Задача: спасти мир (от философов)

← →
TUser © (2011-10-28 12:12) [0]

Математика считается совсем-совсем логичной наукой. Там, говорят, все откуда-то следует, кроме совершенно очевидных банальностей (аксиом). В конечном итоге из аксиом следует любой, даже очень сложный факт.

Математика стремится к тому, чтобы быть логичной. Математики много сил тратят на то, чтобы доказывать, доказывать и еще раз доказывать. И тем не менее …

Сейчас модно математические теории основывать на теории множеств. Изложение анализа начнется с теории множеств. Изложение реляционной алгебры начнется с теории множеств. Можно сказать, что в основе математики лежит теория множеств. И из нее уже следует все остальное.

В теории множеств известны парадоксы. Такова, например, апория Рассела. Данная апория формулируется так: назовем ординарными те множества, которые НЕ содержат себя в качестве собственного элемента. Большинство множеств, с которыми нам приходится иметь дело, - ординарны. Таково, например, множество натуральных чисел, - оно состоит из элементов 1, 2, 3, 4, …, но, однако, среди этих элементов НЕТ такого, как “множество натуральных чисел”. Разумеется, множество N включается само в себя, но именно в смысле – является подмножеством, то, что обозначается значком включения, а не значком принадлежности. Тут речь о последнем – множество N не принадлежит самому себе, не является своим элементом (хотя является подмножеством), то есть является ординарным множеством.

Помимо ординарных существуют множества НЕординарные, например, “множество всех множеств”. Оно само является множеством, поэтому принадлежит самому себе, то есть НЕ является ординарным множеством.

Попытаемся ответить на вопрос – ординарно ли множество всех ординарных множеств? Предположим, что оно ординарно. Тогда оно принадлежит к множеству всех ординарных множеств, то есть принадлежит самом себе, то есть является неординарным. Теперь предположим, что множество всех ординарных множеств неординарно. Тогда оно не принадлежит к множеству всех ординарных множеств, то есть не принадлежит самому себе, то есть является ординарным множеством. Как видим, предполагая как ординарность, так и неординарность множества всех ординарных множеств, мы приходим к логическому противоречию. В этом состоит апория Рассела.

Таким образом, получается, что в основе всей математики лежит теория множеств, а эта теория логически противоречива. Вся эта логичная наука выстроена на ошибочной теории. Известно, что если в математическом доказательстве допущена хотя бы одна ошибка, то все доказательство нельзя считать верным. А тут основание ВСЕЙ математики вдруг оказывается ошибочным и парадоксальным. То есть в переводе на русский язык – ВСЯ математика может быть сплошной ошибкой.

Мало того, математики активно используется, например, в физике и экономике. Если математика – это ошибочная наука, то прикладные области тоже могут состоять все сплошь из ошибок. А мы еще удивляемся, почему самолеты и рынки падают.

Короче, мир, надо спасать. Если не исправить ошибки в основании математики, конкретно – если не разъяснить логически апорию Рассела, то может оказаться, что два плюс два вовсе не равно четырем, необычность современных физических теорий обусловлена использованием ложных формул, финансовые кризисы никогда не закончатся, а все запросы к базам данных выдают неверные результаты. Что это означает для нашей цивилизации, объяснять, полагаю, излишне. А все оттого, что головастики построили математику на логически противоречивой основе, например, устроили базы данных на основе реляционной теории, которая начинается с теории множеств.

Итак, мир рухнет, или кто-то сумеет все-таки объяснить, в чем дело в апории?

← →
TUser © (2011-10-28 12:16) [1]

В догонку к этой ветке и к думкинской, мне вчера в ответ на эту задачу хороший ман посоветовали

http://log-in.ru/books/20030

← →
Inovet © (2011-10-28 12:22) [2]

> [0] TUser © (28.10.11 12:12)
> ординарно ли множество всех ординарных множеств?
...
> Теперь предположим, что множество всех ординарных множеств неординарно.

тогда и первое неверно.

← →
Думкин © (2011-10-28 12:34) [3]

Так это уже начало прошлого века. В виде допускающем противоречие теорию множеств не юзают. Есть и более веселое, например про континуум.

← →
Inovet © (2011-10-28 12:35) [4]

> [3] Думкин © (28.10.11 12:34)
> Есть и более веселое, например про континуум.

Это что?

← →
Думкин © (2011-10-28 12:39) [5]

> Inovet © (28.10.11 12:35) [4]

Есть натуральные числа и первая бесконечность. Вторая - это действительные числа. Вторых больше чем первых. А вот между ними есть? Т.е. можно ли построить множество которое бы было мощнее натуральных и слабее действительных?

Ответ нашел Коэн.

http://slovari.yandex.ru/~%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%83%D0%BC%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0/

← →
han_malign (2011-10-28 12:58) [6]

> все откуда-то следует, кроме совершенно очевидных банальностей (аксиом)
...
> модно математические теории основывать на теории множеств

- некоторые аксиомы тоже доказываются, для чего используется "формальная система исчисления высказываний"(если кто не в тему помянет Гёделя - то полнота в узком и широком смысле - доказана).
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0

← →
oldman © (2011-10-28 13:02) [7]

> множество натуральных чисел, - оно состоит из элементов
> 1, 2, 3, 4, …,
> не принадлежит самому себе, то есть является ординарным множеством.
>
> “множество всех множеств”. Оно само является множеством,
> поэтому принадлежит самому себе, то есть НЕ является ординарным
> множеством.

Хм... Не понял...

← →
OW © (2011-10-28 13:02) [8]

> Есть натуральные числа и первая бесконечность. Вторая - это действительные числа. Вторых больше чем первых.
> А вот между ними есть?

т.е.

1,2,3.. = N
vs
1, e, 4.3... = R
?

А как же Q? = 1/2, 1/3, 1/4.. 2/3, 2/5 .. 3/4, 3/5..
Очевидно же, что Q мощнее N

← →
han_malign (2011-10-28 13:07) [9]

> Т.е. можно ли построить множество которое бы было мощнее
> натуральных и слабее действительных?

- эээ??? целые, рациональные, et cetera, et cetera, et cetera...

← →
Думкин © (2011-10-28 13:08) [10]

> Очевидно же, что Q мощнее N

неа. Они равномощны. Если приедет счетное число поездов и в каждом будет счетное число профессоров, то хватит всего одной гостиницы со счетным числом номеров, чтобы разместить их всех.

← →
Думкин © (2011-10-28 13:08) [11]

> han_malign (28.10.11 13:07) [9]
>
>
> > Т.е. можно ли построить множество которое бы было мощнее
> > натуральных и слабее действительных?
>
> - эээ??? целые, рациональные, et cetera, et cetera, et cetera.
> ..

Ты вроде по математике писал, я так думал, что у тебя образование. А оно вона как.

← →
TUser © (2011-10-28 13:15) [12]

> Думкин © (28.10.11 12:34) [3]

там в рассуждениях логическая ошибка, которую предлагается найти

← →
Думкин © (2011-10-28 13:19) [13]

> TUser © (28.10.11 13:15) [12]

я понял что стеб, спасибо. Но тут вон и на континууме есть улов. :)

← →
RTFM (2011-10-28 13:25) [14]

Отсюда следует, что нельзя определить "множество всех множеств"? Т.е. нечто, включающее в себя все множества, множеством являться не будет.

Не?

← →
TUser © (2011-10-28 13:37) [15]

> Отсюда следует, что нельзя определить "множество всех множеств"?

Это как раз можно, но в принципе направление то.

← →
Бездомный (2011-10-28 13:53) [16]

> кроме совершенно очевидных банальностей (аксиом)

Аксиома это не банальность, это утверждение принимаемое без доказательства, которое может быть далеко не банальностью

← →
Mystic © (2011-10-28 14:11) [17]

> там в рассуждениях логическая ошибка, которую предлагается
> найти

Я просто не могу формализовать указанное рассуждение. Согласно Бурбаки, это все вольности, присущие обычной речи.

← →
TUser © (2011-10-28 14:14) [18]

> Я просто не могу формализовать указанное рассуждение.

Чем это рассуждение не формально?

"Попытаемся ответить на вопрос – ординарно ли множество всех ординарных множеств? Предположим, что оно ординарно. Тогда оно принадлежит к множеству всех ординарных множеств, то есть принадлежит самом себе, то есть является неординарным. Теперь предположим, что множество всех ординарных множеств неординарно. Тогда оно не принадлежит к множеству всех ординарных множеств, то есть не принадлежит самому себе, то есть является ординарным множеством. Как видим, предполагая как ординарность, так и неординарность множества всех ординарных множеств, мы приходим к логическому противоречию. В этом состоит апория Рассела."

← →
Mystic © (2011-10-28 14:18) [19]

> Чем это рассуждение не формально?

Чем что формальное на языке кваторов пишется, например, так
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/0/f/7/0f71d72d280e34f9bcb28757cf303902.png

А вообще, вот аксиомы

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2

Вот описание логики первого порядка

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0

И теперь повтори то же самое, только без слов, а одной формальной символикой

← →
Медвежонок Пятачок © (2011-10-28 14:22) [20]

Как видим, предполагая как ординарность, так и неординарность множества всех ординарных множеств, мы приходим к логическому противоречию.

так все же просто.
либо множество всех ординарных множеств не существует, либо само определение ординарности неверно.

пример на пальцах.

животное является ципхмелеватным если оно имеет хвост.
животное не является ципхмелеватным если его хвост прикручен к его же заднице.

предположим, что слон является ципхмелеватным. тогда он должен иметь хвост.

предположим, что слон не является ципхмелеватным тогда его хвост не прикручен к его же заднице.

получаем апорию Пятачка.
точнее не получаем, потому что определение "ципхмелеватности" кривое.

:)))

← →
TUser © (2011-10-28 14:40) [21]

е - перевернутое э
!е - перечеркнутое перевернутое э
V - перевернутая А
^ - xor
A - используемое для примера множество
=> - следовательно

Опр. Мн-во А ординарно, если A!eA.
Пусть O:{A:A ординарно}
Лемма 1. По закону исключающего третьего VA: AeO^A!eO
Лемма 2. VA!eO: AeA (по определению ординарности).

Например, OeO^O!eO (см. лемма 1)
OeO=>O!eO (см. определение ординарности)
O!eO=>OeO (см. лемму 2)

← →
Sha © (2011-10-28 14:44) [22]

> Попытаемся ответить на вопрос – ординарно ли множество всех ординарных множеств?

Сначала докажи его существование.

← →
Медвежонок Пятачок © (2011-10-28 14:44) [23]

Либо еще проще.
Если определение ординарности верное, но выясняется, что множество всех ординарных множеств с одной стороны ординарно, а с другой стороны неординарно, то это значит, что множество может быть и ординарным и неординарным одновременно.

как кошка с зелным левым и синим правым глазом.
она какая?
зеленоглазая или синеглазая?

← →
картман © (2011-10-28 14:50) [24]

> Но тут вон и на континууме есть улов. :)

мельчаешь?

← →
TUser © (2011-10-28 15:16) [25]

Поскольку правильные ответы уже есть, опишу свое решение.

Прежде, чем говорить о том или ином множестве, мы приводим его определение. Определение множества ввсегда имеет вид правила, которое для любого подаваемого на вход этого правила объекта позволяет сказать - принадлежит ли объект множеству. Да или нет. Для любого объекта, это важно, так как мы для любого объекта должны знать, входит ли он в данное множество.

В случае "множества всех ординарных множеств" правило таково: если проверяемый объект является множеством, и притом ординарным, то он принадлежит рассматриваемому множеству, в противном случае, он множеству не принадлежит. Увы, как показывает приведенное в апории рассуждение, есть объекты (например, само "множество всех ординарных множеств"), для которых такое правило не позволяет дать конкретного ответа (как одно, так и иное предположение ведет к противоречию). Следовательно, это правило не дает ответа для всех объектов на земле, и не определяет никакого множества.

Самое интересное, что философ Рассел разработал целую систему анализа утверждений, призванную именно внести строгость в рассуждения. Например, "Король Франции - лысый" по Расселу надо превратить в "1. Существует как минимум одна Франция. 2. Существует не более одной Франции. 3. Существует как минимум один Король. 4. Минимум один Король есть король Франции. ... 125 .... ". На первый взгляд кажется, что такая система позволяет избежать "парадоксов", то есть трудно заметных ошибок в рассуждениях. Ан нет, как мы видим, сам философ Рассел формулировал парадоксальные заключения, основываясь на неявно скрытых в рассуждении утверждениях (в данном случае, "у нас есть определение множества всех ортогональных множеств"). Ну, философы, они такие.

> TUser © (28.10.11 12:12)
если бы всё так было просто, то не проверяли бы и не ставили под сомнение даже самые известные работы.. и вообще помоему математика всё дальше уходит от логики и возможно даже местами отрывается от неё..

← →
Вася (2011-10-28 15:26) [27]

> и вообще помоему математика всё дальше уходит от логики
> и возможно даже местами отрывается от неё..

Это как это?

> Вася (28.10.11 15:26) [27]
вот так это

← →
Вася (2011-10-28 15:31) [29]

(в данном случае, "у нас есть определение множества всех ортогональных множеств").

То есть определния множества всех ординарных множеств нет?
Стало быть нет самого этого множества?
В том смысле, что мы непонятно о чем говорим, когда говорим о таком множестве?

То есть я таки угадал, что либо его (множества) нет, либо определение кривое?

← →
Вася (2011-10-28 15:38) [31]

> То есть я таки угадал, что либо его (множества) нет, либо
> определение кривое?

Это просто вольности речи. А как из переведешь на математическую символику, такой ответ и получишь.

Если написать уравнение (рекурсивное определение), то у него не будет решений.
Если написать условие, то формализм не позволяет дать такое определение.

← →
Фокс Йожин (2011-10-28 15:40) [33]

Сразу старый анкдот про рентабельность физиков, математиков и философов вспоминается.

Это просто вольности речи. А как из переведешь на математическую символику, такой ответ и получишь.

Если честно, то логику я не изучал. Ни в вузе ни самостоятельно.
Поэтому на математическую символику мне это не перевести.

Но (возможно) врожденная склонность или восприимчивость к логике (ну бывает такое )позволила сразу понять, что никакого парадокса нет.

Так как понятно же, что если по некому определению объект с одной стороны является чем-то, но одновременно этим чем-то не является, то либо его просто нет и определение применяется к несуществующему объекту, либо само определение неправильно определяет принадлежность объекта к чему-то.

← →
Вася (2011-10-28 15:47) [35]

> либо само определение неправильно определяет принадлежность
> объекта к чему-то.

Все может быть сложнее. Про проблему континуума выше есть со ссылкой.

> То есть я таки угадал, что либо его (множества) нет, либо
> определение кривое?

Мне кажется, что решение апории состоит именно в этом.

Задача: спасти мир (от философов) Найти похожие ветки