Подкиньте, плз, идейку

← →
ProgRAMmer Dimonych © (2007-10-30 22:11) [0]

(a^3)(x^4)+2(a^2)(x^2)-8x+a+4>=0, a>=0

Как преобразовать левую часть к виду (a1*x-b1)(a2*x-b2)...? Т.е., вообще говоря, следует решить это неравенство для всех значений параметра a, но с этим я справлюсь, а насчёт разложения - ничего не получается...

Были идеи...

1. Сгруппировать (a^3)(x^4)+2(a^2)(x^2)+a - заменить на (a*sqrt(a)*(x^2)+sqrt(a))^2 = a*((a(x^2)+1)^2). Остальное перебросить в правую часть. Но тогда получится слева неотрицательное для a>0 выражение, справа - прямая 8x-4 и решать проблемно, т.к. смесь a и x осталась неразделённой.

2. Представить (a^3)(x^4)-8x как x*((ax^3)-8) и разложить по формуле разности кубов. Но оставшиеся за скобками слагаемые не похожи на что-то ценное.

3. Представить левую часть как (a^3)(x^4)+4(a^2)(x^2)-(2(a^2)(x^2)+8x)+(a+4) Тогда приходим к коэффициентам 1 и 4 в каждой паре слагаемых, но степени там разные и уравнять их чего-то не получается.

Может быть, у кого-нибудь есть другие идеи?

← →
некий аноним © (2007-10-31 01:35) [1]

я бы рассматривал 2а случая

1) а=0 - все элементарно

2) а > 0 - сделать замену y = ax

получится, если не ошибаюсь
(y^2 + a)^2 >= 8y - 4a

(при 8y - 4a < 0 решений нет)

т.к. a > 0, то можно заменить для удобства a = b^2

(y^2 + b^2)^2 >= 8y - 4b^2

слева квадрат эллиптического параболоида, справа что-то типа модификации параболического цилиндра, для начала попытаться хотя бы качественно описать их пересечение

← →
некий аноним © (2007-10-31 01:41) [2]

"(при 8y - 4a < 0 решений нет)" - накосячил, сплю уже, наоборот конечно

← →
некий аноним © (2007-10-31 01:56) [3]

и еще, у тебя относительно "a" это кубическое уравнение - формулы Кардано

← →
Дмитрий К © (2007-10-31 03:22) [4]

> сделать замену y = ax

лучше, наверно, y = ax^2

Приведенное уравнение (точнее, неравенство, но это не так важно) - неполное (без кубического члена) уравнение четвертой степени относительно x, для него существует аналитическое решение (например, Феррари или Декарта-Эйлера). Полученные выражения для корней нужно разрешить относительно параметра.

> Как преобразовать левую часть к виду (a1*x-b1)(a2*x-b2).
> ..?

Так может и не выйти в поле действительных чисел. Лучше приводить к виду:
A*(x^2+b1*x+c1)*(x^2+b2*x+c2)

Подкиньте, плз, идейку Найти похожие ветки