Пятничные задачки (прошу не судить строго)

← →
Думкин © (2004-07-16 07:16) [0]

МВо в отгуле, поэтому восполню чем нашел. К сожалению, поиском не озадачился, поэтому приведу что есть.

1. cos(2*pi/7)+cos(4*pi/7)+cos(8*pi/7)+1/2 = ?
2. В эллипсоид x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 вписать прямой эллиптический цилиндр (ось цилиндра совпадает с осью эллипсоида) максимального объема.
3. A(n)=1/n * ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) Найти предел A(n) при n стремящемся к бесконечности
4. R(x,k)=1/2^k*tg(x/2^k). R(x)= сумма(R(x,k)) k=1,2,.... Вычислить R(x)
5. (1-1/2+1/3-1/4.....-1/200)-(1/101+1/102+.....1/200)=???
6. Про чернила(молоко). Два стакана с молоком и чернилами. Берем каплю молока и капаем в чернила, перемешиваем - и смесью в молоко. Чего в чем больше?
7. Есть квадрат, в углах черепахи. Строна квадрата 1. Черепахи ползают 1 мм в минуту. Каждая из своего угла видит соседку по часовой стрелке. Начинают двигаться так что каждая движется на соседку. Где и через сколько времени они встретятся?

← →
Dmitriy O. © (2004-07-16 07:57) [1]

1.0
3.0
4.0
5.0
6.одинаково
7.посредине

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:00) [2]

4. R(x)=1/x-ctg(x)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:06) [3]

> [2] Alx2 © (16.07.04 09:00)

4. верно. Быстро однако. :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:08) [4]

> [2] Alx2 © (16.07.04 09:00)

4. Правда есть одна неточность. :)

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:12) [5]

>Думкин © (16.07.04 09:08) [4]
Ты про ноль? R(0)=0 :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:26) [6]

> [5] Alx2 © (16.07.04 09:12)

Ага, про него. %)

← →
Ertong © (2004-07-16 09:49) [7]

1. 0
6. =
7. никогда и нигде :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:52) [8]

> [7] Ertong © (16.07.04 09:49)
1. Да
6. Да
7. Нет

Неплохо бы приводить и методы решения, в этих задачах это самое интересное.

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:56) [9]

1, 3, и 5 Dmitry O отгдал.
3. решается так: ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) < (2*n)^(1/n) -> 1 => предел = 0
про 5-ю пока не придумал :)

← →
Думкин © (2004-07-16 10:15) [10]

> [9] Alx2 © (16.07.04 09:56)

3. Нет ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) >n+1

← →
Ertong © (2004-07-16 10:17) [11]

cos(2*p/7)+cos(4*p/7) + cos(8*p/7) + 1/2 =
(2*sin(2*p/7)*cos(2*p/7)+2*sin(2*p/7)*cos(4*p/7) +2*sin(2*p/7)*cos(8*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
(sin(4*p/7)+sin(6*p/7)-sin(2*p/7)+sin(10*p/7)-sin(6*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
(sin(4*p/7)-sin(2*p/7)-sin(4*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
-sin(2*p/7)/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
-1/2 + 1/2=0

← →
Ertong © (2004-07-16 10:18) [12]

Это было 1

← →
Ertong © (2004-07-16 10:21) [13]

> 7. Нет

Согласен! Они будут ползти по спирали:) Т.е. встретятся в центре.

← →
Думкин © (2004-07-16 10:25) [14]

> Ertong ©

1. Жуть. Я через комплексные. %-)
7. Но когда? Разумеется, принимаем, что сами черепашки точечные.

← →
Кщд © (2004-07-16 10:36) [15]

3.) 2
Alx2 © (16.07.04 09:56) забыта степень

← →
Кщд © (2004-07-16 10:38) [16]

Думкин © (16.07.04 07:16)
7.) единица измерения стороны квадрата?

← →
Думкин © (2004-07-16 10:39) [17]

> [15] Кщд © (16.07.04 10:36)

3. Нет

← →
Думкин © (2004-07-16 10:40) [18]

> [16] Кщд © (16.07.04 10:38)

Си - 1 метр.

← →
Rouse_ © (2004-07-16 11:29) [19]

5 = 2х2
док-во:
25-20-5 = 20-16-4;
5х(5-4-1) = 4х(5-4-1);
5 = 4;
5 = 2х2

:)

← →
Думкин © (2004-07-16 11:36) [20]

> [19] Rouse_ © (16.07.04 11:29)

Ну-ну.
(5-4.5)^2=(2*2-4.5)^2
(5-4.5)=(2*2-4.5)
5=2*2

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:21) [21]

Думкин © (16.07.04 11:36) [20]
Мне еще софизм про доказательство 1=-1 нравится, через комплексные числа, только вот не помню. :0(

Не встречал?

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:31) [22]

Думкин © (16.07.04 11:36) [20]
Должно быть:
(5-4.5)^2=(2*2-4.5)^2
|(5-4.5)|=|(2*2-4.5)|
...

← →
Dmitriy O. © (2004-07-16 12:34) [23]

> 1, 3, и 5 Dmitry O отгдал.

Кто сказал что отгадал ? решил в уме первее всех
а набивать д-во просто лень.

← →
Думкин © (2004-07-16 12:35) [24]

> [21] pasha_golub © (16.07.04 12:21)
> Не встречал?

Не помню. :-(
Должно не должно, а как остальные задачи?

Пост [1] не рассматриваю, как провокацию.

1. Решена.
2. Нет
3. Нет
4. Решена (пояснения были в Асе)
5. Нет
6. Решена
7. Нет

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:49) [25]

Думкин © (16.07.04 12:35) [24]
Остальные не решал. Психологически не могу, когда кто-то уже нашел решение и я об этом знаю. :-(

← →
nikkie © (2004-07-16 13:51) [26]

7. про черепах. задачу и сопровождающую картинку когда-то видел, но решение не читал, поэтому почти честно решаю ;)

симметрия положения черепах сохраняется, поэтому они всегда расположены в вершинах некоторого квадрата,

пусть сторона квадрата a, площадь квадрата S(0)=a^2, скорость черепах v. рассмотрим малое приращение времени dt. можно считать, что ползли черепахи по сторонам квадрата (реальное движение будет отличаться на малое более высокого порядка, чем dt, вроде как). тогда по теореме Пифагора площадь нового квадрата S(dt)=(a-v*dt)^2 + (v*dt)^2. считаем производную: S"(0)=lim (S(dt)-S(0))/dt = -2v. она не зависит от размера квадрата, следовательно в любой момент времени будет такой. резюме: площадь квадрата уменьшается линейно, черепахи сойдутся в центре через a^2/(2v).

← →
nikkie © (2004-07-16 13:58) [27]

5. 0, док-во: индукция.

← →
Думкин © (2004-07-16 14:03) [28]

> [26] nikkie © (16.07.04 13:51)

7. Нет.

← →
Думкин © (2004-07-16 14:03) [29]

> [27] nikkie © (16.07.04 13:58)

5. Да.

← →
eukar (2004-07-16 14:36) [30]

> nikkie © (16.07.04 13:51) [26]
> 7. про черепах. a^2/(2v).

даже и с размерностью как-то не так...

← →
Думкин © (2004-07-17 05:47) [31]

1. Решена.
2. Нет
3. Нет
4. Решена (пояснения были в Асе)
5. Решена
6. Решена
7. Нет

← →
SergP © (2004-07-17 06:12) [32]

> [26] nikkie © (16.07.04 13:51)
> 7.
> площадь квадрата уменьшается линейно,

Площадь квадрата не может уменьшаться линейно. Сторона в принципе может, но не площадь

Я вобще-то рассуждал так:
Очевидно что в любой момент времени направление движения любой черепахи перпендикулярно направлению движения ее соседки по часовой стрелке, на которую она движется. Следовательно черепахе до встречит с этой соседкой по часовой стрелке нужно пройти всего то же самое расстояние, которое было между ними с самого начала, т.е. равное стороне исходного квадрата. А зная это растояние и скорость - время тоже вычисляется

> [34] SergP © (17.07.04 07:05)

Да это так, только у nikkie есть мат. строгость, про малые и т.п.
Значит:
7. Решена. 1000 мин?
Осталось 2 и 3.

2. Пусть a - большая полуось. Тогда a*sqrt(2) - высота цилиндра, вписанного в эллипсоид.

3. 4/e где e - основание натуральных логарифмов

Для 3. решение следущее:
(n+1)(n+2)...2n) = (2*n)!/n!
Асимптоту факториала даст формула Стирлинга. Исходя из этого, асимптота (2*n)!/n! есть sqrt(2)*4^n/((1/n)^n*exp(n)).
Возведя в степень 1/n это выражение и поделив на n получим
4*2^(1/2*1/n)*exp(-1). Откуда и находим предел.

2. 4*sqrt(3)/9*Pi*c*b*a - объем вписанного прямого эллиптического цилиндра

> [42] Alx2 © (18.07.04 10:45)

2. Верно. И видим симметрию по отношению к осям, отсюда вывод....

> [41] Vit@ly © (18.07.04 10:38)

Таких уже нет. Но...
1. ни одно решение не приведено полностью, кроме 1.
2. Я считаю, что эти задачи интересны сами по себе как и все пятничные. Это не для мерки. В "Кванте" был раздел для младших школьников, в котором выкладывались задачи и решения не рассматривались редколлегией журнала. Это для читателей и не более, но сами решения потом выкладывались. А вот в задачнике Кванта было соревнование. Тут его нет, простоо решай. :-)

>1. ни одно решение не приведено полностью, кроме 1.
Что значит не было приведено полностью? То есть не было разжевано?

Что касается задачи 2.:
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 - эллипсоид
x^2/d^2+y^2/f^2 = 1 - эллиптический цилиндр (пока его направляем вдоль оси z). 2*c*sqrt(1-f^2/b^2) и 2*c*sqrt(1-d^2/a^2) - минимальное из этих значений даст высоту впсианного эл. цилиндра (даные значения находятся либо подстановкой, либо, что проще, через полином Лагранджа). Рассмотрим случай: f^2/b^2>d^2/a^2
тогда высота цилиндра = 2*c*sqrt(1-f^2/b^2). Снова методом Лаграджа ищем d и f, которые дадут максимальный объем.
Объем элиптического цилиндра есть Pi*f*d*2*c*sqrt(1-f^2/b^2). При этом соблюдаем ограниение, что f^2/b^2>d^2/a^2. То есть f^2=d^2*b^2/a^2+eps^2, где eps - просто "заглушка", чтобы выболнить неравенство.
Лагранджиан будет иметь вид: Pi*f*d*2*c*sqrt(1-f^2/b^2)+lambda*(f^2-(d^2*b^2/a^2+eps^2)) -> max ;
Решая систему уравнений, составленную из производных данного выражения по f, d, lambda и eps получим, что максимум доставляет решение
lambda = 1/3*Pi*c*sqrt(3)*a/b,
d = 1/3*sqrt(6)*a,
f = 1/3*sqrt(6)*b,
eps = 0

Равенсто eps=0 говорит о равнозначности выбора осей эллипса и независимости максимального объема вписанного эллиптического цилиндра от взаимного раположения величин a,b,c.

Подставляя полученное решение в выражение для объема, получим
V = 4/9*Pi*b*a*c*sqrt(3).

> [44] Alx2 © (18.07.04 20:49)

Угу. Значит вполне можно решать и другим, ибо абсолютго разжеванных нет.
И не надо разжевывать - ответы есть и хватит.

Пятничные задачки (прошу не судить строго) Найти похожие ветки