Преобразовать координаты точки из одной СК в другую

← →
@!!ex © (2009-05-22 13:55) [0]

Есть две декартовых систем координат.

В обеих системах заданы точки a b c
для этих трех точек известны координаты в обеих системах координат.
Дана четвертая точка в 1 СК. Нужно получит ьее координаты во СК 2.
Как?

← →
Хитрий Лис (2009-05-22 13:57) [1]

Как-то так http://www.pretich.narod.ru/Zemlia/matemat/matem_for_ch.html

← →
@!!ex © (2009-05-22 13:59) [2]

Как-то так не помогает. Я читал учебник Александрова.
Нашел там формулу преобразования декартовых СК.
Только она не учитывает масштабирования.

← →
MBo © (2009-05-22 14:01) [3]

расчет матрицы преобразования для неколлинеарных троек точек
procedure CalcXF(var A: TXForm; ax0, ay0, bx0, by0, cx0, cy0, ax1, ay1, bx1, by1, cx1, cy1: Integer); var b: TXForm; begin SetXForm(A, bx0 - ax0, by0 - ay0, cx0 - ax0, cy0 - ay0, ax0, ay0); SetXForm(B, bx1 - ax1, by1 - ay1, cx1 - ax1, cy1 - ay1, ax1, ay1); ReverseXForm(A, A);//инверсия MulXForm(A, B, A);//A=B*A end;

← →
@!!ex © (2009-05-22 14:02) [4]

> [3] MBo © (22.05.09 14:01)
> SetXForm

Это что?

← →
MBo © (2009-05-22 14:02) [5]

инверсия - обратная матрица

← →
@!!ex © (2009-05-22 14:02) [6]

> [3] MBo © (22.05.09 14:01)

А можете объяснить как работает или ссылку на материал кинуть, чтобы понять?

← →
MBo © (2009-05-22 14:04) [7]

> SetXForm
>Это что?
заполнение матрицы

procedure SetXForm(var XF: TXForm; eM11, eM12, eM21, eM22, eDx, eDy:double); begin XF.eM11 := eM11; XF.eM12 := eM12; XF.eM21 := eM21; XF.eM22 := eM22; XF.eDx := eDx; XF.eDy := eDy; end;

← →
@!!ex © (2009-05-22 14:05) [8]

> [7] MBo © (22.05.09 14:04)

Матрицы два на два. А Dx Dy - это что?

← →
MBo © (2009-05-22 14:27) [9]

матрицы аффинного преобразования в однородных координатах (что удобно для учета переноса) - 3x3 (третий столбец всегда 0 0 1 и в XForm не заносится)
см. SetWorldTransform, XFORM

Первая матрица A- преобразует набор точек (0,0)(1,0)(0,1) в набор a0, b0, c0
Обратная ей A^-1 - преобразует набор точек a0, b0, c0 в набор (0,0)(1,0)(0,1)
Вторая матрица B- преобразует набор точек (0,0)(1,0)(0,1) в набор a1, b1, c1
так что A^-1 * B - преобразует набор точек a0, b0, c0 в набор a1, b1, c1

← →
TUser © (2009-05-22 14:29) [10]

> @!!ex © (22.05.09 14:02) [6]
>
> > [3] MBo © (22.05.09 14:01)
>
> А можете объяснить как работает или ссылку на материал кинуть,
> чтобы понять?

Полагаем, что СК покоятся друг относительно друга. Тогда пересчет координат задается выражениями вида x"=x*sin/cosA+-y*sin/cosA+d, что сводится к умножении матриц. Твой выход: решить СУ и найти эти синусы/косинусы (что соотвествует повороту) и d (смещение).

Ссылку на материал не дам, но это много где написано - везде, где упомянаются такие переходы.

← →
@!!ex © (2009-05-22 14:29) [11]

Спасибо! К такой идее я и приходил, но знаний и понимания не хватило чтобы понять как делать!

← →
@!!ex © (2009-05-22 14:30) [12]

> [10] TUser © (22.05.09 14:29)

не учитывает масштабирования.

← →
Smile (2009-05-22 14:44) [13]

> @!!ex © (22.05.09 14:30) [12]
> > [10] TUser © (22.05.09 14:29)
> не учитывает масштабирования.

Чем (каким образом) проверяешь несоответствие (в смысле "не учитывает масштабирования")?

← →
TUser © (2009-05-22 14:52) [14]

> @!!ex © (22.05.09 14:30) [12]

Сейчас сессия, а во время сессии значение синуса ... коэффициент поставь.

← →
palva © (2009-05-22 15:03) [15]

> не учитывает масштабирования.

Это как? По условию координаты декартовы, т. е. угол между осями прямой, единица измерения "естественная", физическая, следовательно одна и та же. Возможно, что не учтена смена ориентации, это да. Тогда к повороту надо добавить отражение. Если начало координат разное, тогда нужно еще учесть сдвиг. Но масштабирование то здесь причем? Может быть задачу уточним? Зачем вы указали, что координаты декартовы, в то время как по трем (неколлинеарным) точкам вполне можно восстановить преобразование координат общего вида. Может все же у вас в разных координатных системах разная единица измерения?

← →
palva © (2009-05-22 15:21) [16]

Обращаться к трансцендентным вычислениям синуса вряд ли хорошая идея. Сама задача выглядит как линейная, и по-моему, может быть решена следующим образом, если конечно игнорировать указание о декартовости координат:
Три точки abc задают некоторую аффинную систему координат с началом в точке а и координатными векторами ab и ac. Можно вычислить координаты (x, y) четвертой точки d в этой системе координат. Для этого нужно взять координаты точек abcd в первой системе координат и решить систему линейных уравнений эквивалентную векторному равенству ab*x + ac*y = ad. После этого, зная координаты точек abc во второй системе координат и значения x, y, которые от системы координат не зависят, можно уже вычислить координаты точки d во второй системе координат используя то же самое векторное равенство.

Так что никаких синусов. Только плюс-минус, умножить и два деления.

← →
@!!ex © (2009-05-22 15:40) [17]

> [15] palva © (22.05.09 15:03)

Системы координат декартовы. Сами по себе.
А вот относительно друг друга они афинные.
Там все под 90 градусов, но длины разные.

← →
@!!ex © (2009-05-22 16:30) [18]

Второй вопрос.
Как вычислить точку пересечения трех окружностей?

← →
DVM © (2009-05-22 16:34) [19]

> Как вычислить точку пересечения трех окружностей?

Точку одну?

← →
@!!ex © (2009-05-22 16:42) [20]

Я опечатался. Нужно две точки пересечения двух окружностей.

>Нужно две точки пересечения двух окружностей.
Свои соображения какие?

> [21] MBo © (22.05.09 16:52)

Пока - два уравнения окружности решить..
Но в общем виде у меня разложение на 2 страницы получилось.... не уверен что правильно разложил...

> @!!ex © (22.05.09 16:54) [22]

вот тут по-моему готовое решение причем на паскале, я бегло посмотрел -вроде то: http://hardfire.jino-net.ru/index.php?id=87&cp=6a930c087b3d1e1b2c13edb2f2f44c8d

если сумма радиусов больше расстояния между центрами, то расстояние от центра первой окружности до середины отрезка, соединяющей точки пересечения, будет
l=(d^2 +r0^2-r1^2)/2d
расстояние от этой середины до точек пересечения m - Пифагор.
т.о., откладываем вектор длины l, пару перпендикулярных векторов длиной m

← →
Sapersky (2009-05-22 17:58) [27]

Расстояние между центрами.
Насколько я понял, [25] выводится из "Пифагоров" для двух треугольников с общим катетом (построенных на линии между центрами окружностей и точке пересечения).

Sapersky
да, все так.

кстати, кроме сравнения d с суммой радиусов, надо еще с модулем разности сравнить (когда мелкий круг внутри большого)

> @!!ex © (22.05.09 15:40) [17]
> > [15] palva © (22.05.09 15:03)
>
> Системы координат декартовы. Сами по себе.
> А вот относительно друг друга они афинные.
> Там все под 90 градусов, но длины разные.

А какой к дьяволу смыл тогда в упоминании их декартовости, если это не инвариант в этих преобразованиях? С таким же успехом можно сказать, что обе системы зеленые и каждая по своему.

Преобразовать координаты точки из одной СК в другую Найти похожие ветки