Пятничная разминка. Занятные задачки

← →
MBo © (2004-11-05 09:15) [0]

1. Полярники в Антарктиде обучили четырех пингвинов и решили сыграть в несложную
игру с коллегами с другой станции. Коллеги загадывают число от 1 до 12, которое
нужно разгадать. Каждый пингвин способен отнести один вопрос на другую станцию и
вернуться с ответом. Какие вопросы задать?

2. Вася Пупкин устанавливает офисную АТС с пятизначными номерами от 00000 до 99999
в большой фирме Некрософт. Начальство потребовало, чтобы все номера во избежание
ошибок отличались по меньшей мере в двух цифроместах. Сколько же номеров сможет
Вася назначить при таком условии?

3. 25 цыган согнали украденных лошадей в один табун (не более 8000 голов) и решили поделить поровну.
Осталось 3 лошади. Цыгане начали спорить, как их делить, подрались, и семеро цыган
были прирезаны. Новый дележ привел к тому, что осталось 7 лошадей. Ночью рухнула
крыша постоялого двора и придавила еще семь воров. Наутро при переделе осталось
10 лошадей. В обед хозяйка пост. двора отравила оставшихся цыган. Сколько лошадей
ей досталось?

4. Джо, Буч и Матильда бросают по очереди мяч в кольцо в указанном порядке.
Выигрывает тот, кто первый попал. Если за круг все промахнулись - все сначала.
Джо попадает в 40% случаев, Буч в 60%, а Матильда в 70% случаев.
Какова вероятность выигрыша для каждого?

5. Дана полуокружность радиуса R с центром в точке (R,0).
Функция F(r) определена так:
Проводится окружность с центром в начале координат и радиусом r.
Проводится прямая через точку (0,r) и пересечение окружности и полуокружности.
F(r)=абсциссе пересечения этой прямой и оси OX.
Чему равен предел F(r) при r, стремящемся к нулю?
http://mbo88.narod.ru/task5.jpg

6. Три золотых гинеи (монеты) лежат вплотную друг к другу треугольником.
В центральное отверстие плотно укладывается полупенсовик радиуса r.
Найти радиус гинеи.

7. Возможно ли пометить все ребра куба различными натуральными числами так, что
а) суммы чисел на ребрах, сходящихся к каждому углу, одинаковы
б) суммы чисел на ребрах каждой грани одинаковы

8. Найти, какие цифры соответствуют каким буквам.

UNITED + STATES -------- AMERICA
дополнительные пояснения будут даны, если будет замечен подвох ;)

9. Найти десятизначное число, такое, что последняя цифра равна числу девяток в нем,
предпоследняя - восьмерок и т.д., первая - числу нулей.

10. ABCD и PQRS - квадраты, AB=1, все треугольники равные, прямоугольные,
круги одинаковые. Чему равен радиус кругов?
http://mbo88.narod.ru/task10.jpg

11. f(x) - гладкая (по меньшей мере дважды дифференцируемая) функция,
выпуклая вверх (пишу так, поскольку возможно разное толкование ;)) на интервале
[a,b]. В какой точке интервала площадь между кривой и касательной к ней
в этой точек минимальна?

12. n- натуральное число, 2n+1 - точный квадрат. Показать, что n+1 -
сумма двух квадатов.

13. Вплотную к стене стоит кубический ящик с ребром 1м. Лестница длиной 7м
стоит на полу, прислонена к стене, и касается ящика. На какой высоте
лестница прислонена к стене?

← →
BiN © (2004-11-05 09:20) [1]

3. Весь табун, очевидно

← →
SergP © (2004-11-05 09:30) [2]

> 8. Найти, какие цифры соответствуют каким буквам.
>
>
> UNITED
> +
> STATES
> --------
> AMERICA
>
> дополнительные пояснения будут даны, если будет замечен
> подвох ;)

Подвох наверное заключается в том что различных букв 11, а цифр только 10

← →
Dmitriy O. © (2004-11-05 09:31) [3]

1. Вопрос "Какое число Вы загадали ?"

← →
MBo © (2004-11-05 09:33) [4]

>Подвох наверное заключается в том что различных букв 11, а цифр только 10
Да.
Система 11-ричная.

← →
Alx2 © (2004-11-05 09:46) [5]

3. 4003 лошади

← →
MBo © (2004-11-05 09:51) [6]

>Alx2 © (05.11.04 09:46) [5]
>3. 4003 лошади

Верно

← →
Alx2 © (2004-11-05 09:59) [7]

2. "Навскидку" : 9090 номеров.

← →
BiN © (2004-11-05 10:00) [8]

Alx2 © (05.11.04 09:46) [5]
3. 4003 лошади

Ах да, точно...

← →
NeyroSpace © (2004-11-05 10:13) [9]

1. Полярники...
1.Больше первой половины 12/2?
2.Больше первой половины 6/2?
3.Больше 2?
4.Больше 1?
т.е. получается простое дерево, где от каждого узла отходит 2е ветви.

← →
NeyroSpace © (2004-11-05 10:24) [10]

NeyroSpace © (05.11.04 10:13) [9]
ой вру:-\

← →
Alx2 © (2004-11-05 10:39) [11]

5. 0

← →
Sandman25 © (2004-11-05 10:40) [12]

1) Можно найти даже больше - число от 0 до 15. Записываем все эти числа в двоичной системе, и распределяем единички по пингвинам.

1 2 3 4
1
2
3 3
4
5 5
...
То есть, четвертый пингвин спрашивает - это число 1,3,5,7,9,11,13 или 15?
И т.д.
По ответам пингвинов можно будет найти число.
Пример - да, нет, да, да - число 1011(2)=11(10) Одиинадцать.

← →
NeyroSpace © (2004-11-05 10:40) [13]

1. Полярники...

1. Делиться ли без остатка на 3?
да - 3,6,9,12
нет - 1,2,4,5,7,8,10,11

2. Если 3,6,9,12, то больше 7?
получаем пары 9, 12 и 3,6
3. если 9, 12. Это 9?
3. если 3,6. Это 3?

2. Если 1,2,4,5,7,8,10,11, то делится ли на 2 без остатка?
получаем наборы: 2,4,8,10
и 1,5,7,11
3. Если 2,4,8,10, то больше 5?
3. Если 1,5,7,11 то больше 6?
4. Если 2,4, то это 2?
4. Если 8,10, то это 8?
4. Если 1,5, то это 5?
4. Если 7,11, то это 7?

Вроде в четыре уложился.

← →
Sandman25 © (2004-11-05 10:41) [14]

1 2 3 4 1 2 3 3 4 5 5

← →
NeyroSpace © (2004-11-05 10:42) [15]

Sandman25 © (05.11.04 10:40) [12]
Точно, я стормозил.

← →
VICTOR_ (2004-11-05 10:44) [16]

4.
0.39
0.35
0.26

← →
Alx2 © (2004-11-05 10:46) [17]

6. 3*r/(2*sqrt(3)-3)

← →
Alx2 © (2004-11-05 10:47) [18]

>Alx2 © (05.11.04 10:46) [17]
6. r*(3+2*sqrt(3)) (более удобный вид)

← →
Alx2 © (2004-11-05 11:00) [19]

11.
Пусть x0 in (a,b)
Задача сводится (после дифференцирования под знаком интеграла) к -1/2*f"(x0)*(-b+a)*(a-2*x0+b) так как выпуклость вверх, то для любого x0 in (a,b) выполняется f"(x)<0.
Отсюда сразу видно решения: x0 = (a+b)/2
То есть площадь между функцией и касательной минимальна, если касательная касается функции в середине итервала (a,b)

← →
VICTOR_ (2004-11-05 11:11) [20]

9.
Решение нашел за 3 мин. Приведу позднее, если никто не ответит ;)

← →
Alx2 © (2004-11-05 11:38) [21]

10. sqrt(3)/6

← →
Rem © (2004-11-05 11:41) [22]

1.

Логичесткое решение:

В1. Больше 6? "Да" - В2. Больше 9? "Да" - В3. 11? "Да" - Ответ: 11 "Нет" - В4: 10? "Да" - Ответ: 10 "Нет" - Ответ: 12 "Нет" - В3. 8? "Да" - Ответ: 8 "Нет" - В4: 7? "Да" - Ответ: 7 "Нет" - Ответ: 9 "Нет" - В2: Больше 3? "Да" - В3: 5? "Да" - Ответ: 5 "Нет" - В4: 4? "Да" - Ответ: 4 "Нет" - Ответ: 6 "Нет" - В3: 1? "Да" - Ответ: 1 "Нет" - В4: 2? "Да" - Ответ: 2 "Нет" - Ответ: 3

Математическое решение - через двоичное представление числа. Разбить на разряды - и задавать вопрос о "0" или "1" в соответствующем разряде.

← →
wal © (2004-11-05 11:47) [23]

1. А пингвины отправляются все сразу или один туда-сюда, а затем второй и т.д.?

С уважением.

← →
Alx2 © (2004-11-05 11:48) [24]

>Alx2 © (05.11.04 11:38) [21]
Сорри, наврал.
Вот ответ:
10. r=(sqrt(3)-1)/4

← →
Rem © (2004-11-05 11:50) [25]

[22] Логичесткое :)))

← →
Sandman25 © (2004-11-05 11:54) [26]

9. 6210010000

← →
Sandman25 © (2004-11-05 11:55) [27]

9. Точнее 6210001000

← →
VICTOR_ (2004-11-05 11:57) [28]

> >Alx2 © (05.11.04 10:46) [17]
> 6. r*(3+2*sqrt(3)) (более удобный вид)

Пришел к такому же результату. Решал через квадратное уравнение.

← →
VICTOR_ (2004-11-05 12:02) [29]

> 9. Точнее 6210001000

ОК
:)

← →
Alx2 © (2004-11-05 12:04) [30]

>VICTOR_ (05.11.04 11:57)
там проще.
Радиус описанной окружности для треугольника из центров гиней есть R_o = 2*R/sqrt(3). в то же время R_o = r+R; Получаем 2*R/sqrt(3)= r+R, откуда находим R

← →
Alx2 © (2004-11-05 12:07) [31]

12.

2*n+1 = m^2
Тогда n+1 = (m^2+1)/2.
Пусть m = 2*a+1
тогда (m^2+1)/2= a^2 + a^2 + 2*a + 1 = a^2 + (a+1)^2

Доказано.

← →
GuAV © (2004-11-05 12:26) [32]

2. 10000

← →
GuAV © (2004-11-05 12:27) [33]

Например первые 4 знака - любые, а пятый равен первому знаку.

Точнее нет, облом, ошибся.

4. 50/116, 45/116, 21/116

Ну про 1. все понятно, простая совсем.

Верные ответы:
2. GuAV
10000

4. Agent13
50/116, 45/116, 21/116

6.Alx2
3*r/(2*sqrt(3)-3)

9. Sandman25 VICTOR_
6210001000

10. Alx2
r=(sqrt(3)-1)/4

11. Alx2 © (05.11.04 11:00) [19]
x0 = (a+b)/2
но можно и без дифференцирования, с использованием трапеции

не решено пока:
5 7 8 13

6)R=r*sqrt(3)/(2-sqrt(3))

← →
VICTOR_ (2004-11-05 13:44) [39]

8.
Насчитал 11 букв :(

5. Точка пересечения с осью OX есть 2*R+sqrt(4*R^2-r^2)

Поэтому при r = 0 ответ 4*R

>Alx2 © (05.11.04 13:44) [40]
>5. Точка пересечения с осью OX есть 2*R+sqrt(4*R^2-r^2)
>Поэтому при r = 0 ответ 4*R
Верно

>VICTOR_ (05.11.04 13:44) [39]
>8.Насчитал 11 букв :(
В этом и подвох, см. [4]

13. Задача некорректна ИМХО. При достаточно большом коэффициенте трения между лестницей и полом ответом является отрезок, а не точка.

13.
h = 1/2+5/2*sqrt(2)-1/2*sqrt(47-10*sqrt(2)) ~ 1.169444915

>Sandman25 © (05.11.04 13:50) [42]
Задача геометрическая, а не физическая.
возможно, я не совсем понятно обрисовал.
Прямоугольный треугольник с гипотенузой 7, в него (в прямой угол) вписан квадрат со стороной 1. Найти длинный катет.

>Alx2 © (05.11.04 13:53) [43]
>13.h = 1/2+5/2*sqrt(2)-1/2*sqrt(47-10*sqrt(2)) ~ 1.169444915
Правильно ;)
Я длинный катет считал 6.901622895, но они равноправны при данном мной условии

1. N-ный пингвин должен спросить равен ли N-ный разряд числа единице в двоичном представлении.

Пятничная разминка. Занятные задачки Найти похожие ветки