Пятница - новые похождения Васи Пупкина и другие задачки ;)

← →
MBo © (2004-11-12 09:57) [0]

1. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найти длину стороны квадрата, вписанного
в треугольник так, что одна его сторона лежит на стороне тр-ка длиной 14.

2. Натуральные числа разделены на группы:
(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), ...
Найти сумму чисел в n-й группе.

3. 7 монет выложены на стол вплотную в виде шестиугольника (одна монета в центре)
Если приложить к ним еще одну монету и прокатить ее по периметру до возвращения
в исходную точку, то сколько оборотов она сделает вокруг своей оси?

4. Дробная часть числа r определяется как

F(r) = r - (Наибольшее целое, не превосходящее r)
Примеры:
F(12.34) = .34, F( 11/2) = 1/2, F( 8/3) = 2/3.
Вопрос:
Найти r>1 такие, что F(r) + F( 1/r) = 1

5. Аспирант Вася Пупкин нарисовал замкнутую непересекающуюся кривую и теперь
пытается построить равносторонний треугольник, все вершины которого принадлежат
кривой. Всегда ли это возможно?

6. Петя Канарейкин выбирает по порядку 2000 разных натуральных чисел из диапазона 1..3000.
Всегда ли Вася Пупкин может из данной последовательности выбрать
возрастающую подпоследовательность из 1000 чисел, чередующихся по четности Odd-Even-Odd-Even...?

7. Существует единственное целое n, при котором значение выражения
(12*n^3-5*n^2-251*n+389)/(6*n^2-37*n+45)
будет целым. Найти N и доказать, что других решений не существует

8. 6 профессоров математики посещали комнату для кофе в тот день, когда пропал
серебряный кофейник. Каждый входил в комнату только раз, оставался на какое-то время и выходил.
Если двое были в комнате одновременно, по крайней мере один из них замечал присутствие другого
(математики весьма рассеянны). При расследовании инцидента секретарь получил такие ответы:

профессор говорит, что видел Абель Бернулли, Эрдос Бернулли Абель, Ферма Коши Декарт, Ферма Декарт Абель, Ферма Эрдос Бернулли, Коши Ферма Коши, Эрдос

Если только один из профессоров дает неверную информацию, кто же спер кофейник?

9. Петя Канарейкин забросил в кольцо баскетбольный мяч.
В момент прохождения корзины (мяч падает отвесно) Вася Пупкин, находящийся
на расстоянии L от кольца, бросает прямо в направлении корзины теннисный мячик,
который попадает в баскетбольный на расстоянии H от корзины.
С какой скоростью Вася бросил мячик?

10. Вася Пупкин хочет попасть мячиком в Петю Канарейкина, сидящего на дереве,
находящегося на удалении L, на высоте H. При какой минимальной скорости это возможно?

11. Вася Пупкин задает произвольный эллипсоид и из точки вне его
проведит к нему всевозможные касательные.
Правда ли, что все точки касания лежат в одной плоскости?

12. Петя сказал Васе Пупкину, что у него три племянницы.
В: Сколько им лет?
П: Произведение возрастов - 72
В: Хм... Этой информации мало.
П: Cумма возрастов - равна номеру твоего дома
В: Все равно непонятно...
П: Старшая любит яблочный пирог
В: ОК, им ..., ... и ... лет!!!
Сколько же лет племянницам Пети?
Просьба к тем, кто уже сталкивался с подобной задачей, дать покумекать новичкам ;)

← →
Думкин © (2004-11-12 10:24) [1]

а где обещанные задачки по физике?

← →
MBo © (2004-11-12 10:30) [2]

>Думкин © (12.11.04 10:24) [1]
9 и 10 ;)
Остальные на будущее приберег ;)

← →
Думкин © (2004-11-12 10:31) [3]

> [2] MBo © (12.11.04 10:30)

Упс, не заметил. :)

← →
Александр Иванов © (2004-11-12 10:40) [4]

2 задание - S = (3n^2-n)/2

← →
Мирон © (2004-11-12 11:04) [5]

MBo © (12.11.04 9:57)
1. 168/26

← →
AlexKniga © (2004-11-12 11:12) [6]

12. > Cумма возрастов - равна номеру твоего дома
А значение номера дома не требуется?

← →
Alx2 © (2004-11-12 11:13) [7]

11. Лежат в одной плоскости. Так как касательные из точки к шару лежат в одной плоскости. Остальное можно получить линейными преобразованиями

← →
ЮЮ © (2004-11-12 11:20) [8]

12)
72 = 1 * 1 * 72 = 1 * 2 * 36 = 2 * 2 * 18 = 2 * 4 * 9
В любом из четырех возрастов (72, 36, 18 и 9) старшая может любить яблочный пирог. След-но, не зная номера дома или примерного возраста племянниц, нельзя сказать об их точном возрасте. А этой информаций обладает только Вася Пупкин :(

← →
Мирон © (2004-11-12 11:26) [9]

10. SQRT(g*L*L/(L-H))

← →
КаПиБаРа © (2004-11-12 11:27) [10]

1. 10,5

← →
Мирон © (2004-11-12 11:29) [11]

ЮЮ © (12.11.04 11:20) [8]
или 72= ... = 6*3*4 = 2*12*3 = 2*3*8 = ...

← →
wal © (2004-11-12 11:30) [12]

12 - 3-3-8,
Объяснения потом :)

С уважением.

← →
Bless © (2004-11-12 11:35) [13]

3. - три оборота?

← →
Мирон © (2004-11-12 11:43) [14]

3. 2 оборота

← →
Alx2 © (2004-11-12 11:45) [15]

4. r = 1/2*(a+1+sqrt((a+1)^2-4)) для натуральных a>1

← →
Igorek © (2004-11-12 11:55) [16]

3. 6 * 120 = 720 (2 оборота)

← →
Bless © (2004-11-12 11:59) [17]

12. 3, 3, 8

← →
Igorek © (2004-11-12 12:02) [18]

5. Да.

← →
Bless © (2004-11-12 12:11) [19]

Пояснения к 12:
всего есть 6 вариантов, дающих в произведении 72(справа - сумма возрастов):
2 2 18 22
2 3 12 17
2 4 9 15
2 6 6 14
3 3 8 14
2 4 6 13

Номер дома Васи - 14. Если бы его номер был 22, 17, 15 или 13, то ему была бы уже не нужна 3-я подсказка. Следовательно, из вышеприведенных вариантов остаются 2, 6, 6 и 3, 3, 8.
А из этих двух 2,6, 6 не подходит, потому что Петя сказал "старшая любит..." а не "старшие любят.."

← →
Igorek © (2004-11-12 12:13) [20]

> Alx2 © (12.11.04 11:13) [7]
> 11. Лежат в одной плоскости. Так как касательные из точки
> к шару лежат в одной плоскости. Остальное можно получить
> линейными преобразованиями

Неочевидно. Более менее очевидно только то, что при преобразовании сферы в элипсоид кольцо на сфере превращается в элипс.

← →
Думкин © (2004-11-12 12:17) [21]

> [20] Igorek © (12.11.04 12:13)

Что именно не очевидно?

← →
Igorek © (2004-11-12 12:23) [22]

> Думкин © (12.11.04 12:17) [21]
> Что именно не очевидно?
Что любой элипс на элипсоиде может служить множеством точек касания для прямых из одной точки.

← →
Мирон © (2004-11-12 12:26) [23]

Igorek © (12.11.04 12:23) [22]
Что любой элипс на элипсоиде может служить множеством точек касания для прямых из одной точки.
ВЫ перевернули условие с ног на голову...

← →
Alx2 © (2004-11-12 12:43) [24]

>Igorek © (12.11.04 12:13)
При линейных преобразованиях касательные переходят в касательные.
Плоскости в плоскости.

← →
Igorek © (2004-11-12 12:48) [25]

> Мирон © (12.11.04 12:26) [23]
> Igorek © (12.11.04 12:23) [22]
> Что любой элипс на элипсоиде может служить множеством точек
> касания для прямых из одной точки.
> ВЫ перевернули условие с ног на голову...
Ага. Согласен некорректно. Напр. для элипса через полюса не существует точки.
Но все равно неочевидно решение задачи.
Т.е. имеем шар и точку. На шаре для точки есть кольцо. Пробразуем шар в элипсоид. Кольцо перейдет в элипс. Но где гарантия, что этот элипс останется для данной точки?

← →
MBo © (2004-11-12 12:49) [26]

>Александр Иванов © (12.11.04 10:40) [4]
>2 задание - S = (3n^2-n)/2
Нет

>Мирон © (12.11.04 11:04) [5]
>1. 168/26
Да, 84/13
интересно, каким путем решал (просто принцип)

3. Верного ответа пока не было

>Igorek © (12.11.04 12:02) [18]
>5. Да.
Обоснование?

12. 3,3,8 - верно

>Alx2 © (12.11.04 11:13) [7]
11. Лежат в одной плоскости. Так как касательные из точки к шару лежат в одной плоскости. Остальное можно получить линейными преобразованиями
Верно. Более развернуто - для любого элллипсоида существует аффинное преобразование, превращающее его в сферу. А любое аффинное преобразование переводит плоскость в плоскость.

← →
wal © (2004-11-12 12:53) [27]

3. один оборот

← →
MBo © (2004-11-12 12:55) [28]

>Мирон © (12.11.04 11:26) [9]
>10. SQRT(g*L*L/(L-H))
Нет.
Судя по знаменателю, условие могло быть неправильно понято.

>Alx2 © (12.11.04 11:45) [15]
>4. r = 1/2*(a+1+sqrt((a+1)^2-4)) для натуральных a>1
Угу, проще a+1 заменить на N>2

2. 1/2*n*(n^2+1)

Поправочка
3 - 4 оборота

5. Принцип.
В основном уравнении справа - площадь исходного треугольника (известна), слева сумма площадей квадрата и отсекаемых им от основного малых треугольников. Причем один из этих треугольников подобен исходному, с соотношением Sмал = Sисх/SQR(14/a), где "а" - сторона квадрата. А дальше все сводится к квадратному уравнению относительно "а".

> MBo © (12.11.04 12:49) [26]
> >Igorek © (12.11.04 12:02) [18]
> >5. Да.
> Обоснование?
Возьмем точку на кривой. Близко к ней - другую, так что бы третья оказалась внутри кривой. Двигаем вторую по периметру от первой пока она снова не дойдет до первой. Третья переместится наружу. Очевидно, что по дороге она пересекла кривую.
Нюанс: не для каждой первой точки можно подобрать вторую (напр. первая в вершине угла меньше 60 градусов.). Но зато всегда найдется место для первой, что можно подобрать вторую.

> MBo © (12.11.04 13:09) [34]
> >Igorek © (12.11.04 13:02) [32]
> Да, красивое и простое доказательство
Вообще я нечесно поступил. Решение я знал. Эта задача была на rsdn.
А вот посложнее:
"Всегда ли можно построить ромб на такой кривой?"

7.
при n=14 имеем единственное целое значение N = 41.

Докажем, что больше целых значений нет
(12*n^3-5*n^2-251*n+389)/(6*n^2-37*n+45)

Ассимптота этой дроби есть 2*n+23/2.
Наша дробь отклоняется от этой ассимптоты менее, чем на 1/2 при n in (-infinity, -24] U [33, infinity). То есть, в указанных полуинтервалах целочисленного значения дроби точно не найдем.
А на отрезке [-23,32] проверяем ручками. Благо, точек там немного :).

>Igorek © (12.11.04 13:19) [35]
>"Всегда ли можно построить ромб на такой кривой?"
Я видел такую задачу для квадрата и указание, что простое строгое решение пока неизвестно (Сложное решение опубликовано в 1944г в Успехах Матем. Наук)

>Alx2 © (12.11.04 13:27) [36]
>7.при n=14 имеем единственное целое значение N = 41.
Верно. Я тоже интервал в 56 точек пробежал, а вот в источнике дается еще один способ, не требующий этого (перебор всего нескольких точек), но я его пока не осознал :(

10. SQRT(g*(2H + L*L/2H))

10. L*sqrt((L-H)*g)/(L-H)

Пятница - новые похождения Васи Пупкина и другие задачки ;) Найти похожие ветки