Шины под нагрузкой и неожиданно сложный диффур

← →
Alx2 © (2011-01-18 14:58) [0]

От бессонницы намедни придумал себе задачку, но решил только приближенно. Итак:
Есть колесо радиуса r. Есть шина прямоугольного профиля шириной w и высотой d
Хочется найти зависимость продавливания шины h от приложенной к ней массы m (или силы F=m*g). Продавливание рассматриваю как просто уменьшение высоты профиля шины в местах касания опоры (плоскость).
Газ - идеальный. Процесс изотермический. Т.е. P*V = const (P - давление, V - объем).

Я делал так:
diff(P*V) = 0 (diff - дифференциал)
diff(P*V) = D(P*V,m)*dm + D(P*V,h)*dh = 0 (здесь D(f,x) - производная f по x)
Откуда получается запутанный диффур первого порядка для h(m).

Есть в этой задачке место изяществу? :)

← →
cwl © (2011-01-18 15:31) [1]

Чей-то я, признаться, вовсе не понимаю происхождение второго уравнения.

> Хочется найти зависимость продавливания шины h от приложенной
> к ней массы m (или силы F=m*g). Продавливание рассматриваю
> как просто уменьшение высоты профиля шины в местах касания
> опоры (плоскость).
т.е. одномерная задача - с координатной осью, совпадающей с радиусом?

← →
Alx2 © (2011-01-18 15:34) [2]

>cwl © (18.01.11 15:31) [1]
>т.е. одномерная задача - с координатной осью, совпадающей с радиусом?

Да. А второго уравнения - это какого? Сорри. Я не пронумеровал, теперь ловлю последствия

← →
cwl © (2011-01-18 18:07) [3]

Я про это
> diff(P*V) = D(P*V,m)*dm + D(P*V,h)*dh = 0
Откуда оно - понятно - расписанный дифференциал.

По-моему при данных допущениях всё проще - как в задаче о поршне с нагрузкой.

Сохранение энергии:
Пусть r - ось координат, направленная по радиусу, с нулём на его внутренней стороне (на которую дорога не давит).

-F*dr = p*dV
p = Const/V

получается F*h = Const*ln|Vк/Vн|, где Vк и Vн - сжатый и несжатый объём

Vк = w*(d - h)
Vн = w*d

F*h = const*ln|(d - h)/d)

Вроде не накосячил ...

← →
cwl © (2011-01-18 18:07) [4]

Знак %>

← →
Alx2 © (2011-01-18 21:27) [5]

Так, ясно. Спасибо. Идею уловил.
Только шина надета на колесо. Вот это будет неверно:
Vк = w*(d - h)
Vн = w*d

Будет так:
Vн = Pi*w*(r^2 - (r-d)^2 )
Vk = Vн - Vh
Vh - продавленный объем:
Vh = 2*w*(1/4*r^2*Pi+(h^(1/2)-r)*sqrt(h*(2*r-h))/2-1/2*r^2*arcsin((r-h)/r));
(считал как интеграл от sqrt(r^2-x^2) x = (r-h)..r))

а вот с ними и начинается тихий ужас :)

← →
Юрий Зотов © (2011-01-18 23:25) [6]

Если бы конструкторы шин/автомобилей прочитали бы эту ветку - вот бы они удивились... как все сложно, оказывается...
:o)

← →
Alx2 © (2011-01-18 23:33) [7]

>Юрий Зотов © (18.01.11 23:25) [6]

Эх.. ну вот. Я ведь о простоте и спрашиваю. Об изящной простоте, вернее :)

← →
Alx2 © (2011-01-18 23:41) [8]

В приближении получилось, что в момент начал продавливания есть зависимость ~m^2. В момент апогея (когда продавилось до оси, если б шина такой была) - то ~m^(1/2). В этом промежутке показатель меняется плавно. Можно всякие таблицы натабулировать, если б они кому нужны были в таких начальных условиях-то.
И было б конструктору все вообще просто: открыл букварь, нашел число, подставил, расписался. Но полуфабрикат ему тоже кто-то до этого приготовил.

← →
Юрий Зотов © (2011-01-18 23:47) [9]

> Alx2 © (18.01.11 23:33) [7]

Там нет простоты. Рассмотренная постановка задачи настолько далека от реальности и не учитывает такого большого количества существенных факторов, что результаты расчета по этой матмодели будут иметь огромное расхождение с действительностью - и потому ни на что непригодны.

Если же взять более-менее реальную постановку, то окажется, что расчету она практически не поддается, потому что либо матмодель вообще не удастся сформулировать, либо она окажется настолько сложной, что получить ее аналитическое решение будет невозможно (а численное, даже если его и удастся получить, будет, естественно, будет лишено той самой изящности).

Там нет простоты. Там есть результаты экспериментов и практический опыт - вот они-то и снимают все вопросы.

← →
cwl © (2011-01-19 00:42) [10]

> Юрий Зотов © (18.01.11 23:47) [9]
> Если же взять более-менее реальную постановку, то окажется,
> что расчету она практически не поддается
http://cae-services.ru/data/210M.pdf
Изящности - да, недостает %>

> Alx2 © (18.01.11 21:27) [5]
Да, объём-то следовало считать полный, а не среза - вы правы :>

← →
KilkennyCat © (2011-01-19 00:56) [11]

> Юрий Зотов © (18.01.11 23:47) [9]

матмодели там все-таки есть, наверняка. у каждой фирмы - собственной разработки. Хотя бы частично моделирующие поведение колес.
но мы их вряд ли увидим, ибо охраняются они покруче виндовса в мильен раз.

← →
Юрий Зотов © (2011-01-19 02:03) [12]

> cwl © (19.01.11 00:42) [10]

> Для ускорения и упрощения, а также из-за недостатка вычислительных
> ресурсов задача решалась в осесимметричной постановке.

О чем и говорилось: аналитическое решение (вместе с его изящностью) невозможно, и даже численное реально получить лишь в упрощенной постановке (очевидно, что катящееся под нагрузкой колесо никакой оси симметрии не имеет). Реальная же постановка требует слишком больших вычислительных мощностей и поэтому расчету практически не поддается.

Кроме того, можно не сомневаться, что и в самой матмодели использован далеко не один эмпирический коэффициент и/или эмпирическая формула - то есть, те самые результаты экспериментов, о которых тоже говорилось. Собственно, это и не скрывается: "На основании полученных экспериментальных и расчетных результатов...".

← →
Юрий Зотов © (2011-01-19 02:17) [13]

> KilkennyCat © (19.01.11 00:56) [11]

Частично моделирующие - безусловно есть (хоть та же ссылка). Весь вопрос только в том, насколько частично это частичное.

Многослойная покрышка с внутренним кордом - это настолько сложная штука, что о чисто теоретической матмодели в реальной постановке можно только мечтать. Без упрощений и эмпирики тут не обойтись.

← →
Юрий Зотов © (2011-01-19 02:24) [14]

> катящееся под нагрузкой колесо никакой оси симметрии не имеет

Наверное, это надо пояснить: из-за качения нет симметрии в поперечной плоскости, а из-за схода/развала нет симметрии и в продольной плоскости.

← →
Abramov Petr V. (2011-01-19 02:36) [15]

> Юрий Зотов © (19.01.11 02:24) [14]

сход-развал на симметрию-таки не влияет. качение в общем-то тоже, пототму что неидеально круглое колесо (которое продавливается под весом, что и пытаемся считать) по определению несимметрично. ну кроме квадратного и другого правильно-многоугольного :) но это для диффур нестрашно.
а вот первая кочка - очень сильно на любую симметрию влияет, даже небольшая, даже по ненашим меркам. и именно тут и вылазит необходимость водил-испытателей, а не математиков-программистов.

← →
cwl © (2011-01-19 03:03) [16]

> Юрий Зотов © (19.01.11 02:03) [12]
Нынче сложные задачи (краш-тест автомобиля в реальной геометрии) вполне успешно решаются. Насчёт колеса - почему бы и нет, хотя, затратно - спору нет. Понятно, щто и то, и другое - с упрощениями. Щто поделать - коли наука нынче больше описательная, чем объяснительная.

← →
Abramov Petr V. (2011-01-19 03:40) [17]

> коли наука нынче больше описательная, чем объяснительная.
>
>

объяснительных наук не бывает.
объясняет все прекрасно и коран, с фейхтенгольцем разница в деталях :)
наука - она вещь предсказательная, причем если предсказывает относительно наглядно ( вот это опнет, а вот это будет сильно греться, причем, если близко не соваться, можно невозбранно получать энергию). наглядность простому программисту не всегда обязательна на переднем крае, ну тут ниче не поделаешь.
есть и описательные науки, типа современной психиатрии или радиоастрономии, они что-то предсказывают с трудом и рандомно, но в частных случаях довольно стабильно верно. просто эти науки объективно молодые, и находятся на этапе накопления систематических наблюдений.

> ilkennyCat © (19.01.11 00:56) [11]
>
>
> > Юрий Зотов © (18.01.11 23:47) [9]
>
> матмодели там все-таки есть

Разумеется есть. Формула-1 всё-таки не полагается на авось. Но вот там-то речь как раз идёт о "частных" случаях. Где в общую задачу вносят некие заданные параметры "ограничивающие" общую задачу.

Ого! Спасибо за обсуждение. :)

Понятно, что для практического применения все написанное мною меганаивно. Но резона превращать бессонницу в великую эпопею, сами понимаете, не было никакого вообще :)

Бывает у меня иногда страсть погонять числа ради наблюдения превращений одного в другое. Ладно. Нет, так нет. Во всяком случае очевидный вариант "на блюде" отсутствует. Значит, найду хорошую аппроксимацию и "об нее наслажусь" ((с) Ли Вон Янь) как о достаточно простую и изящную. Только потому, что это дает удовольствие. :)

>Юрий Зотов © (18.01.11 23:47) [9]

>> Alx2 © (18.01.11 23:33) [7]

>Там нет простоты. Рассмотренная постановка задачи настолько далека от
>реальности и не учитывает такого большого количества существенных
>факторов, что результаты расчета по этой матмодели будут иметь огромное
>расхождение с действительностью - и потому ни на что непригодны.

Немного ранее об этом я писал. Как бы сказать еще... Она не обязана соответствовать реальности. Вернее так: обсуждаемая вами (мн.) задача зверски далека от той, что я описал. Но она, безусловна, очень интересна. Правда, для варианта "активного отдыха" не подходит, к сожалению.

то-то я смотрю у shell и прочих целые институты этим занимаются)..

> Abramov Petr V. (19.01.11 02:36) [15]
> неидеально круглое колесо (которое продавливается под весом, что и
> пытаемся считать) по определению несимметрично

Неподвижное вертикальное колесо симметрично в двух вертикальных плоскостях - продольной и поперечной.

Но у катящегося реального колеса симметрию в продольной нарушает сход-развал (что очевидно), а в поперечной - само качение (поскольку "набегание" дороги на деформированную область контакта и "сбегание" с нее - вещи разные).

Шины под нагрузкой и неожиданно сложный диффур Найти похожие ветки