Интересная задачка

← →
ShellX (2006-11-26 17:52) [0]

Привет всем, помогите пожалуйста решить задачу.
Вопрос: Что больше 2006 в степени 2007 или 2007 в степени 2006.
В принципе я знаю что2006 в степени 2007 больше но как это доказать.
Пишите буду рад принять от вас помощь.

← →
Alexis © (2006-11-26 17:58) [1]

Посмотри формулу разложения (a+b)^n Это вроде бином Ньютона называется.

(2006)^2007

(2006+1)^2006

← →
TJulia © (2006-11-26 18:17) [2]

Известно, что (1+1/n)^n<3 при натуральном n (доказано, например, здесь http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/shk-1.htm). Тогда ((n+1)^n)/(n^n)<3, ((n+1)^n)/(n^(n+1))<3/n<=1 при n>2, т. е. (n+1)^n<n^(n+1) при n>2.

← →
ShellX (2006-11-26 18:50) [3]

3/n<=1
Я что то не пойму эту строчку, поясни

← →
antonn © (2006-11-26 18:54) [4]

ShellX (26.11.06 18:50) [3]
три деленное на эн меньше или равно еденицы
:)

← →
ShellX (2006-11-26 19:00) [5]

Тогда ерунда получается
Дробь меньше три деленное на эн меньше или равно еденицы

← →
TJulia © (2006-11-26 19:05) [6]

> Тогда ерунда получаетсяДробь меньше три деленное на эн меньше
> или равно еденицы

И где тут ерунда?

← →
Vovan#2 (2006-11-26 21:10) [7]

Называется, найдите ошибку.

Используем метод математической индукции для выражения n^(n-1) > (n+1)^n (базис равен 3).

Предполагаем, что n^(n-1) > (n+1)^n верно при n = k и докажем это при n = k + 1. Я не буду доказывать алгебраически, возьмём всё это дело на примере наших чисел 2007 и 2006, т.е. n = 2006. Возьмём логарифмы по 2006, чем больше логарифм - тем больше число.

Для первого числа получим, естественно, 2007.

Для второго числа получим:
log2006 (2007^2006) = 2006 * log2006 (2007) = 2006 * (log2006 (2006 * 2007/2006)) = 2006 * (log2006 (2006) + log2006 (2007/2006)) = 2006 * (1 + log2006 (2007/2006)) = 2006 + X, где

X = 2006 * log2006 (2007/2006). Eсли X < 1, то 1-ое число больше второго.

Возпользуемся тем, что 2006/2005 > 2007/2006, значит мы можем заменить дробь в скобках на 2006/2005 и получим большее число Y. Но если и оно меньше 1, то и Х явно меньше 1.

Y = 2006 * (1 - log2006 (2005)) < 1
2005 - log2006 (2005^2006) < 0
log2006 (2006^2005) < log2006 (2005^2006)
2006^2005 < 2006^2005

А это верно (см. выражение, из которого мы исходили), значит Y < 1, X < 1 и 2006^2007 > 2007^2006.

← →
default © (2006-11-26 21:21) [8]

по индукции можно доказать
расписывать лень...

← →
default © (2006-11-26 21:22) [9]

можно без всяких логарифмов...

← →
KilkennyCat © (2006-11-26 22:35) [10]

а я нутром чувствую, что разница в одну двутысячную в качестве множителя намного менее существенна, чем еще одно умножение на 2007.

← →
SergP © (2006-11-26 22:46) [11]

> [0] ShellX (26.11.06 17:52)
> Привет всем, помогите пожалуйста решить задачу.
> Вопрос: Что больше 2006 в степени 2007 или 2007 в степени
> 2006.
> В принципе я знаю что2006 в степени 2007 больше но как это
> доказать.
> Пишите буду рад принять от вас помощь.

А если сравнить 2006*log(2007) и 2007*log(2006)?
Это же можноьи калькулятором посчитать...

между прочим, даже 3^4 больше, чем 4^3

Так оно и будет (n+1)^n<n^(n+1) начиная с n=3, давно в [2] все доказано. Уж не знаю, что не устраивает, наверное, по ссылке в лом сходить.

deg(a,b)=a^b
нам надо показать, что если верно deg(a,a+1)>deg(a+1,a), то и верно
deg(a+1,a+2)>deg(a+2,a+1)
для этого домножим левую и правую части первого неравенства на deg(a+1,a+2)deg(a+2,a+1)
получим
deg(a,a+1)deg(a+1,a+2)deg(a+2,a+1)>deg(a+1,a)deg(a+1,a+2)deg(a+2,a+1)
deg(a+1,a+2)deg(a,a+1)deg(a+2,a+1)>deg(a+2,a+1)deg(a+1,a)deg(a+1,a+2)
deg(a+1,a+2)deg(a(a+2),a+1)>deg(a+2,a+1)deg(a+1,2(a+1))
deg(a+1,a+2)deg(a(a+2),a+1)>deg(a+2,a+1)deg(deg(a+1,2),a+1)
но a(a+2)<deg(a+1,2), aa+2a<aa+2a+1, значит выделенные члены можно убрать без нарушения неравенства
тогда имеем заветное deg(a+1,a+2)>deg(a+2,a+1)
вот и всё
индуктивный переход доказан
индуктивный шаг начинается при a=3

2006, 2007 - значит задачу в этом году дали на олимпиаде. Возможно заочной. Я бы решение давать не стал. Зря дали.

Интересная задачка Найти похожие ветки