Задача по матану. Спасите! Док-ть сходимость последовательности

← →
Vulko © (2004-12-29 15:40) [0]

Дана последовательность Xn:
http://php-exec.com/temp/xn.gif

Проверить её на сходимость (либо критерием коши (про фундаментальную
последовательность), либо доказать что она монотонна и ограничена, а
следовательно сходится).

Она ограничена - это я доказал.
0<=Xn<=1

А вот монотонность не получается (Xn+1-Xn>0, или <0. Для данной последовательности >0 - она монотонно возрастает).

Спасите, добрые люди. Завтра зачёт по матану, а я не знаю как доказать сходимость этой последовательности.
Если надо, труд оплачу!

← →
default © (2004-12-29 16:04) [1]

исходный ряд меньше ряда
1/n + 1/n + ... + 1/n=n*(1/n)=1 (1)
отсюда и больший ряд сходится

← →
default © (2004-12-29 16:09) [2]

отсюда и меньший ряд сходится

← →
Vulko © (2004-12-29 17:23) [3]

default, теории рядов у нас ещё не было...
А даже если я так докажу (я правда нашёл способ по признаку Даламбера), то всё равно преп скажет доказать по критерию коши для последовательности, или монотонность и ограниченность...

Но всё равно спасибо.

Никто не знает как доказать по коши или монотонности и ограниченности?

← →
default © (2004-12-29 17:28) [4]

Vulko © (29.12.04 17:23) [3]
это и есть монотонность и ограниченность
монотонность налицо - ряд с возрастающими положительными членами
сам подумай если все члены ряда положительны и возрастают и другой ряд где каждый член больше соответствующего члена исходного ряда сходится к 1, то меньшему ряду ничего не остаётся как сходиться на бесконечности к какому-то числу в интервале (0,1)

← →
default © (2004-12-29 17:36) [5]

блин
Vulko © (29.12.04 17:23) [3]
это и есть монотонность и ограниченность
монотонность налицо - ряд с убывающими положительными членами
сам подумай если все члены ряда положительны и убывают и другой ряд где каждый член больше соответствующего члена исходного ряда сходится к 1, то меньшему ряду ничего не остаётся как сходиться на бесконечности к какому-то числу в интервале (0,1)

← →
Vulko © (2004-12-29 17:40) [6]

default, я разве спорю?
Но, я говорю что у моего препа такого мало. Он всё равно скажет доказать без рядов, т.к. рядов не было у нас в теории.

← →
default © (2004-12-29 17:48) [7]

Vulko © (29.12.04 17:40) [6]
считай что ряд=последователность
монотонность очевидна
ограниченность следует из того что последовательность в которой каждый член больше соответсвующего члена исходной последовательно
сходиться к 1(значит и исходная послед-ть сходится)
ну если формально то будет так
a1+a2+...+an+...<1/n+1/n+...=n*1/n=1
(ai члены исходного ряда)

← →
default © (2004-12-29 17:57) [8]

a1+a2+...+an<Сумма(от 1 до n)(1/n)=n*1/n=1

← →
Sandman25 © (2004-12-29 17:59) [9]

[7] default © (29.12.04 17:48)

Монотонность не очевидна.
Например
x1 = 0.5 < 1
x2 = 0.7 < 1
x3 = 0.3 < 1

← →
default © (2004-12-29 18:02) [10]

Sandman25 © (29.12.04 17:59) [9]
это для какого ряда?

← →
Nikolay M. © (2004-12-29 18:20) [11]

> доказать что она монотонна и ограничена

Дык это очевидно.
Возрастает - очевидно, т.к. x(n) = x(n-1) + 1/корень(n*n + n) > x(n-1).
Ограничена - тоже очевидно, т.к. x(n) <= n/корень(n*n + n) = 1/корень(1 + 1/n) < 1 для любого n.

← →
Vulko © (2004-12-29 18:28) [12]

Удалено модератором

← →
Nikolay M. © (2004-12-29 18:33) [13]

> Vulko © (29.12.04 18:28) [12]

А я и чуйствую, что как-то легко все... :(

← →
Nikolay M. © (2004-12-29 18:56) [14]

> Vulko © (29.12.04 18:28) [12]

А так?
Вычитаешь поэлементно xn - xn-1, получаешь (n - 1) пар разностей + последнее слагаемое из xn. Нужно показать, что сумма этих разностей (1/корень(n*n + k) - 1/корень((n - 1)*(n - 1) + k)) + последнее слагаемое из xn при k=1..n-1 больше 0. k заменяешь на (n - 1), сумма получается еще меньше, но подсчитать ее и сравнить с 0 проще. Если она больше 0, значит и оригинальная разность тем более > 0.
Ы?

> Nikolay M. © (29.12.04 18:56) [14]

Хотя тоже немного прогнал. Под знаком суммы k менять на (n - 1) нужно только у xn, а у xn-1 вместо к подставить 1. Т.е xn уменьшаем, а xn-1 увеличиваем.

Nikolay M, когда мы начинаем оценивать по больше чего-то, то для однозначности нужно либо уменьшать положительные либо увеличивать отрицательные, либо и то и другое.
Однако при любом из тих действий, разности становятся меньше нуля. Это главная проблема.
Т.е. оценивая по больше, дабы в конце получить >0, мы получаем что разность двух последовательных членов больше отрицательного числа. Отсюда невозможность доказать примитивными оценками монотонность.

Т.е. нужна нетривиальная идея...

default

В задаче фигурирует не ряд а последовательность. Конечно, эту последовательность можно превратить в ряд, но общий член этого ряда будет очень сложно выглядеть. Доказать для этого ряда даже положительность общего члена очень сложно.

"монотонность и ограниченность" - из этого, конечно, следует сходимость, но эта теорема относится к последовательностям а не к рядам.

Задача решается следущим образом:

Каждый член последовательности xn меньше единицы, это вы уже доказали. В самом деле, если мы в xn отбросим второе слагаемое в знаменателях, то знаменатели уменьшатся, значит каждое слагаемое увеличится и будет равно 1/n, слагаемых всего n, сумма будет равна 1. То есть увеличив xn мы получаем единицу, значит каждое xi меньше единицы.

С другой стороны каждое xn меньше некоторого yn. Сначала мы конкретизируем последовательность yn, потом докажем, что она сходится к единице. Таким образом, мы докажем, что xn также сходится к единице, поскольку заключена между единицей и последовательностью сходящейся к единице. Монотонность xn нас в данном случае интересовать не будет. (Возможно что монотонности и нет.)

Итак, yn получается из xn заменой вторых слагаемых числом n. Тем самым знаменатели увеличились, каждое слагаемое уменьшилось и, следовательно, yn <= xn. Теперь надо доказать сходимость yn. Выписываем:

yn = [1/sqrt(n^2 + n)]*n = n/sqrt(n^2 + n) = sqrt(n^2/(n^2 + n)) =
= sqrt((n^2 + n - n/(n^2 + n)) = sqrt(1 - n/(n^2 + n)) = sqrt(1 - 1/(n + 1)

Здесь уже понятно, что при стремлении n к бесконечности второе слагаемое под корнем стремится к нулю, а первое равно единице, следовательно, сам корень (т. е. yn) стремится к единице.

palva © (29.12.04 23:01) [17]
я тогда говорил для случая когда можно было приравнять ряд последовательности потому что по невнимательности упустил что элементы меняются в зависимости от n)
" Доказать для этого ряда даже положительность общего члена очень сложно. "
общий член ряда будет зависеть от n и от i(номера члена)
не пойму откуда он может быть отрицательным
"меньше некоторого yn."
не больше точнее
"yn = [1/sqrt(n^2 + n)]*n = n/sqrt(n^2 + n) = sqrt(n^2/(n^2 + n)) =
= sqrt((n^2 + n - n/(n^2 + n)) = sqrt(1 - n/(n^2 + n)) = sqrt(1 - 1/(n + 1)"
больно долго
нужно в первом выражении просто числитель и знаменатель поделить на n потом устремлять
P.S. автору нужно было монотонность доказать или по Коши

Всем спасибо.
Я сделал что-то наводе последнего варианта. Только я Xn+1/Xn доказывал что =>1. А Xn+1 и Xn оценивал, с сокращением по sqrt(n+1) и sqrt(n) соответственно.

>>P.S. автору нужно было монотонность доказать или по Коши
Или по Коши, или по монотонности и ограниченности. Т.к. ограниченность очевидно доказывается, то проблемы были с доказательством монотонности.

Задача по матану. Спасите! Док-ть сходимость последовательности Найти похожие ветки