Пятничные задачки (прошу не судить строго)

← →
Думкин © (2004-07-16 07:16) [0]

МВо в отгуле, поэтому восполню чем нашел. К сожалению, поиском не озадачился, поэтому приведу что есть.

1. cos(2*pi/7)+cos(4*pi/7)+cos(8*pi/7)+1/2 = ?
2. В эллипсоид x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 вписать прямой эллиптический цилиндр (ось цилиндра совпадает с осью эллипсоида) максимального объема.
3. A(n)=1/n * ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) Найти предел A(n) при n стремящемся к бесконечности
4. R(x,k)=1/2^k*tg(x/2^k). R(x)= сумма(R(x,k)) k=1,2,.... Вычислить R(x)
5. (1-1/2+1/3-1/4.....-1/200)-(1/101+1/102+.....1/200)=???
6. Про чернила(молоко). Два стакана с молоком и чернилами. Берем каплю молока и капаем в чернила, перемешиваем - и смесью в молоко. Чего в чем больше?
7. Есть квадрат, в углах черепахи. Строна квадрата 1. Черепахи ползают 1 мм в минуту. Каждая из своего угла видит соседку по часовой стрелке. Начинают двигаться так что каждая движется на соседку. Где и через сколько времени они встретятся?

← →
Dmitriy O. © (2004-07-16 07:57) [1]

1.0
3.0
4.0
5.0
6.одинаково
7.посредине

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:00) [2]

4. R(x)=1/x-ctg(x)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:06) [3]

> [2] Alx2 © (16.07.04 09:00)

4. верно. Быстро однако. :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:08) [4]

> [2] Alx2 © (16.07.04 09:00)

4. Правда есть одна неточность. :)

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:12) [5]

>Думкин © (16.07.04 09:08) [4]
Ты про ноль? R(0)=0 :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:26) [6]

> [5] Alx2 © (16.07.04 09:12)

Ага, про него. %)

← →
Ertong © (2004-07-16 09:49) [7]

1. 0
6. =
7. никогда и нигде :)

← →
Думкин © (2004-07-16 09:52) [8]

> [7] Ertong © (16.07.04 09:49)
1. Да
6. Да
7. Нет

Неплохо бы приводить и методы решения, в этих задачах это самое интересное.

← →
Alx2 © (2004-07-16 09:56) [9]

1, 3, и 5 Dmitry O отгдал.
3. решается так: ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) < (2*n)^(1/n) -> 1 => предел = 0
про 5-ю пока не придумал :)

← →
Думкин © (2004-07-16 10:15) [10]

> [9] Alx2 © (16.07.04 09:56)

3. Нет ((n+1)(n+2)...2n)^(1/n) >n+1

← →
Ertong © (2004-07-16 10:17) [11]

cos(2*p/7)+cos(4*p/7) + cos(8*p/7) + 1/2 =
(2*sin(2*p/7)*cos(2*p/7)+2*sin(2*p/7)*cos(4*p/7) +2*sin(2*p/7)*cos(8*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
(sin(4*p/7)+sin(6*p/7)-sin(2*p/7)+sin(10*p/7)-sin(6*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
(sin(4*p/7)-sin(2*p/7)-sin(4*p/7))/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
-sin(2*p/7)/(2*sin(2*p/7)) + 1/2=
-1/2 + 1/2=0

← →
Ertong © (2004-07-16 10:18) [12]

Это было 1

← →
Ertong © (2004-07-16 10:21) [13]

> 7. Нет

Согласен! Они будут ползти по спирали:) Т.е. встретятся в центре.

← →
Думкин © (2004-07-16 10:25) [14]

> Ertong ©

1. Жуть. Я через комплексные. %-)
7. Но когда? Разумеется, принимаем, что сами черепашки точечные.

← →
Кщд © (2004-07-16 10:36) [15]

3.) 2
Alx2 © (16.07.04 09:56) забыта степень

← →
Кщд © (2004-07-16 10:38) [16]

Думкин © (16.07.04 07:16)
7.) единица измерения стороны квадрата?

← →
Думкин © (2004-07-16 10:39) [17]

> [15] Кщд © (16.07.04 10:36)

3. Нет

← →
Думкин © (2004-07-16 10:40) [18]

> [16] Кщд © (16.07.04 10:38)

Си - 1 метр.

← →
Rouse_ © (2004-07-16 11:29) [19]

5 = 2х2
док-во:
25-20-5 = 20-16-4;
5х(5-4-1) = 4х(5-4-1);
5 = 4;
5 = 2х2

:)

← →
Думкин © (2004-07-16 11:36) [20]

> [19] Rouse_ © (16.07.04 11:29)

Ну-ну.
(5-4.5)^2=(2*2-4.5)^2
(5-4.5)=(2*2-4.5)
5=2*2

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:21) [21]

Думкин © (16.07.04 11:36) [20]
Мне еще софизм про доказательство 1=-1 нравится, через комплексные числа, только вот не помню. :0(

Не встречал?

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:31) [22]

Думкин © (16.07.04 11:36) [20]
Должно быть:
(5-4.5)^2=(2*2-4.5)^2
|(5-4.5)|=|(2*2-4.5)|
...

← →
Dmitriy O. © (2004-07-16 12:34) [23]

> 1, 3, и 5 Dmitry O отгдал.

Кто сказал что отгадал ? решил в уме первее всех
а набивать д-во просто лень.

← →
Думкин © (2004-07-16 12:35) [24]

> [21] pasha_golub © (16.07.04 12:21)
> Не встречал?

Не помню. :-(
Должно не должно, а как остальные задачи?

Пост [1] не рассматриваю, как провокацию.

1. Решена.
2. Нет
3. Нет
4. Решена (пояснения были в Асе)
5. Нет
6. Решена
7. Нет

← →
pasha_golub © (2004-07-16 12:49) [25]

Думкин © (16.07.04 12:35) [24]
Остальные не решал. Психологически не могу, когда кто-то уже нашел решение и я об этом знаю. :-(

← →
nikkie © (2004-07-16 13:51) [26]

7. про черепах. задачу и сопровождающую картинку когда-то видел, но решение не читал, поэтому почти честно решаю ;)

симметрия положения черепах сохраняется, поэтому они всегда расположены в вершинах некоторого квадрата,

пусть сторона квадрата a, площадь квадрата S(0)=a^2, скорость черепах v. рассмотрим малое приращение времени dt. можно считать, что ползли черепахи по сторонам квадрата (реальное движение будет отличаться на малое более высокого порядка, чем dt, вроде как). тогда по теореме Пифагора площадь нового квадрата S(dt)=(a-v*dt)^2 + (v*dt)^2. считаем производную: S"(0)=lim (S(dt)-S(0))/dt = -2v. она не зависит от размера квадрата, следовательно в любой момент времени будет такой. резюме: площадь квадрата уменьшается линейно, черепахи сойдутся в центре через a^2/(2v).

← →
nikkie © (2004-07-16 13:58) [27]

5. 0, док-во: индукция.

← →
Думкин © (2004-07-16 14:03) [28]

> [26] nikkie © (16.07.04 13:51)

7. Нет.

← →
eukar (2004-07-16 14:36) [30]

1. Решена.
2. Нет
3. Нет
4. Решена (пояснения были в Асе)
5. Решена
6. Решена
7. Нет

> [26] nikkie © (16.07.04 13:51)
> 7.
> площадь квадрата уменьшается линейно,

Площадь квадрата не может уменьшаться линейно. Сторона в принципе может, но не площадь

Я вобще-то рассуждал так:
Очевидно что в любой момент времени направление движения любой черепахи перпендикулярно направлению движения ее соседки по часовой стрелке, на которую она движется. Следовательно черепахе до встречит с этой соседкой по часовой стрелке нужно пройти всего то же самое расстояние, которое было между ними с самого начала, т.е. равное стороне исходного квадрата. А зная это растояние и скорость - время тоже вычисляется

> [34] SergP © (17.07.04 07:05)

Да это так, только у nikkie есть мат. строгость, про малые и т.п.
Значит:
7. Решена. 1000 мин?
Осталось 2 и 3.

2. Пусть a - большая полуось. Тогда a*sqrt(2) - высота цилиндра, вписанного в эллипсоид.

3. 4/e где e - основание натуральных логарифмов

Для 3. решение следущее:
(n+1)(n+2)...2n) = (2*n)!/n!
Асимптоту факториала даст формула Стирлинга. Исходя из этого, асимптота (2*n)!/n! есть sqrt(2)*4^n/((1/n)^n*exp(n)).
Возведя в степень 1/n это выражение и поделив на n получим
4*2^(1/2*1/n)*exp(-1). Откуда и находим предел.

Пятничные задачки (прошу не судить строго) Найти похожие ветки