Пятничная разминка. Задачки попроще и сложные.

← →
MBo © (2004-10-29 10:40) [0]

1. Города А и В стоят на реках, впадающих в озеро.
Длительность путешествий на теплоходе из А в В и из В в А одинакова: t часов.
Найти протяженность маршрута, если скорости течений рек v1 и v2, собственная скорость теплохода v

2. Задача Архимеда:
Два цилиндра диаметром 1 пересекаются крестом под прямым углом. Каков объем общей части?
(было, но не решено доступными Архимеду средствами :)

3. В очереди за билетом случайно выстроились N1 человек к с рублями
и N2 человек с двушками. Билет стоит рубль, денег в кассе изначально нет.
Какова вероятность того, что у кассира будут проблемы со сдачей?

4. Можно ли на обыкновенной бумаге в клетку нарисовать выпуклый пятиугольник
так, чтобы все его вершины были в узлах, и больше ни одного узла ему не
принадлежало?
(тоже было, не решили, а идея в общем несложная)

5. Оценить, насколько изменяется длина светового дня для пассажира поезда Новосибирск-Москва.

6. В произвольный треугольник вписан эллипс имеющий максимально
возможную для вписанных эллипсов площадь.
В какой точке находится центр этого эллипса?

7. Симплекс в N-мерном пространстве - это правильный многогранник с (N+1)
вершинами, и длиной ребер = 1. К чему стремится при N->inf радиус описанной
сферы ?

N=1 R=1/2 отрезок
N=2 R=1/sqrt(3) треугольник
N=3 R=sqrt(3/8) тетраэдр...
N=inf R=???

8. Из двух гоpодов Добpуйска и Бодpуйска, pасскояние между котоpыми pавно 40 км,
навсpечу дpуг дpугу одновpеменно выехали два велосипедиста Доби и Боди. Доби
пеpедвигался со скоpостью 23 км/ч, а Боди- со скоpостью 17 км/ч.
Пеpед отпpавлением на нос Доби села муха, котоpая в момент его выезда из гоpода
полетела по напpавлению к Бодpуйску со скоpостью 40 км/ч. Муха встетилась с Боди
тут же повеpнула обpатно и полетела по напpавлению к Добpуйску со скоpостью
30 км/ч.(Дело в том,что от Добpуйска к Бодpуйску дул ветеp). Встpетившись с
Доби, муха вновь повеpнула обpатно и т.д. Опpеделить суммаpный путь, котоpый
пpолетела муха до момента встpечи велосипедистов. (Скоpость мухи в каждом
напpавлении не менялась).

9. Пусть P - полином с целыми коэффициентами. Доказать, что не существуют
различные целые a, b, c, такие что
P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a.

10. Две лестницы прислонены к параллельным вертикальным стенкам
так, что основание лестницы длиной A стоит на земле возле одной стены,
а лестницы длиной B - у другой, и перекрещиваются на высоте h.
Найти расстояние между стенами D.

← →
Мирон © (2004-10-29 12:09) [1]

8. 40 км

← →
MBo © (2004-10-29 12:32) [2]

>Мирон © (29.10.04 12:09) [1]
>8. 40 км
Неа. Невнимательно условие прочитал.

← →
Alx2 © (2004-10-29 12:49) [3]

>10.
Представим лестницы в виде прямых. Центр системы координат разместим в точке пересечения. Тогда прямые запишутся в виде alpha1*x+beta1*y=0, alpha2*x+beta2*y=0.
Так как перекрещивание происходит на высоте h, то в нашей системе координат она соответствует y=-h.
Подставляя y=-h в уравнения прямых получим значения x1 и x2 - ординаты точек, обозначающих места касания прямых и стенок.
Соответственно, подставляя x1 и x2 в уравнения прямых найдем абсциссы y1 и y2 точек касания прямых и вертикальных стенок "вверху".
Исходя из этих соображений находим высоты от уровня -h до точки касания лестниц:
L1 = h + k*h; L2 = h + 1/k*h;
В то же время L1^2 = a^2-d^2, L2^2=b^2-d^2.
Получаем систему уравнений:
a^2-d^2 = (h + k*h)^2
b^2-d^2 = (h + 1/k*h)^2

Ее решаем относительно k и d.

Она сводится к нахождению корней полинома четвертой степени. Так что далее - рутина.

← →
Cosinus © (2004-10-29 12:54) [4]

1) 1/2(V1+V2)*((V+V2)/(V-V2)-(V-V1)/(V+V1))

← →
Alx2 © (2004-10-29 12:56) [5]

>Alx2 © (29.10.04 12:49)

Перепутал абсциссы с ординатами - дожил :)

← →
MBo © (2004-10-29 13:13) [6]

>Cosinus © (29.10.04 12:54) [4]
Неверно, в том числе по размерности.
Время t будет участвовать в ответе, естественно.

← →
Vit@ly © (2004-10-29 13:26) [7]

1. t/v

← →
ghg © (2004-10-29 13:26) [8]

8. 35 км

← →
ghg © (2004-10-29 13:29) [9]

6. точка пересечения биссектрис

← →
Vit@ly © (2004-10-29 13:36) [10]

Vit@ly © (29.10.04 13:26) [7]
Пардон:
v*t

← →
Cosinus © (2004-10-29 13:36) [11]

> MBo © (29.10.04 13:13) [6]

Ой... Ступил... Ща...
> Vit@ly © (29.10.04 13:26) [7]

Какая то странная размерность для расстояния час^2/км ... :)))

← →
MBo © (2004-10-29 13:42) [12]

[7,8,9] - неверно.

← →
Oksana © (2004-10-29 13:52) [13]

1)2vt

← →
Vit@ly © (2004-10-29 13:53) [14]

1. t*(v^2 - 2*v1*v2)/v
или возможно в другом виде (смотря до какого состояния упрощать выражение)

← →
MBo © (2004-10-29 14:02) [15]

>Vit@ly © (29.10.04 13:53) [14]
>1. t*(v^2 - 2*v1*v2)/v

Верно.

← →
MBo © (2004-10-29 14:10) [16]

>Vit@ly © (29.10.04 13:53) [14]
>1. t*(v^2 - 2*v1*v2)/v

Пардон, неверно, но очень похоже, сразу не заметил

← →
jack128 © (2004-10-29 14:14) [17]

2Vit@ly © хм.. Нет, мне этого не понять..Как вы от длины озера избавляетесь??

← →
MBo © (2004-10-29 14:14) [18]

>Vit@ly © (29.10.04 13:36) [10]
>v*t
Кстати, тоже вариант :) - но для неинтересного случая, когда устья рек не рядом, а города стоят на них, т.е. непосредственно на озере ;)

← →
Vit@ly © (2004-10-29 14:16) [19]

Vit@ly © (29.10.04 13:53) [14]
1. t*(v^2 - 2*v1*v2)/v
Опечатка :(
t*(v^2 - v1*v2)/v

← →
Мирон © (2004-10-29 14:18) [20]

2. (пи - 2)/2

← →
MBo © (2004-10-29 14:30) [21]

>Опечатка :(
>t*(v^2 - v1*v2)/v
Да, так.

>jack128 © (29.10.04 14:14) [17]
>Как вы от длины озера избавляетесь??
Хм.. Я считал, что путь по озеру нулевой, т.е. реки в одну точку впадают, иначе, как кажется, данных недостаточно.

← →
ghg © (2004-10-29 14:34) [22]

8. переходим в систему отсчета Доби, тогда он стоит. Боди движется со скоростью 40 км. Муха туда летит со скоростью 17 км/ч обратно 53 км/ч.
теперь смотрим как летит муха. Она будет пролетать одинаковое расстояние со скоростью 17 и 53, тогда средняя скорость ее будет 35 км/ч.
Соответственно когда Боди проедет 40 км, то муха пролетит 35.
Теперь осталось учесть то что все считали в другой системе отсчета.
то есть нужно еще прибавить скорость системы отсчета умноженное на время (1 час).
то есть 35+23=58 км

ответ 58 км.

← →
MBo © (2004-10-29 14:34) [23]

>Мирон © (29.10.04 14:18) [20]
>2. (пи - 2)/2
неверно

← →
MBo © (2004-10-29 14:34) [24]

>Мирон © (29.10.04 14:18) [20]
>2. (пи - 2)/2
неверно

← →
jack128 © (2004-10-29 14:35) [25]

MBo © (29.10.04 14:30) [21]
реки в одну точку впадают, иначе, как кажется, данных недостаточно.
Предупреждать же надо ;-)
Про задачу с бумагой в клетку - нет, нельзя. Все варианты перебрал - ничего не получилось..

← →
ghg © (2004-10-29 14:42) [26]

8. кароче ответ такой
263/7 км, что примерно значит 37.6

← →
MBo © (2004-10-29 14:44) [27]

>jack128 © (29.10.04 14:35) [25]
>Про задачу с бумагой в клетку - нет, нельзя.
Доказательcтво?

← →
jack128 © (2004-10-29 14:44) [28]

jack128 © (29.10.04 14:35) [25]
А может и можно. если считать выпуклым - 5угольник с одним из углов = 180 градусов :-)

← →
MBo © (2004-10-29 14:46) [29]

ghg © (29.10.04 14:42) [26]
8. кароче ответ такой
263/7 км
Верно. А какой путь решения?

← →
ghg © (2004-10-29 15:03) [30]

>MBo © (29.10.04 14:46) [29]
ну начнем с того что я учился на ФФ НГУ

а считал так
как я уже говорил выше переходим в другую систему отсчета, та м определяем какое количество времени муха летит со скоростью 40 и со скоростью 30 (соотношение между временами), которое равно будет 53/17
ну а дальше уже просто

← →
SergP © (2004-10-29 15:05) [31]

10.
Пока получилось:
1/h=1/sqrt(A^2-D^2)+1/sqrt(B^2-D^2)

Но выразить отсюда D пока не могу, так как нужно на работу идти...

← →
SergP © (2004-10-29 15:06) [32]

10.
Пока получилось:
1/h=1/sqrt(A^2-D^2)+1/sqrt(B^2-D^2)

Но выразить отсюда D пока не могу, так как нужно на работу идти...

← →
ghg © (2004-10-29 15:10) [33]

5. увеличивается на 1.25 %

← →
Alx2 © (2004-10-29 15:10) [34]

>SergP © (29.10.04 15:06) [32]
У нас одинаковое получилось по-сути.
D выразить - решать полином 4-й степени.

← →
Мирон © (2004-10-29 15:28) [35]

2. 2/3

← →
pasha_golub © (2004-10-29 15:39) [36]

9.
Let P(x)=k(n)x^n + k(n-1)x^(n-1) + ... + k1x + k0; => P(a) = k(n)a^n + k(n-1)a^(n-1) + ... + k1a + k0 = b; P(b) = k(n)b^n + k(n-1)b^(n-1) + ... + k1b + k0 = c; P(c) = k(n)c^n + k(n-1)c^(n-1) + ... + k1c + k0 = a; => k(n)a^n + k(n-1)a^(n-1) + ... + k1a = b - k0 = b"; k(n)b^n + k(n-1)b^(n-1) + ... + k1b = c - k0 = c"; k(n)c^n + k(n-1)c^(n-1) + ... + k1c = a - k0 = a"; => a * (k(n)a^(n-1) + k(n-1)a^(n-2) + ... + k1) = b"; b * (k(n)b^(n-1) + k(n-1)b^(n-2) + ... + k1) = c"; c * (k(n)c^(n-1) + k(n-1)c^(n-2) + ... + k1) = a"; допустим, что a & b & c <> 0 => (k(n)a^(n-1) + k(n-1)a^(n-2) + ... + k1) = b"/a = b""; (k(n)b^(n-1) + k(n-1)b^(n-2) + ... + k1) = c"/b = c""; (k(n)c^(n-1) + k(n-1)c^(n-2) + ... + k1) = a"/c = a"";

Переносим k1 и так до победного конца, а ежели что-то из чисел = нулю, то... вообщем, очевидно. :)

← →
MBo © (2004-10-29 16:27) [37]

>SergP © (29.10.04 15:06) [32]
>10. Пока получилось:
>1/h=1/sqrt(A^2-D^2)+1/sqrt(B^2-D^2)
Да, это правильно. Решение - корень уравнения 4-й степени, выражать уже ни к чему

>Мирон © (29.10.04 15:28) [35]
>2. 2/3
Число правильное.
А получено интегрированием или методами, доступными ученику 8-9 класса?

>ghg © (29.10.04 15:03) [30]
можно и так:
u - доля часа, когда муха летела с 40 км/ч
23= u*40-(1-t)*u

>pasha_golub © (29.10.04 15:39) [36]
А если использовать тот факт, что разность n-ых степеней двух чисел делится на разность этих чисел?

>5. увеличивается на 1.25 %
У меня несколько не так получилось.

для дальних стран :) приведу примерные исходные данные : поезд идет 3 суток на запад, расстояние 3000 км, оба города на 56 параллели.

← →
Мирон © (2004-10-29 16:33) [38]

MBo © (29.10.04 16:27) [37]
Поучено путем моделирования в Autocad"e :-)
Пытаюсь теперь получить честным путем...

← →
ghg © (2004-10-29 16:55) [39]

вообще говоря поезд из новосиба в москву идет двое суток

← →
Мирон © (2004-10-29 16:55) [40]

Мирон © (29.10.04 16:33) [38]
Кстати, доступно ученику 8-9 классов и даже младше ;)

← →
Agent13 © (2004-10-29 17:10) [41]

> Кстати, доступно ученику 8-9 классов и даже младше ;)

Но не во времена Архимеда :) А вообще я тоже частенько балуюсь тем, что задачи на вероятность в Делфи решаю :)

← →
MBo © (2004-10-29 17:12) [42]

>ghg © (29.10.04 16:55) [39]
>вообще говоря поезд из новосиба в москву идет двое суток
2,5 суток Сибиряк, 3 суток обычный, на порядок оценки это существенно не повлияет

← →
Silla © (2004-10-29 17:37) [43]

> 8. Из двух гоpодов Добpуйска и Бодpуйска, pасскояние между

Скорость мухи 35 км/ч
Скорость ветра 5 км/ч
Встретились через 1 час
значит суммарное расстояние, которое пролетела муха 35 км
если в дебри не залазить.

← →
Мирон © (2004-10-29 17:42) [44]

Silla © (29.10.04 17:37) [43]
Это расстояние муха пролетела относительно воздуха...

← →
VICTOR_ (2004-10-29 19:50) [45]

5. Увеличился на 4.24%

← →
проф. Д.В. Беклемишев (2004-10-29 23:17) [46]

Почему в 6 не пересечение биссектрис?

← →
проф. Д.В. Беклемишев (2004-10-30 00:25) [47]

ступил, давайте разбираться

>VICTOR_ (29.10.04 19:50) [45]
>5. Увеличился на 4.24%
У меня оценка того же порядка. Соображения такие:
Длина 56 параллели 40000*Сos(56)~22000 км.
Для наблюдателя, движужегося на запад со скоростью 1000 км/сутки,
угловая скорость врашения будет в 21/22 раза меньше, чем для статичного.

>проф. Д.В. Беклемишев
>6
Идея такая (возможно, нестрогая) - наибольший эллипс, вписанный в равносторонний тр-к, есть круг, центр которого находится в точке пересечения всех замечательных отрезков ;)
Произвольный треугольник получается из правильного при некотором аффинном преобразовании, а при аффинных преобразованиях углы не сохраняются, а вот соотношение частей, на которые разделен некий отрезок (в данном случае середина стороны) - сохраняется. Поэтому искомая точка - пересечение медиан

>Мирон © (29.10.04 16:33) [38]
>Пытаюсь теперь получить честным путем...
Подсказка - использовать сечения

← →
VICTOR_ (2004-10-30 16:30) [49]

> У меня оценка того же порядка. Соображения такие:
> Длина 56 параллели 40000*Сos(56)~22000 км.

У меня вышло 23588 км, при условии, что Земля - шар :)

8. Велосипедисты и муха все встретились в 23 км. от Добруйска.
Муха часть времени t летела "туда" и 1-t - обратно.
Поэтому 40*t-30*(1-t)=23=> t=53/70;
Общий путь мухи 40*t+30*(1-t)= = 263/7:

7.
N=inf R=sqrt(2)/2
Решение: ищем рекурентную зависимость.
При N=1 имеем R=1/2.
При N=2. Добавляем третью вершину к отрезку с требованием равенства единицы поковой стороны. Высота вершины будеть sqrt(1-(1/2)^2) = sqrt(3)/2.
Радиус описанной окружности найдем как среднее арифметическое координат точек полученного правильного треугольника. Полагая, что основание лежит на оси y=0, получим координату y центра описанной окружности как 1/3*sqrt(3)/2. Радиусом будет величина (1-1/3)*sqrt(3)/2 = 1/sqrt(3).
Аналогично для тетраэдра.
Таким образом, квадрат радиуса симплекса для N измерений есть:
R(n)^2 = (n/(n+1))^2*(1-R(n-1)^2)

Или R(n) = sqrt(1/2*n/(n+1))
Предел при n->inf есть 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2.

3. Рискну предположить, что N2/(N1+N2).

← →
Fenik (2004-10-31 11:16) [55]

3. N2!*N1!/(N1+N2)!

>Fenik (31.10.04 11:16) [55]
Формула получилась симметричной - несколько странно. Получается, что вероятность отсутствия сдачи при общей численности народа в 100 человек и одним человеком с двухрублевой монетой такая же как
вероятность отсутствия сдачи для очереди из 100 человек и только с одним человеком с монетой в один рубль.

← →
Fenik (2004-10-31 11:58) [57]

← →
Fenik (2004-10-31 12:08) [59]

Возможно будет 1 - (N1+N2)!/N1!

← →
Fenik (2004-10-31 12:52) [60]

Упс. 1 - N1!/(N1+N2)!

← →
Fenik (2004-10-31 16:40) [61]

>Fenik (31.10.04 12:52) [60]

И это неверно. Придется на листочке расписать.

← →
Fenik (2004-10-31 20:05) [62]

3. N2/(N1+1) вот такая красота :))

>Fenik (31.10.04 20:05) [62]
Не-а :)

N2=10, N1=1 тогда вероятность будет аж 5. ;-)

← →
Fenik (2004-10-31 20:11) [64]

3. P = 1/2*(1+N2)*N2/(N2+N1+N2*N1)

>Fenik (31.10.04 20:11) [64]
>P := Min(N2/(N1+1), 1)

Ага, вот это верно!

Пятничная разминка. Задачки попроще и сложные. Найти похожие ветки