Пятничная разминка. Простенькие задачки.

← →
MBo © (2004-06-18 09:12) [0]

1. Абрахам, хилый старик, подрядился выкопать канаву за 2 доллара.
Он нанял Бенджамина, здоровенного парня, чтобы тот ему помог.
Деньги они должны были поделить в соответствии с "копательными"
способностями каждого. Абрахам копает так же быстро, как Бенджамин
выбрасывает грунт, а Бенджамин копает в четыре раза быстрее, чем Абрахам
выбрасывает грунт. Каким образом они должны поделить деньги?
Разумеется, соотношение сил старика и молодого человека как при копке,
так и при выбрасывании грунта мы принимаем одинаковым.

2. Один парень задал в 1930 г. следующий вопрос:
Он знал человека, который умер в возрасте, составлявшем 1/29
от года его рождения. Сколько лет было этому человеку в 1900 г.?

3. Один читатель сообщил в журнал, что к полудню 11 ноября 1928 г. он
прожил в XIX в. ровно столько же, сколько и в XX.
Будем считать, что он родился в полдень- найти дату рождения?

4. Находясь на одном из эскалаторов метро, пассажир обнаружил, что,
прошагав 26 ступенек, спустился бы до платформы за 30 с. Но если бы он
прошагал 34 ступеньки, весь спуск занял бы 18 с. Сколько ступенек в эскалаторе?
Время измеряется от момента, когда верхняя ступенька начинает опускаться,
до схода с последней ступеньки на платформу.

5. Когда пудинг положили на одну чашку весов, то они показали на 4 г больше,
чем 9/11 его истинного веса. Когда же его положили на другую чашку,
то весы показали на 48 г больше, чем в первом случае. Каков истинный вес пудинга?

6. Одна женщина понесла на рынок яйца и какую-то их часть продала.
На следующий день ее курочки постарались, удвоили количество оставшихся яиц,
и она продала столько же, сколько и в предыдущий день. На третий день новый
остаток был утроен, и женщина продала столько же яиц, сколько и в предыдущие
дни. На четвертый день новый остаток учетверился, на пятый - упятерился,
причем женщина ежедневно продавала одинаковое количество яиц. На исходе
пятого дня все яйца были проданы.
Какое наименьшее количество яиц могла понести на рынок женщина в первый день
и по скольку яиц она продавала ежедневно?

В задачах на нахождение чисел интересует не ответ, а рассуждения.

7. Найти число, при делении на которое три числа 480 608, 508 811 и 723 217
давали бы один и тот же остаток.

8. Найти четырехзначное число, первые 2 цифры которого одинаковы, последние две
тоже одинаковы, и оно является точным квадратом.

9. Из А в В выехал велосипедист, одновременно из В в А - мотоциклист.
Они встретились в 14 часов. Если бы вел. двигался вдвое быстрее, они
встретились бы в 13.30, а если бы мот. двигался вдвое быстрее, они
встретились бы в 13.12. В какое время они выехали?

10. Найти четырехзначное число, которое в 4 раза меньше числа,
записанного теми же цифрами в обратном порядке

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:26) [1]

2. 44 года.

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:29) [2]

10. 2178

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:32) [3]

5. 154 гр.

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:36) [4]

Про рассуждения забыл :)
10. 1000*a+100*b+10*c+d=(1000*d+100*c+10*b+a)/4;
Следовательно a = 2*n1, b = n1+2*n2, c = 90*n1+13*n2-83*n3, d = 3*n1+5*n3. При n1=1,n2=0,n3=1 получаем приемлемый вариант

← →
MBo © (2004-06-18 09:37) [5]

>5. 154 гр.
Это не единственный вариант

← →
Anatoly Podgoretsky © (2004-06-18 09:42) [6]

1. Абрахам его обманет

← →
MBo © (2004-06-18 09:45) [7]

>Абрахам его обманет
Это как пить дать ;))

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:49) [8]

8. a^2=1000*c+100*c+10*d+d =>
c = n2, a = 11*n1, d = 11*n1^2-100*n2
при n1=8,n2=7 получим a =88 и a^2=7744

← →
Alx2 © (2004-06-18 09:58) [9]

7. 1 (руссуждать нечего вроде-бы:))

← →
Alx2 © (2004-06-18 10:07) [10]

7. Еще вариант: 79.

← →
Думкин © (2004-06-18 10:22) [11]

3. найти

← →
Sandman25 © (2004-06-18 10:32) [12]

7. 79. Нашел без компьютера :)

← →
Bless © (2004-06-18 10:34) [13]

А что значит "соотношение сил старика и молодого человека как при копке, так и при выбрасывании грунта мы принимаем одинаковым."?

То есть Бенджамин копает настолько же быстрее Арбахама насколько и выбрасывает?

Тогда неясно как делить. 2 доллара на 3 части не делится.

← →
Bless © (2004-06-18 10:41) [14]

Абрахам его таки точно обманет

← →
Sandman25 © (2004-06-18 10:47) [15]

6. 60, 103

← →
Думкин © (2004-06-18 10:54) [16]

> Alx2 © (18.06.04 09:49)

Можа иначе:
a^2=1000*c+100*c+10*d+d =>
a^2/11 = 100 * c +d =>
a^2/11/11 => c+d=11 => a^2/121=9c+1=10(c-1)+d - точный квадрат
c=7 d=4

← →
Bless © (2004-06-18 11:27) [17]

Sandman25[12]> А как рассуждал?

Я так:
Пусть N - искомый делитель
508 811 = 480 608 + 28 203
723 217 = 480 608 + 242 609
То есть, все три числа будут давать одинаковый остаток, если
28 203 и 242 609 делятся на N без остатка. А дальше
28 203 = 3*7*17*79. Из этих множителей число 242 609 делится только на 79.

← →
eukar (2004-06-18 11:38) [18]

Sandman25 © (18.06.04 10:47) [15]
6. 60, 103

То есть она продала 103 яйца из 60?

← →
Bless © (2004-06-18 11:44) [19]

3. 21 февраля 1872 года?

← →
Alx2 © (2004-06-18 12:02) [20]

>Думкин © (18.06.04 10:54)
У тебя проще :)
А мне пришлось смотреть где 11*n1^2-100*n2 принимает допустимые значения

← →
Alx2 © (2004-06-18 12:18) [21]

5. Второе решение: при условии, что весы коромысло-based :) и рычаг у весов неодинаков, пудинг имеет массу 143 гр. Соотношение плеч весов = 11/13.

← →
MBo © (2004-06-18 12:27) [22]

>Sandman25 © (18.06.04 10:47) [15] 6. 60, 103
угу, 103, 60

>Bless © (18.06.04 10:34) [13]
> 2 доллара на 3 части не делится.
Тут Абрахам и обманет ;)
А соотношение 2:1 верное.

3. 21 февраля 1872 года?
нет

← →
MBo © (2004-06-18 12:30) [23]

>Bless [19]
Ты, возможно, ошибся в том, когда наступает новый век

← →
Bless © (2004-06-18 12:35) [24]

MBo[23]>
Я считал, что с 1 января 1900 года. Это не так?

← →
Sandman25 © (2004-06-18 12:40) [25]

[17] Bless © (18.06.04 11:27)

Точно так же :)

← →
MBo © (2004-06-18 12:52) [26]

>Я считал, что с 1 января 1900 года. Это не так?
нет. нулевого года от Р.Х. не было - сразу первый, век начинается c xx01-го года.

← →
default © (2004-06-18 14:01) [27]

4.46

← →
Bless © (2004-06-18 14:12) [28]

MBo[26]>
Ну тогда 19 февраля 1874 года

← →
MBo © (2004-06-18 14:26) [29]

>default © (18.06.04 14:01) [27]
>4.46
верно

>Bless © (18.06.04 14:12) [28]
>Ну тогда 19 февраля 1874 года
опять где-то прокололся
Правильно - 19 февраля 1873 г.

← →
Igorek © (2004-06-18 14:27) [30]

Отвечу как программист - абсолютно верно и абсолютно бесполезно (для поднятия настроения) :-))) :

> 1. Каким образом они должны поделить деньги?
Как хотят, так пускай и делят. В условии не сказано, что они хотят получить адекватно трудозатратам.

> 2. Один парень задал в 1930 г. следующий вопрос:
> Он знал человека, который умер в возрасте, составлявшем
> 1/29
> от года его рождения. Сколько лет было этому человеку в
> 1900 г.?
"1900 - год рождения". В условии не сказано, что надо назвать число а не формулу.

И т.д. Кто так тоже может - пишите. Думаю MBo не обидится. hi!

← →
default © (2004-06-18 14:34) [31]

9. 13,5 ч

← →
default © (2004-06-18 14:46) [32]

[31] - не так

← →
марсианин © (2004-06-18 15:08) [33]

1. Бенжамину отдадут 2/3 зарплаты = 4/3 бакса)

3. год рождения равен 1871. 1900 - 28 и еще - 1 т.к. 1928 год уже начался..
1928 - высокосный год, 366 дней минус (31+(30-11)) = 316.. 11 ноября = 316-ый день 1928-го года (забыли пока про полдень)

365 - 316 = 49.. и минус еще день.. тк. в ХХ веке было на 1 29 февраля больше (1900г - тоже высокосный)
на 48-ый день 1871-го года. т.к. был полдень - отсчитываем 12 часов назад = полдень 47-ого дня! - 31 (январь) = 16 февраля. 1871 г.
намудрил, да?)

← →
MBo © (2004-06-18 15:09) [34]

>1900г - тоже высокосный
неправда. И 1900 г - это 19 век

← →
SergP © (2004-06-18 15:13) [35]

Блин. Не успел. Только в инет зашел, как тут уже решение задачек идет полным ходом... :-(((

> 1900г - тоже высокосный

С чего это вдруг?

← →
марсианин © (2004-06-18 15:14) [36]

не! + еще 1 день (в 1872 тоже 366 дней!).. 17-го февраля!

← →
марсианин © (2004-06-18 15:18) [37]

в XIX веке не было высокосных, я чего-то не знаю?)))

MBo © (18.06.04 15:09) [34]
Вы абсолютны правы! значит еще 2 накидываем) 19-го..

← →
марсианин © (2004-06-18 16:01) [38]

еще год надо поправить.. тогда 18-го февраля 1873

← →
Bless © (2004-06-18 16:02) [39]

Так что 1900 - не высокосный? А как я тогда число угадал ? :)

>в XIX веке не было высокосных

Народ, скажите мне, как вы пятую задачку решали!

← →
Bless © (2004-06-18 16:15) [40]

9. Кажется мне, что в условии недостаточно фактов для единственного решения. То бишь вариантов - бесчисленное множество. Один из них: в 12 часов. Скорость велосипедиста - 1 км/ч, мотоциклиста - 2 км/ч (по болоту и в гору наверное ехали :))

← →
default © (2004-06-18 16:15) [41]

9.12.864 ч?

← →
default © (2004-06-18 16:16) [42]

Bless © (18.06.04 16:15) [40]
у меня получилось точно, но больно уж шаманским было решение...

← →
Bless © (2004-06-18 17:01) [43]

default © (18.06.04 16:16) [42]>
>у меня получилось точно

А ты мой вариант подставь, тоже ведь подходит. Проверь, благо считается легко.

← →
default © (2004-06-18 17:14) [44]

Bless © (18.06.04 17:01) [43]
6 уравнений, 7 неизвестных...НО
у меня вышло что скорость велосипедиста в 26 раз меньше скорости мотоциклиста, твои данные этому не удовлетворяют
когда же нам скажут правильно это или нет!

← →
SergP © (2004-06-18 17:25) [45]

7.

a:=723217-508811;
b:=508811-480608;
// Далее юзаем метод Евклида
while a<>b do if a>b then a:=a-b else b:=b-a;
// В результате имеем a=79
// Я вообще-то считал это вручную,
// но метод решения так оказалось проще изобразить

← →
Bless © (2004-06-18 17:25) [46]

default[44]
>у меня вышло что скорость велосипедиста в 26 раз меньше скорости
>мотоциклиста, твои данные этому не удовлетворяют

Это не страшно. У нас и ответы не совпадают :)

Нигде в условии о 26-кратном первосходстве в скорости не сказано.
Мой ответ удовлетворяет вроде бы ВСЕМ условиям задачи. Разве нет?

← →
default © (2004-06-18 17:27) [47]

Bless © (18.06.04 17:25) [46]
дождёмся правильного ответа

← →
Bless © (2004-06-18 17:32) [48]

default[47]>
Куда ж мы денемся :)
Но что-то уже затихло все.
Наверное, раньше понедельника - не судьба узнать (мне).

А скажи свои скорости, я подставлю, проверю пока.

← →
default © (2004-06-18 17:37) [49]

Bless © (18.06.04 17:32) [48]
только время есть...

← →
default © (2004-06-18 17:55) [50]

Bless © (18.06.04 17:32) [48]

Sв1=(14-t)*Vв (1)
S-Sв1=(14-t)*Vм (2)

Sв2=(13.5-t)*2Vв (3)
S-Sв2=(13.5-t)*Vм (4)

Sв3=(13.2-t)*Vв (5)
S-Sв3=(13.2-t)*2Vм (6)

(4)-(2)-->Sв1-Sв2=-0.5Vм
(1)-(3)-->Sв1-Sв2=-13Vв+tVв
-0.5Vм=-13Vв+tVв-->t=-0.5*Vм/Vв+13 (7)
(7)*Vв, Vв*t=0(поскольку в момент выезда никто из участников никакое расстояние не проехал!)
-->Vв=Vм/26 (8)
дальше (3)+(4)+замена Vв на (8)
получим S=...(9)
потом (5)+(6)+замена Vв на (8)
получим S=...(10)
приравниваем (9) к (10) делим обе части рав-ва на Vм и получаем t
интересно правильно...

← →
default © (2004-06-18 18:29) [51]

хотя скорее всего переход от (7) к (8) неверен...

← →
SergP © (2004-06-18 18:42) [52]

> [46] Bless © (18.06.04 17:25)

У меня вышло что скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в 10/(2*sqrt(19)-4) раз

Дальше решать почему-то желания нет...

SergP © (18.06.04 18:42) [52]
как решал?
там 6 уравнений 7 неизвестных, система переопределана
-->бесконечно много решений...

9.
> [52] SergP © (18.06.04 18:42)

Ой.. ошибся... Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в 16/7 раз (просто я случайно 12 минут посчитал как 5/6 часа, а нужно 4/5 часа)

Тогда они выехали в 13-8/7 = 11 часов 51 минута 25,7 секунд

Если бы вел. двигался вдвое быстрее, они
встретились бы в 13.30, а если бы мот. двигался вдвое быстрее, они
встретились бы в 13.12.
Отсюда следует, что скорость мотоцикла в 1,6 раза больше скорости велосипеда.

х-скорость велосипеда.

Расстояние можно выразить, если скорость велосипеда 2х, то
путь это (2х+1,6х)*(общее время в пути - 30 минут). (2), где общее время в пути - по состоянию на 14.00

Еще расстояние можно выразить, если скорость мотоцикла 2*1,6х, то
путь это (х+2*1,6х)*(общее время в пути - 48 минут). (3), где общее время в пути - по состоянию на 14.00

Приравнивая 2 к 3 получаем, что общее время в пути 156 минут.
Т.е. 2 часа 36 минут на 14.00, значит выехали в 11.24.

> [53] default © (18.06.04 18:44)

Допустим, что расстояние - S, а время за которое они ехали - X
Скорость велосипедиста - a , Скорость мотоциклиста - b

1) S=(a+b)*x
2) S=(2*a+b)*(x-1/2)
3) S=(a+2*b)*(x-4/5)

Допустим b=a*n (n- во сколько раз мотоциклист быстрее велосипедиста)

Из 1 и 2

(a+a*n)*x=(2*a+a*n)*(x-1/2)
Получаем:
x=1+n/2

Теперь из 2:
S=(a+b)*x +a*x -(2*a+b)/2
Из 3:
S=(a+b)*x+b*x-4*(a+2*b)/5

Используя 1 приводим их к такому виду:

a*x=(2*a+b)/2
b*x=4*(a+2*b)/5

Из этого получаем:
8*a^2+6*a*b-5*b^2=0

Решаем квадратное уравнение относительно a

a=(-6+-13)*b/16
Отрицательный корень выкидываем нафиг.
Получаем a=7*b/16

Отсюда n=16/7

x=1+8/7

А время когда они выехали = время когда приехали - x
т.е. = 14 часов - (1+8/7) часов = 13-8/7 = 11 часов 51 минута 25,7 секунд

> [55] Артем Запаранюк © (18.06.04 19:26)
> Если бы вел. двигался вдвое быстрее, они
> встретились бы в 13.30, а если бы мот. двигался вдвое быстрее,
> они
> встретились бы в 13.12.
> Отсюда следует, что скорость мотоцикла в 1,6 раза больше
> скорости велосипеда.

Ошибочное предположение....

Я исходил из того что, что двойная скорость мотоцикла приводит к встрече на 48 минут раньше, а двойная скорость велосипеда только на 30 минут раньше. 48\30=1,6

> [58] Артем Запаранюк © (18.06.04 19:44)
> Я исходил из того что, что двойная скорость мотоцикла приводит
> к встрече на 48 минут раньше, а двойная скорость велосипеда
> только на 30 минут раньше. 48\30=1,6

То что ты поделил 48 на 30 - это я сразу понял. Но все равно это неверно...

Форум надолго падал :(

9. У меня получилась система:
S/(u1+u2)=A
S/(2*u1+u2)=A-1/2
S/(u1+2*u2)=A-4/5

Где S-путь, u1 и u2 - скорости велосипеда и мотоикла. A - время в пути до встречи.

Решая это дело получаем: A = 2, u2 = 1/3*S, u1 = 1/6*S. Есть еще и второе решение. Но оно не подходит под условие, так как описывает случай "догоняния" мотоциклом велосипеда. Так как A=2, то в пути они были два часа. И, значит, выехали ровно в полдень.

Alx2 © (20.06.04 13:11) [61]
у SergP ход решения точно верен, может только в вычислениях чего...
вот ещё простая задачка
"Пассажирский поезд, двигающийся со скоростью, в x раз большей скорости товарного
поезда, обгоняет его. Если бы поезда двигались навстречу друг другу, то время
прохождения одного поезда мимо другого было бы в x раз меньше, чем в первом случае.
Найдите x."

> [61] Alx2 © (20.06.04 13:11)

Я сначала тоже подумал что возможен вариант "догоняния"
но потом решил что такого не может быть...

Когда я находил корни квадратного уравнения:

> [56] SergP © (18.06.04 19:28)

8*a^2+6*a*b-5*b^2=0

то отбросил отрицательный корень, так как считал что они едут навстречу друг другу.

если бы мотоциклист доганял велосипедиста, то такого не могло бы быть:

> ...Они встретились в 14 часов. Если бы вел. двигался вдвое
> быстрее, они встретились бы в 13.30,...

> [66] MBo © (21.06.04 07:08)
> >Alx2 © (20.06.04 13:11) [61]
> верно, 12.00

Хм... Интерестно, где же я ошибся... никак найти не могу...

>Хм... Интерестно, где же я ошибся... никак найти не могу...

(u+v)t=1
(2u+v)(t-1/2)=1
(u+2v)(t-4/5)=1

v=ku
x=1+k

uxt=1
u(x+1)(2t-1)=2
u(2x-1)(5t-4)=5

u=1/xt

(x+1)(2t-1)=2xt =>x=2t-1
(2x-1)(5t-4)=5xt подставляем x
5t^2-13t+6=0
t1=2
t2=3/5 - побочный корень

Скажите кто-нибудь, как 5-ую задачу решали!

>Bless © (21.06.04 09:38) [69]
Для первого случая (когда одна чаша тяжелее другой)
получаем систему x+y=9/11*x+4,x-y=9/11*x+4+48 (где y - разница в весе чаш и x - масса пудинга) с решением
y = -24, x = 154 где x - масса пудинга.

Для второго случая, когда плечи весов различны, получаем систему:
x*y=9/11*x+4,x/y=9/11*x+4+48 с решением x = -22/5, y = -1/11, и x = 143, y = 11/13 из которой получаем, что пудинг имеет массу x=143 гр и соотношение плеч весов y=11/13

Alx2[70]>

Спасибо.

Пятничная разминка. Простенькие задачки. Найти похожие ветки