Хоть и не пятница

← →
Внук © (2008-10-04 23:46) [0]

Господа математики, подтвердите или опровергните... Надеюсь, нет нужды напоминать, что такое равномерно непрерывная функция. Для простоты рассмотрим функцию одной переменной. Если на нее наложить более сильное ограничение, а именно потребовать для любых x,y выполнения неравенства |f(x)-f(y)|<= L|x-y|^a (при a<=1), получим, как известно, условие Липшица (оно же условие Гельдера). А вот существуют ли вообще в природе функции, удовлетворяющие условию при a>1? Скажем, для конкретики, неравенству (f(x)-f(y))^2<=|x-y|^3 для любых x,y из R? У меня получается, что нет, но придуманное доказательство что-то не совсем убедительное :) Или контрпример в студию :) Идею доказательства могу привести.

← →
Riply © (2008-10-05 01:49) [1]

> [0] Внук © (04.10.08 23:46)
> Скажем, для конкретики, неравенству (f(x)-f(y))^2<=|x-y|^3 для любых x,y из R?

Что-то я не поняла. Такая функция y = x * 0 не подойдет ?

← →
Дуб © (2008-10-05 06:06) [2]

> Внук © (04.10.08 23:46)

Рассмотрим отображение f(x) на участке [0,1] которое озвученным свойством обладает (на отрезках такие функции есть - например можно взять локальную обратку для Липшецевого). Отразим его зеркально на участок [0,2]. Устроим период по 2.

По первой прикидке, такая функция удовлетворяет требуемому. Можно рассмотреть как затравочную x^6. Если удастся показать, что она таковая на участке [0,2] - то все.

← →
Внук © (2008-10-05 09:02) [3]

Забыл сказать - функция не должна быть тождественно равна константе, этот случай очевиден.

← →
Внук © (2008-10-05 09:05) [4]

Да, все-таки с доказательством я протупил, нельзя такие задачи заполночь решать, там ошибка.

← →
Внук © (2008-10-05 10:09) [5]

>>Дуб © (05.10.08 06:06) [2]
x^6 не удовлетворяет неравенству (x^6-y^6)^2<=abs(x-y)^3 на [0,1]. Или я что-то не так понял?

← →
Внук © (2008-10-05 12:27) [6]

Кажется, я допер. Получается
lim abs [(f(x)-f(y))/(x-y)]=lim sqrt abs(x-y) (пределы при x->y), то есть получается, что в каждой точке касательная горизонтальна, то есть функция может быть только константой.
Что скажете?

← →
Polevi © (2008-10-05 20:19) [7]

многабукоф :)

← →
Внук © (2008-10-05 21:43) [8]

Блин. Лучше бы сказали, прав я или нет :)

← →
Дуб © (2008-10-06 06:02) [9]

> Внук © (05.10.08 10:09) [5]

Да, не удовлетворяет. Значит показать не получится. Там при обращении знак не перевернется - поспешил.

> [6]
Похоже на правду. Производная нулевая.

← →
Дуб © (2008-10-06 06:16) [10]

> Внук ©

А тебе такая задачка:

Среди 101 монеты ровно 50 фальшивых. Веса всех настоящих монет одинаковы, вес каждой фальшивой монеты отличается от веса настоящей на один грамм (в большую или меньшую сторону). Как за одно взвешивание на чашечных весах со стрелкой, которая показывает разность весов на чашках, определить, является ли данная монета фальшивой? На каждую чашку весов можно класть любое количество монет.

← →
Внук © (2008-10-06 09:33) [11]

Задачку принял. Подумаю на досуге вечером.
Я-то спрашивал из практических соображений :) Решил тряхнуть стариной, подбросили мне тут ряд задачек нестандартных по матанализу и диффурам. На понимание. Похоже, не все я понимаю, кое-где застрял. Если интересно, могу выкладывать по одной. Мне в первую очередь хотелось бы выложить те, что решил, чтобы проверить ход своих мыслей.

← →
Дуб © (2008-10-06 09:54) [12]

> Внук © (06.10.08 09:33) [11]

Это 10-й класс ЗФМШ.

А задачки можно и ложить, а то я тоже с разгону с утречка вон учудил всякое. :)

← →
Внук © (2008-10-06 10:12) [13]

Давай начнем с такой... Есть диффур y""=(e^x)*y (насколько я понимаю, в элементарных функциях не решается, решается в Maple, но типа этим не пользуемся). Условия граничные y(0)=y(1)=0. Доказать, что у есть тождественный ноль.
Доказал. Хочется сравнить логику рассуждений.

← →
Внук © (2008-10-06 10:13) [14]

>>Дуб © (06.10.08 09:54) [12]
>>Это 10-й класс ЗФМШ.
Я в ЗФТШ учился. Помню эти приколы.

← →
Внук © (2008-10-06 10:16) [15]

Дополнение к условию. Понятно, что тождественный ноль есть решение этого уранвения. Доказать, что других решений быть не может при таких граничных условиях.

> Дуб © (06.10.08 06:16) [10]

Контрольную монетку отложить. На чаши - по 50 монет и смотрим, на число которое показывает стрелка. Если это число четное то отложенная монета - настоящая. Если нечетное - то фальшивая.

> Внук © (06.10.08 10:12) [13]

Ага. По времни - порешаю. Лехи Радионова нет давно тут. :(

> ekto © (06.10.08 10:17) [16]

?

> Внук © (06.10.08 10:13) [14]

Ф-я. дифференци и т.п. Если нулевая, то ясно. Если ненулевая, то есть точка с нулевой производной (т.Ролля кажется). В этой точке функция не ноль, если ноль - то другую в промежутке. Если все такие ноль, то и сама 0. Потому считаем, что не ноль - отсюда фиксируя знак и далее....

Можно аккуратнее, через экстремум и знак второй.

Хоть и не пятница Найти похожие ветки