Об упорных червяках и математике

← →
Anatoly Podgoretsky © (2009-11-04 11:36) [40]

> McSimm (04.11.2009 01:04:00) [0]

А в какую сторону длина растет?

← →
McSimm © (2009-11-04 11:39) [41]

> Anatoly Podgoretsky © (04.11.09 11:36) [40]
>
> > McSimm (04.11.2009 01:04:00) [0]
>
> А в какую сторону длина растет?

относительно чего ? :)
каждую секунду длина ленты увеличивается на один км. растяжение равномерно по всей длине

← →
Anatoly Podgoretsky © (2009-11-04 11:41) [42]

То есть в обе стороны, ну тогда просто долго придется прыгать.

← →
McSimm © (2009-11-04 11:42) [43]

> oldman © (04.11.09 11:35) [39]
> не взлетит!
> остатки сзади несравнимы с бездной впереди...

это эмоции, а не математика.
у нашего червяка запас времени не ограничен

← →
oldman © (2009-11-04 11:56) [44]

> McSimm © (04.11.09 11:42) [43]
> у нашего червяка запас времени не ограничен

У ленты тоже. Если она через час будет длиной 3600 км, сколько она будет через год? Через век?

"Либо я умру, либо эмир, либо ишак" (Х.Насреддин ©)

← →
McSimm © (2009-11-04 12:00) [45]

к моменту, когда червяк доползет, умрут все эмиры и ишаки. Но на результат задачи это не влияет :)
доползет

← →
Суслик_ (2009-11-04 12:04) [46]

> oldman © (04.11.09 11:56) [44]
>
>
> > McSimm © (04.11.09 11:42) [43]
> > у нашего червяка запас времени не ограничен
>
>
> У ленты тоже. Если она через час будет длиной 3600 км, сколько
> она будет через год? Через век?

построй модель )

М - миллион (для краткости)

На шаге 0 осталось пройти M
На шаге 1 осталось пройти (M-1)*(1+1)/ 1
2 ((M-1)*(1+1)/1-1))*(2+1)/2
3 (((M-1)*(1+1)/1-1))*(2+1)/2-1)*(3+1)/3
и т.д.

Если пораскрывать скобки, то оценочная велчина - путь пройденный червяком - сумма гармонического ряда умноженное на шага, что больше чем просто линейное увеличение длины ленты (она же линейно растягивается).

(сумма гармонического ряда оценивается примерно логарифмом)
Т.е. дойдет он до конца.

← →
DVM © (2009-11-04 12:20) [47]

> TIF © (04.11.09 03:18) [38]

оно, сборник зарубежной фантастики это вероятно был.

← →
Anatoly Podgoretsky © (2009-11-04 13:06) [48]

> McSimm (04.11.2009 11:42:43) [43]

У нас очень УПОРНЫЙ червяк

← →
Anatoly Podgoretsky © (2009-11-04 13:07) [49]

> oldman (04.11.2009 11:56:44) [44]

Червяк даже если и не будет двигаться, то через некоторое время будет уже на половине пути, а он гад движется, постоянно меняя соотношение пройденого к оставшему в свою пользу.

← →
McSimm © (2009-11-04 13:13) [50]

> Червяк даже если и не будет двигаться, то через некоторое
> время будет уже на половине пути,

нет, если он не двигается, то отношение пройденного пути к оставшемуся неизменно. лента-то однородная

← →
Jeer © (2009-11-05 09:27) [51]

> нет, если он не двигается, то отношение пройденного пути
> к оставшемуся неизменно. лента-то однородная
>

Ну так это и есть логическое решение:
"Если лента пропорционально изменяется относительно текущей точки неподвижного червяка, то потенциальное время для достижения конца ленты, в случае начала движения с некоторой скоростью, будет постоянно увеличиваться, но останется конечным, а значит для подвижного червяка пропорция местоположения будет постоянно изменяться в его пользу.

← →
Inovet © (2009-11-05 09:36) [52]

> [51] Jeer © (05.11.09 09:27)

А если червяк растягивается вместе с лентой, обретает больше сил и ползёт быстрее, то всё совсем просто.:)

← →
KSergey © (2009-11-05 10:19) [53]

Предлагаю уточнить сделующие моменты в условии, подразумевающие написанные не очень почто, по-моему:

1) Червяк имеет пренебрежимо малую длину, верно?

2) "При этом ленту растягивают со скоростью один километр в секунду (каждую секунду лента становится на один км. длиннее)"
Тут не понятно: лента постоянно растягивается со скоростью км/сек, или раз в секунду ее длина одномоментно увеличивается на 1 км? На результат влияет, однако.

← →
Jeer © (2009-11-05 10:54) [54]

> Inovet © (05.11.09 09:36) [52]
> А если червяк растягивается вместе с лентой, обретает больше
> сил и ползёт быстрее, то всё совсем просто.:)

А если еще он догоняет червячиху на дальнем конце ленты ? :)

> 1) Червяк имеет пренебрежимо малую длину, верно?

Не принципиально, можно говорить о кончике языка червяка, как о отсчетной точке :)

> 2) "При этом ленту растягивают со скоростью один километр
> в секунду (каждую секунду лента становится на один км. длиннее)"
> Тут не понятно: лента постоянно растягивается со скоростью
> км/сек, или раз в секунду ее длина одномоментно увеличивается
> на 1 км? На результат влияет, однако.
>

Переход от непрерывной модели к дискретной качественно не должен влиять на результат.

← →
McSimm © (2009-11-05 11:01) [55]

> Ну так это и есть логическое решение:
> "Если лента пропорционально изменяется относительно текущей
> точки неподвижного червяка, то потенциальное время для достижения
> конца ленты, в случае начала движения с некоторой скоростью,
> будет постоянно увеличиваться, но останется конечным, а
> значит для подвижного червяка пропорция местоположения будет
> постоянно изменяться в его пользу.

Это неправильная логика. Пропорция может постоянно меняться в его пользу, но само по себе это еще ничего не доказывает, т.к. ничего не говорит о скорости роста оставшегося пути.

Например если лента каждую секунду растягивается вдвое, то отношение отставшегося к пройденному тоже уменьшается, но ни дойти, ни вернуться он, пожалуй, не сможет.

← →
Jeer © (2009-11-05 11:15) [56]

Если

> Пропорция может постоянно меняться в его пользу,

то рано или поздно будет 100% пройденного пути.

← →
McSimm © (2009-11-05 11:16) [57]

да ну? :)

← →
Jeer © (2009-11-05 11:48) [58]

> McSimm © (05.11.09 11:16) [57]
>
> да ну? :)

Ну да :)

← →
KSergey © (2009-11-05 12:15) [59]

> Jeer © (05.11.09 10:54) [54]
> Не принципиально, можно говорить о кончике языка червяка, как о отсчетной точке :)
> Переход от непрерывной модели к дискретной качественно не должен влиять на результат.

McSimm изначально завел ветку не на тему "взлетит/не взлетит", а на тему конкретной цифири. Тогда это важно.

← →
Дуб © (2009-11-05 12:23) [60]

> Jeer © (05.11.09 11:15) [56]

1/10, 1/100, 1/1000....Ноля нет. :) Так что Максим прав.

← →
McSimm © (2009-11-05 12:24) [61]

> не на тему "взлетит/не взлетит", а на тему конкретной цифири.
> Тогда это важно.

Непрерывную модель я даже не знаю как подступиться. Ряды дают результат. А как-то можно показать, что дискретная модель неадекватна ?

← →
SergP © (2009-11-05 12:36) [62]

Ну можно принять длину ленты за единицу.
И расчитать относительную скорость червяка.
V=1/(1000000*t)

А тут уже все зависит от того сходится или расходится ряд:
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 .....

← →
Jeer © (2009-11-05 13:00) [63]

Червяк имеет скорость V=1 мм/сек, длина ленты L= 1км, происходит ежесекундное растяжение ленты на длину K=1 км, т.е. в два раза

Рассмотрим дискретную модель
За каждую секунду червяк преодолевает некоторый относительный путь.
Когда относительный путь червяка станет больше 1, значит от преодолел ленту.

За первую секунду отн. путь равен V/L, за вторую V/2*L, за третью V/3*L и тд, т.е.

S = (V/L)*(1/1 + 1/2 + 1/3 +..+ 1/n)
Где n - дискретное время, например, 1 сек.
След-но, находя n при S>=1, мы определяем время, за которое червяк достигнет конца расширяющейся ленты.
При заданных числовых значениях имеем
S = 1*10^-6 * sum(1/k) >=1
следовательно сумма ряда должна быть более 1 млн, чтобы червяк допрыгал

Ряд в скобках не, что иное как ряд из т.н. гармонических чисел H(n) = sum(1/k), 1<=k<=n
Можно вычислять рекурсивно как:
H(n) = H(n-1) + 1/n
или:
H(n) = g + a(n+1)
где g = 0.57721... - постоянная Эйлера
a(n+1) - дигамма-функция

← →
Jeer © (2009-11-05 13:01) [64]

> происходит ежесекундное растяжение ленты на длину K=1 км,

Поправка

> все это уже было в теме не раз.

Ну, значит читал/смотрел по диагонали.
От моих комментариев хуже не стало

> Ну, значит читал/смотрел по диагонали.
> От моих комментариев хуже не стало

Аналогично

> KSergey © (05.11.09 12:15) [59]
> McSimm изначально завел ветку не на тему "взлетит/не взлетит",
> а на тему конкретной цифири. Тогда это важно.

Имеется (не мое) доказательство, что если
H(n-1) < V/L <= H(n) и n - целое положительное число, такое, что H(n-1) <= a <= H(n), то
exp(a-g) < n <= exp(a-g)

(обозначения см.выше в моих постах)

Вот и оценка числа n :)

Грубо n ~ e^(L/V)

Вот другое дело, если закон изменения длины ленты не есть арифм.сумма - тогда вопрос только к пределу ряда и его сходимости.

> то
> exp(a-g) < n <= exp(a-g)

наверное опечатка, exp(a+g) справа ?

угу :)

Вскольз просмотрел тему, но "диффура" не увидел. :)
Вот с дифуром:

Скорость точки жгута, на расстоянии x от неподвижного конца:
u(x,t) = u0*x/(s0+u0*t) где u0 - скорость конца жгута, s0 - начальная длина жгута, t - время от начала растягивания.

Отсюда скорость червя относительно "универсума":

dx/dt = u(x,t)-v где v- скорость червя ("минус" - потому-что он ползет к началу).

Решаем диффур с условием x(0)=s0,
получаем:
x(t) = ((v*ln(s0)+u0)/u0-v*ln(s0+u0*t)/u0)*(s0+u0*t)

откуда находим время до прибытия червя (из x(T)=0)):
T = s0*(exp(u0/v)-1)/u0;

Для данных, указанных в задаче:
s0 = 1000; u0 = 1000; v=10^(-3)

И
T = exp(1000000)-1

cwl © (04.11.09 2:02) [26]

Все там решается - он совсем простой.
Разделяем переменные: время - вправо, путь - влево. И берем банальный интеграл. :)

Прошу прощения: в [72], + метод неопределенных коэфициентов
Но все равно просто

Дифура была, только ее не решили. Вот более полно расписанное решение, которое я когда-то делал:

http://mu.webest.net/pdf/spider.pdf

Об упорных червяках и математике Найти похожие ветки