Пятничные задачки. И простые и сложные...

← →
MBo © (2004-09-24 09:54) [0]

1. Сколькими способами из чисел 1, 2 ... 2n можно выбрать два или больше так,
чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n + 1?

2. На углу Встречной и Поперечной какой-то разиня оставил грабли.
На них наступили от 92,5% до 92,8% всех прохожих.
Определить минимально возможное число прохожих.

3. В лес пошло 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n^2 + 9n - 2 гриба,
причем все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек?

4. Один из пяти братьев испек маме пирог.
Андрей сказал: <Это Витя или Толя".
Витя сказал: <Это сделал не я и не Юра".
Толя сказал: <Вы оба шутите".
Дима сказал: <Нет, один из них сказал правду, а другой - нет".
Юра сказал: <Нет Дима, ты не прав".
Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

5. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков
и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш
(партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6.
Не ошибся ли кто-нибудь из них?

6. Влажность огypцов весом 100 кг составляет 99%.
В pезyльтате yсyшки влажность понизилась на 1%.
Какой вес огypцов после yсyшки?

7. В ромбе меньшая диагональ, сторона и большая диагональ составляют
геометрическую прогрессию. Hайти его (ромба) углы.

8. В.Пупкин, молодой ассистент одной из математических кафедp N-ского
унивеpситета, скучал на заседании кафедpы. Его взгляд блуждал, останавливаясь то
на затылках сидящих впеpеди доцентов, то на лице заведующего, то на поpтpете
одного из светил российской математической науки, висевшем над головой
завкафедpой, левее таблицы фактоpиалов натуpальных чисел, не пpевосходящих 25.
Под поpтpетом были указаны имя и годы жизни ученого. От нечего делать Пупкин
пеpемножил год pождения светила на год pождения завкафедpой. Поскольку доклад
последнего о меpопpиятиях по повышению качества учебного пpоцесса в
пpедстоящем учебном году все не кончался, Пупкин домножил полученное пpоизведения на год
своего pождения, а затем на годы pождения маячивших впеpеди доцентов.
"Сосчитав" последнего доцента Пупкин с удивлением обнаpужил, что pезультат его
усеpдных вычислений совпал с одним из чисел в таблице фактоpиалов.

В каком году pодился Пупкин? Поpтpет какого математика он лицезpел на заседании
кафедpы. Сколько доцентов сидело между Пупкиным и завкафедpой?

9. При каком наименьшем целом положительном n число 2^n начинается с цифры 9
(естественно, задача аналитическая, решается без компьютера)

10. Снегопад в городе начался до полудня и продолжался с одинаковой
интенсивностью. В полдень бригада рабочих приступила к уборке снега с шоссе.
За первые 2 часа они очистили 2 километра, за следующие 2 часа - только 1 км
(за равные промежутки времени бригада убирала раные объемы снега).
В котором часу пошел снег?

11. Найти основание системы счисления меньше 100, в которой число 2101
будет точным квадратом

← →
Sandman25 © (2004-09-24 09:58) [1]

3. Тупое решение перебором n от 1 до 11 принимается?

← →
MBo © (2004-09-24 10:01) [2]

>Sandman25
можно и без перебора решить

← →
Думкин © (2004-09-24 10:20) [3]

3. Девочек. :)) "Потому что на 10 девчонок по статистике 9 ребят". Всю дорогу так.

← →
Nikolay M. © (2004-09-24 10:27) [4]

11. 8

← →
Vlad Oshin © (2004-09-24 10:30) [5]

Маша собирает ведро грибов за час
Петя собирает ведро грибов за час
А вместе они собирают ведро грибов за день. Парадокс :)

← →
Sandman25 © (2004-09-24 10:33) [6]

9. 53. log9=0.95... log2=0.301...
Грубая прикидка: (log9-3*0.3)/(log2-0.3) = 52.7

← →
Думкин © (2004-09-24 10:37) [7]

11. 3

← →
Nikolay M. © (2004-09-24 10:41) [8]

> Думкин © (24.09.04 10:37) [7]

Как так получилось? И что за число?

← →
Sandman25 © (2004-09-24 10:42) [9]

4. Толя. Из 3 первых высказываний только 1 врет. Потому что из 4-5 всегда только 1 верно.

← →
Думкин © (2004-09-24 10:43) [10]

> [8] Nikolay M. © (24.09.04 10:41)

11. Запиши число в ситеме к, попробуй разложить на множители. И потребуй, чтобы было квадратом. А число - так посчитай, ты же программист. :))

← →
Nikolay M. © (2004-09-24 10:46) [11]

> Думкин © (24.09.04 10:43) [10]

В моей 8-ричной системе 41^2 = 2101. Даже виндовый калькулятор это подтверждает. А вот насчет твоей троичной - это вопрос... :))

← →
Vit@ly © (2004-09-24 10:49) [12]

7. Вроде не имеет решения, поскольку при любом основании геометрической прогрессии, имеем
сумма двух сторон меньше большей диагонали?

← →
Думкин © (2004-09-24 11:00) [13]

> [11] Nikolay M. © (24.09.04 10:46)

В восьмиричной 41^2(10)=1681(10) == 3221(8).

> [12] Vit@ly © (24.09.04 10:49)

Решение есть - но у меня оно к простым углам никак - только арккосинусы некрасивые. :( с ключевым - 2+sqrt(3)

← →
Nikolay M. © (2004-09-24 11:04) [14]

> Думкин © (24.09.04 11:00) [13]
> > [11] Nikolay M. © (24.09.04 10:46)
>
> В восьмиричной 41^2(10)=1681(10) == 3221(8).

41^2(OCT) = (4*8 + 1)^2(DEC) = 1089(DEC)

← →
Думкин © (2004-09-24 11:06) [15]

> [11] Nikolay M. © (24.09.04 10:46)

Да и твое катит. А у меня
8^2(10)=64(10)=2*3^3+3^2+1(10)=2101(3)=22^2(3)

← →
Nikolay M. © (2004-09-24 11:11) [16]

> Думкин © (24.09.04 11:06) [15]

Ага, твое - тоже :)
Не исключено, что могут еще варианты быть.

← →
Rem (2004-09-24 11:14) [17]

2. 250

← →
Sandman25 © (2004-09-24 11:16) [18]

2. 1000

← →
MBo © (2004-09-24 12:01) [19]

>Думкин
>Nikolay M.
11. 3 и 8 - оба подходят.
Больше вариантов нет.

>Sandman25 © (24.09.04 10:33) [6]
9. Ну где-то так ;) 2^53
4. Да, Толя.

← →
clickmaker © (2004-09-24 12:04) [20]

> 6. Влажность огypцов весом 100 кг составляет 99%.
> В pезyльтате yсyшки влажность понизилась на 1%.
> Какой вес огypцов после yсyшки?

99 вода, 1 сухая масса
99 - 99 * 0.01 = 98.01 - стало воды + 1 кг сухой массы = 99.01

← →
MBo © (2004-09-24 12:12) [21]

>clickmaker © (24.09.04 12:04) [20]
неа ;)

← →
clickmaker © (2004-09-24 12:37) [22]

> [21] MBo © (24.09.04 12:12)
> >clickmaker © (24.09.04 12:04) [20]
> неа ;)

Хм... вроде же логично рассуждал...

← →
Alx2 © (2004-09-24 12:42) [23]

>clickmaker © (24.09.04 12:37) [22]
50 кг :)

← →
begin...end © (2004-09-24 12:43) [24]

6. 50 кг.

← →
clickmaker © (2004-09-24 12:46) [25]

> [23] Alx2 © (24.09.04 12:42)
> [24] begin...end © (24.09.04 12:43)

Объясните тупому, как вышли на это число?

← →
begin...end © (2004-09-24 12:49) [26]

> [25] clickmaker © (24.09.04 12:46)

Пусть x - масса огурцов мосле усушки. Тогда, так как их влажность составляет 98% по условию, масса воды в них: 0,98х, а масса сухих огурцов: 0,02х. Масса сухих огурцов, очевидно, после усушки не изменилась. Поэтому: 0,02х = 100 * 0,01 (в исходных огурцах сухих был 1%). Отсюда: х = 50.

← →
Alx2 © (2004-09-24 12:50) [27]

x/(x+1)=0.98; =>x+1=50

← →
MBo © (2004-09-24 12:51) [28]

>clickmaker
было и осталось, как ты уже говорил, 1 кг сухой массы.
Если влажность стала 98%, то это составляет 2%, т.е. всего - 50 кг стало.

← →
clickmaker © (2004-09-24 12:56) [29]

> [28] MBo © (24.09.04 12:51)

Да, каюсь, не с той стороны зашел... :)

← →
Alx2 © (2004-09-24 13:07) [30]

8. Рискну предложить подошедший вариант:

21! = 1980*1960*1976*1944*1920*1785

1785 - год рождения светила. Им может быть, например, ЧИЖОВ Дмитрий Семенович (1785-1852)

1980 - год рождения ассистента Пупкина.
1920 - предположительно, зав. кафедрой :)

Три доцента сидели между пупкиным и зав. кафедрой.

← →
di © (2004-09-24 13:07) [31]

Вообще-то в 6 сказано влажность понизилась на 1%, а не что-то типа "процент влажности понизился на единицу"

← →
begin...end © (2004-09-24 13:16) [32]

> [31] di © (24.09.04 13:07)

> Вообще-то в 6 сказано влажность понизилась на 1%, а не что-то
> типа "процент влажности понизился на единицу"

Ты видишь здесь существенную разницу?

А может быть, здесь имеется в виду относительная влажность, т.е. отношение парциального давления водяных паров над поверхностью огурцов к давлению насыщенного водяного пара при данной температуре? :-)

← →
MBo © (2004-09-24 13:22) [33]

>Alx2 © (24.09.04 13:07) [30]
Вау, тоже вариант.
В моем 1792 (Лобачевский) 1938,1944,1950,1960,1980

← →
clickmaker © (2004-09-24 13:23) [34]

10. 11:00

← →
di © (2004-09-24 13:24) [35]

> Ты видишь здесь существенную разницу?

Изменение на х процентов подразумевает изменение на долю, а не изменение доли на х.
Поэтому стало не 98, а 98.01

ИМХО

← →
MBo © (2004-09-24 13:30) [36]

>clickmaker © (24.09.04 13:23) [34]
неверно. Задача, кстати, довольно сложная.

← →
Skyle © (2004-09-24 13:45) [37]

10. 10 часов?

← →
Alx2 © (2004-09-24 13:48) [38]

10. В 10 часов 45 минут и 50.15 секунд. :))
В десятичной записи - 10.76393202

← →
MBo © (2004-09-24 13:50) [39]

Alx2 © (24.09.04 13:48) [38]
10. В 10 часов 45 минут и 50.15 секунд. :))

верно

← →
clickmaker © (2004-09-24 13:52) [40]

> [35] di © (24.09.04 13:24)
> Изменение на х процентов подразумевает изменение на долю,
> а не изменение доли на х.
> Поэтому стало не 98, а 98.01

Если предположить, что понижение влажности на 1% - это уменьшение количества воды на 1% (как я и сделал вначале), то так

← →
MBo © (2004-09-24 13:59) [41]

Все-таки в задаче об огурцах подразумевалось, что влажность стала 98%. Наверно, мне стоило так и написать.

← →
clickmaker © (2004-09-24 14:11) [42]

> 2. На углу Встречной и Поперечной какой-то разиня оставил
> грабли.
> На них наступили от 92,5% до 92,8% всех прохожих.
> Определить минимально возможное число прохожих

Т.е. нужно найти минимальное целое, 92,5% от которого тоже будет целым? Тогда 1000

← →
Alx2 © (2004-09-24 14:15) [43]

>clickmaker © (24.09.04 14:11) [42]
>минимальное целое, 92,5% от которого тоже будет целым?
>Тогда 1000
Проверь, например, 40 :)

а для 92.8 - 125.

А вот их наименьшее общее кратное - 1000

← →
Sandman25 © (2004-09-24 14:19) [44]

92.8%-92.5%=0.3% должно быть целым. Поэтому только 1000.

← →
Alx2 © (2004-09-24 14:24) [45]

7. 30 30 150 150

← →
Sandman25 © (2004-09-24 14:28) [46]

5. Вероятно, невозможно разбить эту последовательность на две последовательности A и B, такие, что их длины равны 7 и 8, а сумма всех элементов одинакова. Доказывать лень :)

← →
Думкин © (2004-09-24 14:29) [47]

> [45] Alx2 © (24.09.04 14:24)

Удвоил углы, а я сидел смотрел на половинки - :))

← →
Igorek © (2004-09-24 14:31) [48]

> 1. Сколькими способами из чисел 1, 2 ... 2n можно выбрать
> два или больше так,
> чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n +
> 1?
Вроде очевидно. Данную сумму можно получить только собственно из 2^n и 1. Потому берем все возможные комбинации кроме одной.
Вообще все комбинации - 2^(n+1).
Колл. невозможных комбинаций - 1 + (n + 1).

Итого:
K = 2^(n+1) - (1 + (n + 1)) - 1 = 2^(n+1) - n - 1.

← →
Sandman25 © (2004-09-24 14:32) [49]

5. 37. Невозможно подобрать последовательность из 7 членов с этой суммой. Если берем 3, то остается последовательность из 6 членов суммой 34 (6,6,6,6,?,? - пятерка только одна, четверок нет). Если берем 5, то остается последовательность из 6 членов суммой 32 (6, 6, 6, 6, 6, ? - двоек нет, пятерка уже занята)

← →
Думкин © (2004-09-24 14:33) [50]

> [48] Igorek © (24.09.04 14:31)

2+2n-1=2n+1 Степеней нету тут.

← →
MBo © (2004-09-24 14:35) [51]

>Sandman25 © (24.09.04 14:28) [46]
Так доказательство в одну строчку...

← →
Sandman25 © (2004-09-24 14:35) [52]

1. Сколькими способами из чисел 1, 2, 3, 4, ... 2n можно выбрать два или больше так, чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n + 1?
В общем, for I := 1 to 2*n do :)

← →
Sandman25 © (2004-09-24 14:37) [53]

[51] MBo © (24.09.04 14:35)

Понятно. Переходим к работе с остатками при делении на 3. Имеем все нули, кроме 1. Получить 2 последовательности с равными суммами невозможно.

← →
MBo © (2004-09-24 14:39) [54]

>Igorek © (24.09.04 14:31) [48]
Направление верное, но предпосылки ошибочны.
Эту сумму сожно получит, например, из 1 и 2n, 2 и 2n-1 и т.д.

>Думкин © (24.09.04 14:33) [50]
степени будут...

>Sandman25 © (24.09.04 14:32) [49]
ну или так - сумма 74, половинка - 37. Из данных чисел нельзя составить 37 (кроме 5, все делится на 3)

> Потому берем все возможные комбинации кроме одной.

Тут неправильно. Кроме 2^(n+1-2).
Итого:
K = 2^(n+1) - (1 + (n + 1)) - 2^(n+1-2).

> Думкин © (24.09.04 14:33) [50]
> > [48] Igorek © (24.09.04 14:31)
>
> 2+2n-1=2n+1 Степеней нету тут.

> MBo © (24.09.04 14:39) [54]
> >Igorek © (24.09.04 14:31) [48]
> Направление верное, но предпосылки ошибочны.
> Эту сумму сожно получит, например, из 1 и 2n, 2 и 2n-1 и
> т.д.
>
> >Думкин © (24.09.04 14:33) [50]
> степени будут...

Я не понял. 2n - это 2^n?

← →
SergP. (2004-09-24 14:52) [58]

> 2. На углу Встречной и Поперечной какой-то разиня оставил
> грабли.
> На них наступили от 92,5% до 92,8% всех прохожих.
> Определить минимально возможное число прохожих.

27

>SergP. (24.09.04 14:52) [58]
Блин...
Единственный, кто верно понял условие :)

> [54] MBo © (24.09.04 14:39)
> >Думкин © (24.09.04 14:33) [50]
> степени будут...

В ответе - ради бога. Я про то, что у тебя не степени.

> [59] Alx2 © (24.09.04 14:55)

Да, развод получился. :)

Насчет 1.
Ага - 2n это и есть 2*n.

> MBo © (24.09.04 14:39) [54]
> Эту сумму сожно получит, например, из 1 и 2n, 2 и 2n-1 и
> т.д.

Как? 2 + 2*(n-1) = 2*n
Отнимать ведь нельзя. Или можно?

2n-1 = 2*n-1 != 2*(n-1)

>SergP. (24.09.04 14:52) [58]
>27
Ага ;)
Не зря я не комментировал до поры до времени;))

>Igorek © (24.09.04 15:56) [62]
Как я понимаю, сомнения в следующем:
2n + 1 означает 2*n+1, а не 2 в степени n

1.
пусть n=5, будет 2n=2*5=10 чисел
выписываем их в порядке возрастания
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
сочетания 1,10;2,9;...;5,6 нежелательны
они равноудалены от концов ряда
отсюда ясно что число сочетаний из 10 чисел по четыре(к примеру) где будут нежелательные пары чисел будет равно
С(8,2)+C(6,2)+C(4,2)+С(2,2)=C
то есть сочетания из ряда чисел между 1 и 10; между 2 и 9 и тд.
теперь можно получить число сочетаний без нежелательных пар чисел
C(10,4)-C
к общему виду лень приходить
P.S.
расскажите кто-нибудь как со снегом решали?я наверно, в условии что-то не понял...

> MBo © (24.09.04 16:09) [64]
> >Igorek © (24.09.04 15:56) [62]
> Как я понимаю, сомнения в следующем:
> 2n + 1 означает 2*n+1, а не 2 в степени n

Ага. Изначально я подумал что 2n - это 2 в степени n.

поторопился я с [65]
в C не все комбинации учитываются

> 1. Сколькими способами из чисел 1, 2 ... 2n ...
Фу ты. Наконец то я понял. 1, 2, 3, ... 2n

Итак колл разных пар из которых можно составить сумму 2n + 1 равно P = (n + 1) div 2

Потому надо исключить все комбинации, в которых есть эти пары.
Для одной пары существует P1 = 2^(n+1-2)=2^(n-1) выборок при которых она входит.
Всего имеем P*P1 выборок.

Вообще все комбинации - 2^(n+1).
Колл. невозможных комбинаций (меньше 2 чисел) - 1 + (n + 1).

Имеем:
K = 2^(n+1) - (1 + (n + 1)) - P*P1
= 2^(n+1) - n - 2 - (((n + 1) div 2) * 2^(n-1))

Правильно?

Igorek © (24.09.04 19:43) [68]
откуда формулы типа 2^(n+1) берёшь?
"2n можно выбрать два или больше так"
так нужно чтобы параметром в решение входило число указыв-ся по скольку чисел мы делаем выборки или нужно суммировать по всем значениям параметра?

по [65] можно вывести только C немного подправить

← →
SergP. (2004-09-24 21:03) [72]

7.

pi/12 и 11*pi/12

т.е. если в градусах, то 15 и 165

← →
SergP. (2004-09-25 09:45) [73]

1.

У меня получается K = 3^n - n - 1

← →
SergP. (2004-09-25 10:03) [74]

> У меня получается K = 3^n - n - 1

Блин. Ошибся.
K = 3^n - 2*n - 1

>SergP. (25.09.04 10:03) [74]
1. K = 3^n - 2*n - 1
Верно!

7.
pi/12 и 11*pi/12
т.е. если в градусах, то 15 и 165

Неа ;)
Ты не первый кое-что упустил

← →
SergP. (2004-09-25 15:15) [76]

> Неа ;)
> Ты не первый кое-что упустил

Хм. странно.
Допустим a, с - диагонали ромба
b- сторона

b^2=a*c
4*b^2=a^2+c^2

отсюда:

a^2-4ac+c^2=0

Решаем например относительно a

a=(2+-sqrt(3))*c

отсюда видно что тангенс половины одного из углов равен tg(x)= 2+-sqrt(3)

Теперь тангенс целого угла = 2/(tg(x/2)-ctg(x/2)) =
= 2/(2+sqrt(3)-(2-sqrt(3))) = 1/sqrt(3)

Блин. Действительно ошибка.
Угол 30 градусов и соотв 150 градусов

← →
SergP. (2004-09-25 15:20) [77]

> Теперь тангенс целого угла = 2/(tg(x/2)-ctg(x/2))

т.е. тангенс целого угла = 2/(сtg(x/2)-tg(x/2)) вроде бы.

Хотя в принципе от этого ничего не меняется

Пятничные задачки. И простые и сложные... Найти похожие ветки