Формула

← →
Ники (2005-06-25 14:41) [0]

Прошу, помогите пожалуйста, кто знает

Интеграл x^a = x^(a+1)/(a+1), если a не равно -1.
Инече - ln |x|

Задача - вывести единую формулу для любого a. Даже если кто-нибудь знает без вывода, подскажите.

← →
default © (2005-06-25 17:01) [1]

а есть уверенность что такая формула есть?
для a>=0,a=-1 можно написать
[(a+1)/(|a|+1)]*[(x^a)/(|a|+1)] + (1-[(a+1)/(|a|+1)])*Ln|x|

← →
default © (2005-06-25 17:36) [2]

если все (|a|+1) заменить на (a/|a|)*(|a|+1) то предыдущее выражение будет работать при всех a, кроме a=0, что, конечно, нисколько не успокаивает

← →
Desdechado © (2005-06-25 17:46) [3]

фигурную скобку с условиями поставь
это не формула, но функционал :)

← →
default © (2005-06-25 17:53) [4]

в [2] нужно |a|+1 --> a+1, но это всё фигня...

← →
Ники (2005-06-25 23:12) [5]

[3]:Нужна именно формула - в этом вся и проблема.
[1]:Причем такая формула есть

← →
default © (2005-06-25 23:23) [6]

Ники (25.06.05 23:12) [5]
а в ряд разложить x^a не подойдёт?
получится алгебраический бесконечночлен
берём первообразную от каждого члена и получаем искомую формулу
только вот рядом думаю не подойдёт(

← →
Ники (2005-06-26 11:29) [7]

Ряд Тейлора? А когда первообразную будем брать, там разве та жде проблема, что и вначале не получится?

← →
default © (2005-06-26 12:40) [8]

Ники (26.06.05 11:29) [7]
"Ряд Тейлора?"
да, можно в окрестности 1
" А когда первообразную будем брать, там разве та жде проблема, что и вначале не получится?"
да вроде нет
там, если я нигде не ошибся, у знаменателей членов ряда обнулиться нет возможности

← →
Ники (2005-06-26 13:03) [9]

Да, правда.
Получается:
x+a(x-1)^2/2+a(a-1)(x-1)^3/2!/3+...
А как найти сумму такого ряда?

← →
default © (2005-06-26 13:14) [10]

Ники (26.06.05 13:03) [9]
не знаю можно ли её вывести, надо думать, что-то я сомневаюсь что получится

← →
default © (2005-06-26 13:18) [11]

к [0] всё и свёдется видимо...

← →
Ники (2005-06-26 13:20) [12]

Да, у меня что-то не выходит.

Сознаюсь:
За эту формулу дают +2 балла на экзамене по матану, по которому еще никто не получал 5...(1 курс)

← →
default © (2005-06-26 16:29) [13]

Ники (26.06.05 13:20) [12]
хи!
лопушит он вас, наверно!
три всегда практически получишь да + ещё два балла и пять выйдет:)
вероятно, он ждёт что кто-то докажет невозможность такой единой формулы

← →
default © (2005-06-26 17:18) [14]

давай предположим что такая формула есть
и посмотрим на некоторые свойства которые имеют место если имеет место такая формула
рассмотрим поведение этой формулы при x>=0
при a<>-1 это формула должна вырождаться в x^(a+1)/(a+1)
и посмотрим поведение последнего выражения когда a стремиться к -1
когда a стремится к -1 слева, то это выражение уходит в минус бесконечность, если справа - в плюс бесконечность
при a=-1 эта единая формула должна будет выродиться в Ln|x|
при любом x>=0 последнее выражение имеет своим значение вполне определённое число

не представляю себе такой единой формулы...
здесь аналогия с ф-ия 1/x в нуле
ситуация таже, но чтобы получить значение этой ф-ции в нуле нужно её доопределять то есть пологать для примера 1/0=5
то есть имеет уже два выражения...

← →
default © (2005-06-26 17:26) [15]

x>0 только везде

← →
марсианин © (2005-06-27 02:58) [16]

Интеграл x^a dx - чем не формула? :)

уточни, что это должна быть за формула?
т.е. нужно выразить Интеграл x^a dx = f(a). используя только операции +,-,*, /, возведение в степень и модуль?

← →
default © (2005-06-27 07:19) [17]

марсианин © (27.06.05 02:58) [16]
"используя только операции +,-,*, /, возведение в степень и модуль?"
я по крайней мере так пологал

вряд ли существует аналитическое выражение стремящееся к минус и плюс бесконечности при стремлении аргумента к некоторой точке соответственно слева и справа И в самой это точке - определено
(следуя [14])

← →
Alx2 © (2005-06-27 07:31) [18]

Если правильно понял, то

x^(a+2)/((a+1)*(a+2)) при a<>-1 & a<>-2

-ln(x) при a=-2

x*(ln(x)-1) при a = -1

?

← →
default © (2005-06-27 07:33) [19]

Alx2 © (27.06.05 07:31) [18]
не понял:(
в условии было два выражения, Вы сделали три
это не должна быть кусочнозаданная функция

← →
Alx2 © (2005-06-27 07:50) [20]

default © (27.06.05 7:33) [19]

>это не должна быть кусочнозаданная функция

Так ведь сходимость разная.

А три выражения получились из двукратного интегрирования x^a (так как в условии стоит первообразная x^a)

← →
default © (2005-06-27 08:04) [21]

Alx2 © (27.06.05 07:50) [20]
x^a(a=-1)=1/x
Инт.(1/x)=Ln|x|
как это с этим сходится "x*(ln(x)-1) при a = -1" ?
d(x*(ln(x)-1))=Ln(x)
dx
лишку наинтегрировали...
"А три выражения получились из двукратного интегрирования x^a (так как в условии стоит первообразная x^a)"
не понял, зачем двукратно?

← →
Alx2 © (2005-06-27 08:11) [22]

default © (27.06.05 8:04) [21]

Сорри, невнимательно прочел условие.

Почему-то понял, что интегрировать надо первообразную x^a.

← →
default © (2005-06-27 08:17) [23]

Alx2 © (27.06.05 08:11) [22]
думаете возможно?
"аналитическое выражение(одна формула) стремящееся к минус и плюс бесконечности при стремлении аргумента к некоторой точке соответственно слева и справа И в самой это точке - определено"
по-моему, это невозможно, только если доопределять это выражение в точке, но тогда получим два выражения

← →
Alx2 © (2005-06-27 10:51) [24]

>думаете возможно?
непонятно про единую формулу. Как тут заметили, сам интеграл уже формула.

Можно еще рассматривать как предел при
alpha->a выражения (x^(alpha+1)-1)/(alpha+1) - тоже "единая формула".

← →
default © (2005-06-27 11:17) [25]

Alx2 © (27.06.05 10:51) [24]
" alpha->a выражения (x^(alpha+1)-1)/(alpha+1) - тоже "единая формула". "
единая, всмысле [16] (+,/,...) видимо
предел считать думаю не подойдёт...
тем более эта формула сходится к нужному только когда a=-1
или когда a=+(-)oo

← →
Alx2 © (2005-06-27 11:20) [26]

default © (27.06.05 11:17) [25]
>тем более эта формула сходится к нужному только когда a=-1
>или когда a=+(-)oo

если "нужным" считать первообразную от x^a, то сходится не только в указанных случаях.

← →
default © (2005-06-27 11:24) [27]

Alx2 © (27.06.05 11:20) [26]
x^(alpha+1)-1)/(alpha+1)=x^(alpha+1)/(alpha+1)-1/(alpha+1)
вот придаток 1/(alpha+1) ликвидируется только когда alpha уходит в какую-то бесконечность плюс случай alpha-->-1

← →
Alx2 © (2005-06-27 11:25) [28]

default © (27.06.05 11:24) [27]

Этот придаток не мешает. Так как константа.

← →
default © (2005-06-27 11:25) [29]

вернее когда alpha-->-1 предел есть Ln(x) как и нужно

← →
default © (2005-06-27 11:27) [30]

Alx2 © (27.06.05 11:25) [28]
ну мы же её устремляем:(

← →
Alx2 © (2005-06-27 11:27) [31]

Alx2 © (27.06.05 11:25) [28]
так всё равно надо её ликвидировать в зависимости от того к чему стремиться альфа
единой формулы всё равно не будет

Alx2 © (27.06.05 11:29) [34]
какая это константа если ваша "единая формула" есть ф-ия от a
то есть от того к чему стремиться альфа
если меняем a меняется и "придаток"
то есть идёт переменная погрешность для выражения x^(a+1)/(a+1)
когда a<>-1

default © (27.06.05 11:38) [38]

Константы они разные бывают.
Она может быть и "спрятанной" :)
Например,
1/(a+1)* (x^(a+1)+alpha1(t)*a+alpha2(t)) где t не зависит от x
что дает некоторую свободу в поиске "единой формулы"

Alx2 © (27.06.05 11:43) [39]
это ещё зависит от этих альфа функций t
может они есть ф-ия t и например текущего времени и даты:)

← →
Ники (2005-06-28 12:06) [41]

Уважаемые знатоки: внимание - правильный ответ!

Когда я сдал этот экзамен(все-таки на 5), препод написал мне эту формулу:

(x^(a+1)-1)/(a+1)+const

по сути, это то же самое, что

x^(a+1)/(a+1)+const,

но с другой константой

при a=-1 получем неопределенность 0/0, которая при раскрытии дает ln|x|.

Я бы не догадался...

>Ники (28.06.05 12:06) [41]
Ну наконец-то. "Единая формула для любого a" таки оказалась пределом. :)

← →
Ники (2005-06-28 14:40) [44]

Честно сказать, я тоже думал надо без предела. Потому и не догадался бы

Формула Найти похожие ветки