Задача о двух цилиндрах

← →
Eugene74 (2005-06-21 12:52) [0]

На ровной поверхности стоят два равновысоких цилиндра. Отношение диаметра основания к высоте - примерно 1:5. Первый цилиндр "нормальный", а второй слегка расширяется к верху (т.е. опрокинутый усеченный конус получается).

Какое из тел легче опрокинуть?

----------------------------------------------------

Вот, встретился такой простой вопрос в каких-то IQ-тестах, в элементраном разделе (вместо условия просто картинка). В ответе сказано, что второй опрокинуть легче. Но я вот засомневался. Правда, с физикой последний раз сталкивался еще в школе :)

"Легче опрокинуть" - это я понимаю как "требуется совершить меньшую работу". Работа - это произведение расстояния на силу воздействия. Если точкой приложения силы считать верхнюю кромку цилиндра, а ее вектор направлен горизонтально, то расстояния получаются одиноковые. А вот сила для второго "цилиндра" нужна вроде бы бОльшая. Но что-то мне трудно это правильно обосновать. Или такие рассуждения вообще ошибочны?

← →
Sergey13 © (2005-06-21 12:54) [1]

Ненормальный легче, ибо центр тяжести выше. ИМХО.

← →
Думкин © (2005-06-21 12:58) [2]

> Eugene74 (21.06.05 12:52)

Центр тяжести у второго - выше. До границы основаниея - ближе.

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:03) [3]

Центр тяжести-то выше, но находится на центральной оси в обоих случаях. Расстояние по горизонтали до плоскости опрокидывания - одиноковое. Угол, на который должны повернуться оба тела перед опрокидыванием, - одинаковый.

← →
Думкин © (2005-06-21 13:06) [4]

> Расстояние по горизонтали до плоскости опрокидывания - одиноковое.

С @@@? Поясни. И далее - также.

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:07) [5]

2[3] Eugene74 (21.06.05 13:03)
>Центр тяжести-то выше, но находится на центральной оси в обоих случаях. Расстояние по горизонтали до плоскости опрокидывания - одиноковое.
Пока правильно.

>Угол, на который должны повернуться оба тела перед опрокидыванием, - одинаковый.
А вот тут ошибочка вышла. 8-)

← →
Думкин © (2005-06-21 13:09) [6]

> [5] Sergey13 © (21.06.05 13:07)
> 2[3] Eugene74 (21.06.05 13:03)
> >Центр тяжести-то выше, но находится на центральной оси
> в обоих случаях. Расстояние по горизонтали до плоскости
> опрокидывания - одиноковое.
> Пока правильно.

С какого? Основания одинаковые?

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:11) [7]

2[6] Думкин © (21.06.05 13:09)
> С какого? Основания одинаковые?
По моим наблюдениям - да. 8-)

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:14) [8]

to Думкин:
Может быть, не очень удачно выразился. Под плоскостью опрокидывания имел ввиду верикальную плоскость, проходящую через точку на нижней кромке (на которой стоит цилиндр, если пытаться его опрокидывать) и перпендикулярную вектору силы (который, как я принял, направлен горизонтально вна верхнюю кромку).
Эх, немного запутанно получилось.

to Sergey13: почему же ошибочка?

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:16) [9]

Основания одинаковые.

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:16) [10]

2[8] Eugene74 (21.06.05 13:14)
>почему же ошибочка?
Потому, что увеличивая один из катетов прямоугольного треугольника, мы тем самым уменьшаем угол между ним и гипотенузой. Катет увеличивается, потому что центр тяжести выше.

← →
Думкин © (2005-06-21 13:21) [11]

Ну, во-первых - второе тело - не цилиндр ни разу.
Второе - в "слегка".
Ибо если верхний радиус ы второго больше нижнего в 100000 раз - опрокинь такой.

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:26) [12]

2[11] Думкин © (21.06.05 13:21)
>Ибо если верхний радиус ы второго больше нижнего в 100000 раз - опрокинь такой.
Это иголка стоящая на острие. 8-)

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:28) [13]

Sergey13:
так а где у тебя углы этого треугольника?

В своиих рассуждениях я имел ввиду, что если мы начинаем наклонять цилиндр, то он поворачивается вокруг точки на нижней кромке, на которой он стоит. Упадет он, если половина его объема пересечет "плоскость опрокидывания". Угол, на который поворачиваются оба цилиндра до момента опрокидывания относительно точки поворота на нижней кромке, у меня получается одинаковый.

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:32) [14]

Во втором "цилиндре" верхний диаметр больше нижнего примерно в 1,2 - 1,3 раза. (В условии написал "слегка расширяется", надеюсь, все примерно так и представили.)

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:33) [15]

2[13] Eugene74 (21.06.05 13:28)
>так а где у тебя углы этого треугольника?
Как где.
1.Пересечение оси вращения с нижним основанием. (который прямой)
2.Точка на радиусе нижнего основания.
3.Центр тяжести.

Катет 1-3 у второго "цилиндра" больше.

← →
Думкин © (2005-06-21 13:36) [16]

Работа будет совершаться не на горизонтальное передвижение - а на возвышение центра тяжести от начального уровня. Вот и смотри.

← →
Virgo_Style © (2005-06-21 13:42) [17]

Если фигура - перевернутый усеченный конус, то ее центр тяжести находится выше, чем у цилиндра с той же высотой и основанием.

Если мне не изменяет память, фигура падает, если проекция центра тяжести на опорную плоскость выходит за границы основания.

Чем выше центр тяжести - тем больший путь он пройдет при отклонении на заданный угол, или
Чем выше центр тяжести, тем меньший угол отклонения приведет к выходу проекции центра тяжести, и, следовательно, к падению тела.

← →
Virgo_Style © (2005-06-21 13:43) [18]

>>выходу проекции центра тяжести за границу основания, и, следовательно, к падению тела.

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:49) [19]

Sergey13:
>1.Пересечение оси вращения с нижним основанием. (который прямой)
?
по моим представлениям ось вращения принадлежит плоскости, на которой покоятся тела и проходит через точку на кромке основания, на которой стоит тело в то время, как мы его наклоняем.

>2.Точка на радиусе нижнего основания.
? м.б. ты имеешь ввиду точку на кромке основания?

Думкин:
>Работа будет совершаться не на горизонтальное передвижение -
>а на возвышение центра тяжести от начального уровня.
>Вот и смотри.
Но рассуждать мы как должны, исходя из точки приложения силы? (или нет?) А вот с тем, как оценить/расчитать силу, требующуюся для опрокидывания - у меня как раз проблема. Не знаю пока, как это сделать.

← →
kaif © (2005-06-21 13:50) [20]

"легче опрокинуть" в каком смысле? Меньшая нужна сила, меньшая затрпчивается работа или выше вероятность того, что сам опрокинется ни с того, ни с сего?

← →
kaif © (2005-06-21 13:53) [21]

Вообще человек, у которого имеется интеллект, ни один тест IQ не пройдет. Так как тест IQ существует не для того, чтобы интеллект выявлять, а для того, чтобы выявить, насколько хорошо человек умеет соображать, какой именно ответ от него хотели бы получить составители теста IQ. То есть тест на IQ это тест на социальную сообразительность - быстро врубиться, чего от тебя хочет начальник. Даже если тот тупой.

← →
Думкин © (2005-06-21 13:57) [22]

> [21] kaif © (21.06.05 13:53)

Продолжите последовательность:
1 2 3 4 5 ...

Безусловно ИНТЕЛЛЕКТ тут нун никак не поможет. :( Зачем сразу столь категорично?

Можно конечно пофантазировать - но все-таки?

← →
Sergey13 © (2005-06-21 13:58) [23]

2 [19] Eugene74 (21.06.05 13:49)
>по моим представлениям ось вращения принадлежит плоскости, на которой покоятся тела
Ось вращения тела (я про нее говорю) не зависит от положения тела. Она или есть (цилиндр, конус) или ее нет (куб) или их много (шар).

← →
Eugene74 (2005-06-21 13:59) [24]

Virgo_Style:
Чем выше центр тяжести - тем больший путь он пройдет при отклонении на заданный угол, или
Чем выше центр тяжести, тем меньший угол отклонения приведет к выходу проекции центра тяжести, и, следовательно, к падению тела.
А вот у меня как раз получается, что и путь и угол в обоих случаях одинаков! Попробуйте нарисовать и не забывайте, что вращение происходит не вокруг центра основания, а вокруг точки на ее кромке.

Нет!

← →
Eugene74 (2005-06-21 14:09) [25]

"Нет!" в предыдущем посте вырвалось случайно :)

kaif:
"легче опрокинуть" в каком смысле? Меньшая нужна сила, меньшая затрпчивается работа или выше вероятность того, что сам опрокинется ни с того, ни с сего?
В условии об этом не говорится. Моя интерпретация: "меньшая работа".
тест на IQ это тест на социальную сообразительность - быстро врубиться, чего от тебя хочет начальник
:)) согласен. Но было бы интересно разобраться в этой задачке, как если бы это была бы задача по физике.

Sergey13:
Ага, понял, где у нас нестыковка в терминах. Когда я говорил "ось вращения", то имел ввиду не потенциально возможные оси, а конкретную в данном случае ось, вокруг которой поворачивается цилиндр, когда мы его наклоняем.

← →
kaif © (2005-06-21 14:12) [26]

Думкин © (21.06.05 13:57) [22]
> [21] kaif © (21.06.05 13:53)

Продолжите последовательность:
1 2 3 4 5 ...

Не понял. А ты можешь продолжить эту последовательность?

Я - нет. Если бы я умел всерьез продолжать такие вот последовательности, то мои программы никогда бы не заработали у моих заказчиков.

← →
Думкин © (2005-06-21 14:13) [27]

> [26] kaif © (21.06.05 14:12)

Про пофантазировать - я написал. Не можешь - не продолжай.

← →
kaif © (2005-06-21 14:13) [28]

2 Eugene74 (21.06.05 14:09) [25]
OK. Извини, не буду превращать в оффтопик. Задача действительно интересная. Я пока не знаю ответа.

← →
КаПиБаРа © (2005-06-21 14:14) [29]

Думкин © (21.06.05 14:13) [27]
5 4 3 2 1 или 6 или вышел зайчик погулять или ...

← →
Думкин © (2005-06-21 14:17) [30]

> [29] КаПиБаРа © (21.06.05 14:14)

Понятно - что все верно. Проблема ведь только в том, что это тест с одним ответом. Это видимо и имел в виду kaif.
Но как задачка с решениями и последующим анализом - вполне.
Про зайчика - чем не показатель уровня? Ведь тоже красиво. :)

Eugene74 (21.06.05 13:59) [24]

Путь проекции точки ц.т. - одинаков (одинаковые основания), а угол - нет (разное положение центра тяжести).
| | \ /
| | \ * /
|*| \ /
| | \ /
|_| \_/

У цилиндра ц.т. ниже, у второй фигуры выше. Наклоняем их - проекции ц.т. смещаются, у второй фигуры больше - так как радиус поворота (расстояние от точки опоры до ц.т.) больше.
Поэтому проекция ц.т. второй фигуры будет смещаться быстрее, и упадет она раньше =)

Некрасиво получилось... Попробуем по-другому =)
| | \ / | | \ * / |*| \ / | | \ / |_| \_/

← →
Eugene74 (2005-06-21 15:39) [33]

Моя ошибка. Прошу прощения. Действительно, угол поворота во втором случае меньше. (Я почему-то думал, что половина фигуры должна пересечь верикальную плоскость, проходящую через точку на нижней кромке), а не центр тяжести).
Но в каком случае все-таки совершается меньшая работа?

Eugene74 (21.06.05 15:39) [33]

Работа... Мне думается, работа в данном случае затрачивается только на поднятие ц.т. фигуры - ведь он приподниматся при ее наклоне...

И равна она будет разности потенциальной энергии в начальный момент и в момент нахождения фигуры "на грани падения", т.е.
A = m*g*(H.кр - H.нач), где H - высота центра тяжести, например, от плоскости, на которой фигура стоит.

То есть, для качественного ответа достаточно выяснить, как соотносятся расстояния, пройденные ц.т. по вертикали.

Дальше думать мне уже лень =)

2 Virgo_Style © (21.06.05 15:57) [34]
Я нашел решение, открыл ветку и вжу, что ты предложил то же самое. Действительно, нужно понять, как изменяется потенциальная энергия цилиндра относительно первоначального положения. То есть найти "дельта H". Так как чем выше центр тяжести, тем больше радиус вращения центра тяжести вокруг "точки опоры - края цилинтра", то следовательно, тем меньше "дельта H". Из этого непосредственно следует, что для опрокидывания цилиндра, "утолщающегося кверху" и имеющего ту же массу, потребуется затратить меньше работы.
Однако не факт, что потребуется приложить "меньшую силу".
Дело в том, что центр тяжести "поднимается в верх" линейно с утолщением вернего края, а "дельта H" уменьшается нелинейно. Поэтому если толкать "в верхний конец цилиндра", то по мере того, как центр тяжести оказывается выше (для более "утолщенных цилиндров"), рычаг становится меньше (хуже), причем линейно. А "дельта H" падает нелинейно, поэтому силу придется прикладывать большую. Таким образом задача некорректна изначально (имеет два взаимоисключающих ответа, в зависимости от того, что называть "труднее"). Я могу спроектировать два таких цилиндра в человеческий рост, один из которых будет "проще опрокинуть", хотя он не имеет утолщения к верху и масса у них одинакова. Так как простоту опрокидывания мы субъективно определяем все же силой, которую нам нужно приложить (например, налечь всем телом), а не энергией, которую нам нужно затратить.

Прочитал то, что написал и усомнился. Дело в том, что центр тяжести тоже поднимается не совсем линейно, к тому же рычаг немного увеличивается за счет утолщения. Одним словом, формула для силы получается очень сложной и нужно выводить (на вскидку не прикинешь). Возможно даже, что есть некоторое "критическое утолщение", до которого сила нужна меньшая, а выше которого - большая или наоборот...
Энергия однозначно нужна меньшая для утолщенного цилиндра. И вероятность, что утолщенный опрокинется сам собой из-за квантовых флуктуаций тоже выше :)

Кто возьмет на себя труд рассчитать формулу для силы?
Исходные данные: высота, радиус основания, радиус вершины цилиндра. ИМХО, здесь проще всего будет опять через работу подойти. Нужно получить выражение для F = dW/dx на момент толчка. dW (работу) можно рассчитать, используя "большой радиус, описываемый центром тяжести", из которого получается
dW=m*g*dh. Нужно просто выразить тригонометрически dh как функцию от dx. В общем, как-то так. Если бы я был только что окончивший ВУЗ студент-инженер, я бы сделал это за две минуты. ;)

Забыл еще одно исходное данное - масса.

:) Я написал - а плагиата без ссылок - вагон вижу. Характерно. :(

2 Думкин © (22.06.05 10:45) [39]
Выразись яснее, что ты имеешь в иду. Я что-то не понял. Где и что ты написал?

Приведи формулу для силы. Мне интересно, большая потребуется сила или меньшая. Работа потребуется большая, с с силой мне вовсе пока не ясно. Здесь нужно вывести выражение для силы.

Думкин © (22.06.05 10:45) [39]
kaif © (22.06.05 15:40) [40]

ПЛАГИАТ - присвоение плодов чужого творчества: опубликование чужих произведений под своим именем без указания источника или использование без преобразующих творческих изменений, внесенных заимствователем…
Действительно, в [16] имело место быть произведение, я бы даже сказал, научное открытие, которое было мной опубликовано под моим именем в [34] без преобразующих изменений. Мне очень-очень стыдно. Обязуюсь впредь указывать авторов в виде "TForm (c) Borland", "Первый закон Ньютона (с) Ньютон", и пр.

P.S. Если [39] относилось к чему-то другому - прошу прощения за сарказм.

Copyright (c) Virgo_Style, 22.06.2005.

2kaif

ИМХО, сила в момент отрыва во втором случае больше, т.к. больше масса.
а центр тяжести еще находится на оси.

есть еще соображение:
если "вычесть" из второго цилиндра первый.. ну как бы вырезать.. чтоб осталась такая полая трубка,
то чтоб опрокинуть эту самую трубку потребуется доп. сила/работа

2 марсианин ©
Я исхожу из того, что масса одинакова. Иначе задача вообще теряет всякий смысл. Допустим цилиндр внизу чуть уже, а сверху -чуть шире. Чтобы никто не придирался, это будем называть не цилиндром, а перевернутым усеченным конусом. Так вот, расчет силы не столь тривиален. Нужно выразить сначала dh центра тяжести через dx, где x - ось, по которой мы прикладываем силу. Здесь тригонометрия. Далее нужно получить F, как производную от от работы по опрокидыванию "в точке отрыва", то есть
m*g*dh(x)/dx. Как-то так. На бумаге я бы сделал. Пока лень самому этим заниматься. Буду рад, если кто-то за ближайшие дни сделает это за меня. На форуме достаточно свежих мозгов. Сдается мне, что сила потребуется большая, а не меньшая для опрокидывания перевернутого усеченного конуса. Возможно сила и будет меньшая, если давить не по горизонтальной оси x, а перпендикулярно оси, соединяющей "точку опоры" с центром тяжести. В общем, не знаю. Но задача эта действительно не для теста IQ. Для теста IQ правильнее задачи типа продолжите ряд
1,3,5,7... Человек с нормальным IQ дальше обычно пишет 9. Человек с низким IQ дольше думает и колеблется, написать ему 9 или 11, прикидывая "уровень хитрости" составителей теста.

Задача о двух цилиндрах Найти похожие ветки