний.

11. На окружность бросаются случайным образом три точки А, В и С.
Какова вероятность того, что треугольник АВС - остроугольный?

12. Бактерия делится пополам раз в сутки. Амеба тоже делится раз в сутки,
но перед этим съедает бактерию. В сосуд с N бактерий бросили амебу. Что произойдет?

← →
SergP. (2005-09-30 09:23) [1]

> 11. На окружность бросаются случайным образом три точки
> А, В и С.
> Какова вероятность того, что треугольник АВС - остроугольный?
>

Странно, но у меня почему-то получается 2*интеграл [от 0 до 1/2] X*dX

т.е 1/4 или 0,25

← →
wal © (2005-09-30 09:48) [2]

5. Меньше 1/2

← →
Кабан (2005-09-30 09:54) [3]

5. Смотря на какую сторону он плюнул, если на 1, то есть вероятность того, что кубик прилипнет этой стороной к поверхности и выпадет 6-ка, тогда больше 1/2
Если считать, что он плевал на случайные стороны - то меньше 1/2

← →
wal © (2005-09-30 09:54) [4]

7. Хочу уточнений
а) часы крутятся через 12 или 24 часа?
б) незначащий 0 в десятках часов включен или нет?

← →
MBo © (2005-09-30 09:54) [5]

SergP. (30.09.05 09:23) [1]
11. 1/4

Верно

wal © (30.09.05 09:48) [2]
5. Меньше 1/2

А пояснить? ;)

P.S. 1 задача достаточно сложна. Можно сначала попробовать найти N для 3 комнат (для 2-х комнат, очевидно, NMax=4 c раскладом (1,4) (2,3))

← →
MBo © (2005-09-30 09:57) [6]

wal © (30.09.05 09:54) [4]
7. Хочу уточнений
а) часы крутятся через 12 или 24 часа?
б) незначащий 0 в десятках часов включен или нет?

Пусть для определенности 24-х часовой режим, незначащий 0 включен
(т.е. отображается 08:40 и 21:21)

← →
Кабан (2005-09-30 09:59) [7]

12. Всех бактерий съедят

← →
Кабан (2005-09-30 10:02) [8]

5. Очевидно что в задаче 3 исхода
1. Миша выбросил больше Гриши
2. Гриша выбросил больше Миши
3. Поровну
причем, первые два равновероятны, следовательно на исход Гриша выбросил больше Миши приходится меньше 1/2

← →
КаПиБаРа © (2005-09-30 10:07) [9]

7. 18,4 мВт

← →
SergP. (2005-09-30 10:07) [10]

12.

Через N суток амебы сожрут всех бактерий,

← →
Кабан (2005-09-30 10:09) [11]

10.
Навскидку
Ломаной с углом 90 градусов и сторонами равными 1/2 стороне квадрата

← →
Кабан (2005-09-30 10:16) [12]

Serp

не через N, а через 2* N, если бактерии делятся первыми

← →
wal © (2005-09-30 10:17) [13]

>> wal © (30.09.05 09:48) [2]
>> 5. Меньше 1/2
> А пояснить? ;)
Возможны три исхода:
1. М>Г
2. Г>М
3. Г=М
Сделаем предположение, что "поплевал", да еще и "три раза" на исход бросания не повлиял. Исходя из симметричности считаем что варианты исходы 1 и 2 равновероятны (с вероятностью p), вероятность третьего исхода d (дельта). Сумма вероятностей всех исходов составляет 1, т.е.
p+p+d=1 <=> 2p+d=1 <=> 2p=1-d <=> p=0.5-d/2
Так как d (а с ним и d/2) больше нуля, то p<0.5

С уважением.

← →
SergP. (2005-09-30 10:18) [14]

> Кабан (30.09.05 10:09) [11]
> 10.
> Навскидку
> Ломаной с углом 90 градусов и сторонами равными 1/2 стороне
> квадрата

Да ну...

Если навскидку, то это должно быть что-то типа синусоиды, вернее
abs(sin...) или сегменты круга ...., но не ломаная

← →
SergP. (2005-09-30 10:21) [15]

> Кабан (30.09.05 10:16) [12]
> Serp
>
> не через N, а через 2* N, если бактерии делятся первыми

Я считал что прежде всего амебы сжирают по бактерии, а потом они все вместе размножаются....

← →
wal © (2005-09-30 10:26) [16]

7. 18.4 мВт

← →
wal © (2005-09-30 10:38) [17]

9. 2

← →
wal © (2005-09-30 10:40) [18]

> [17] wal © (30.09.05 10:38)
> 9. 2
Ошибся :(. Не 2, а 4

← →
wal © (2005-09-30 11:13) [19]

10. Не уверен, но у меня получились "куски" гиперболического косинуса.

← →
default © (2005-09-30 12:18) [20]

4.4

← →
MBo © (2005-09-30 12:55) [21]

>wal
>Кабан

5. Верно, что <1/2. Задача, конечно, простая, некоторый подвох в том, можно не обратить внимание, что в условии строгое неравенство.

>КаПиБаРа © (30.09.05 10:07) [9]
7. 18,4 мВт

Верно

>SergP. (30.09.05 10:07) [10]
>12. Через N суток амебы сожрут всех бактерий,
Да, так.
Вопрос, кто делится первым - не существенен, это только может оттянуть конец на 1 день

>wal © (30.09.05 11:13) [19]
10. Не уверен, но у меня получились "куски" гиперболического косинуса.

У, я бы сказал - круто!
Верно.

>wal © (30.09.05 10:38) [17]
9. Так 2 или 4 все же ? :)

>default © (30.09.05 12:18) [20]
>4.4

Али так не думает ;)

← →
default © (2005-09-30 13:04) [22]

MBo © (30.09.05 12:55) [21]
не может быть!

← →
MBo © (2005-09-30 13:16) [23]

>default © (30.09.05 13:04) [22]
>MBo © (30.09.05 12:55) [21]
>не может быть!

возможно, ты попался на подобное:
Если я переложу рубль из левого кармана в правый, то на сколько руб. изменится разница между суммами в карманах?

← →
wal © (2005-09-30 13:18) [24]

> [21] MBo © (30.09.05 12:55)
> >wal © (30.09.05 10:38) [17]
> 9. Так 2 или 4 все же ? :)
Все же 4 :)

← →
MBo © (2005-09-30 13:22) [25]

wal © (30.09.05 13:18) [24]
9. Все же 4 :)

Да, так.

← →
wal © (2005-09-30 13:29) [26]

> [21] MBo © (30.09.05 12:55)
> >wal © (30.09.05 11:13) [19]
>> 10. Не уверен, но у меня получились "куски" гиперболического
>> косинуса.
> У, я бы сказал - круто!
> Верно.
Ну тогда получается, что верно для любого правильного многоугольника, ибо непосредственно "квадрат" у меня в рассуждениях не учавствовал, разница только в точках "сопряжения" кусков.

С уважением.

← →
default © (2005-09-30 13:31) [27]

MBo © (30.09.05 13:16) [23]
да!
тогда жена стоит 2 динара
решение такое
у М было Vм вер-ов, у А - Vа
1в стоит (Vм+Vа)д, (Vм+Vа)в стоят (Vм+Vа)^2д
значит общая сумма выручка должна иметь целый квадр-ый корень
бараново нечётное число купили значит выручка от баранов составила
10;30;50;70;90 и тд д
козёл стоит от 1 до 9 д
между 11 и 19 д есть одно число у кото-ого есть целый кв корень - это 16
между 31 и 39 - такое число 36, у других диапазонов таких чисел нет
козёл значит стоит 6 рублей, а жена 2

← →
MBo © (2005-09-30 13:48) [28]

>wal © (30.09.05 13:29) [26]
>Ну тогда получается, что верно для любого правильного многоугольника
Именно так, даже для треугольных колес ;)

>default © (30.09.05 13:31) [27]
ОК, теперь жена оценена по достоинству ;))

8. 45?
10. полукруги
12. амебы будут размножаться? :)

1. для 3х комнат 9 человек максимум будет?

1. 27 можно разместить, может это и не максимум
нужно доказать максимальность?

default © (30.09.05 14:11) [31]
1. для 3х комнат 9 человек максимум будет?

Нет. Больше.
Общего решения у нее, видимо, нет, однако почти максимальные решения (при удаче - и максимальные) для 3 комнат можно найти вручную.

Утверждается, что и почти максимальное решение (на единицу меньше проверенного электроникой) для 4 комнат найдено без компа, исходя из эстетических соображений ;)
Для меня эта задача интересна c точки зрения разработки эффективной программы.

>default © (30.09.05 14:25) [32]
1. 27 можно разместить, может это и не максимум
нужно доказать максимальность?

Нет, не нужно доказывать.
27 - не максимум.

← →
Fishka (2005-09-30 14:33) [35]

2. У меня получилось
r1=(2*a*b)/(2*a+2*b+2*sqrt(a*a+b*b)+a*b*sqrt2)+b*b*sqrt(2))
r2=(2*a*b)/(2*a+2*b+2*sqrt(a*a+b*b)+a*b*sqrt2)+a*a*sqrt(2))

А какой из этого можно сделать вывод, кто прав Вася или Петя?

>Fishka
Вывод сделать можно, но, видимо, нужно пойти другим путем.

5. сама вероятность что Гриша победит будет 5/12

2.
Зафиксируем длину менианы как M

Радиус вписаной в один из треугольников окружностей будет всегда меньше половины расстяния от конца медианы до катета. r[max] = M/2*sqrt(2).

Радиус вписаной в один из треугольников окружностей будет всегда больше радиуса окружности вписанной в равнобедренный прямугольный треугольник с гипотенузой M (в треугольнике не может быть более одного не острого угла). Радиус вписанной окружности находится как отношение площади к полупериметру. Площадь равна sqr(M)/4 (четверть площади квадрата с стороной M). Полупериметр равен (M+M/sqrt(2)+M/sqrt(2))/2 = M*(1+sqrt(2))/2. r[min] = (sqr(M)/4)/(M*(1+sqrt(2))/2) = M/(2+2*sqrt(2)).

Отншение радиусов меньше 2*sqrt(2)/(2+2*sqrt(2)) = 1+1/sqrt(2). 2/sqrt(2) меньше чем 1+1/sqrt(2), а 3/sqrt(3) - нет. Вася ошибся.

>GuAV © (30.09.05 14:42) [38]
Я немного другим путем решал, но свелось к тому же диапазону возможных отношений радиусов. Верно.

MBo © (30.09.05 14:30) [33]
"Общего решения у нее, видимо, нет,"
шут его знает, может и есть
например, по какой-то выбранной схеме закидывать числа в комнаты покуда можно
когда пришли к невозможности добавления числа вместо того чтобы всё начинать заново быть может можно ВСЕГДА ЭКОНОМНО(если возможно) так переставить местами числа некоторых комнат что добавление будет возможно
для трёх комнат такую вот перестановку я делал 2 раза - в обоих случая переставлял только два элемента друг с другом, дошёл до 17
можно попытаться что-то сделать на этом пути

Пятничные задачки. Не дай мозгам засохнуть Найти похожие ветки