Полином

← →
ArtemESC © (2006-09-17 14:09) [0]

Как построить такой полином f(x) для некоторых массивов x[n] и y[n],
где 1<= n <= N, такой, что f(x[n]) = y[n] для любого n: 1<= n <= N...

Извените за математический тон, но я думаю так меня поймут...

← →
Desdechado © (2006-09-17 14:59) [1]

Это называется интерполяцией.
Методы есть специальные. Можно, например, сплайнами.

← →
Внук © (2006-09-17 15:03) [2]

Можно построить интерполяционный полином Лагранжа, как самый простой имхо способ.

← →
TUser © (2006-09-17 15:07) [3]

Реально - если требовать точного равенства, то даже для не очень большого n на практике может получиться полная лажа.

← →
ArtemESC © (2006-09-17 15:23) [4]

Внук © (17.09.06 15:03) [2]
Точно, Лагранж...

TUser © (17.09.06 15:07) [3]
Я думаю, что если точки указанных массивов брать стационарными
лажа не будет полной...

← →
Ketmar © (2006-09-17 15:24) [5]

насколько я помню, ни сплайны, ни Лагранж не додут f(x[n]) = y[n]. только приближения. %-)

← →
TUser © (2006-09-17 15:31) [6]

Сплайны-то дойдут. Но только будет лажа, т.к. есть экспериментальные ошибки, и ошибки вычислений, кстати.

Представим себе, что точки должны ложиться на некотороую "очень гладкую" линию. Или, что амплитуда в фурье-разложении равна нулю для всех частот, меньших диапазона, на котором определена функция. Теперь вносим экспериментальную ошибку - какие-то точки чуть выше, какие-то чуть ниже кривой. Теперь потребуем равенства. Результат - волнистая линия. Причем амплитуда низкочастнотных колебаний может сильно превышать размер области значений функции.

← →
isasa © (2006-09-17 15:57) [7]

Какая лажа, если полином P(N-1)(x) проходит точно через точки Y(x).
Его ж коэффициенты получаются решением системы N уравнений с N неизвестными(коэффициенты уравнения). Другое дело, что между точками ...

Сплайн тоже, точно через точки. Таковы условия нахождения коэффициентов. Только у сплайна, дополнительные условия - равенство производных на границах(справа-слева). Вот тут проблем в середине интервала нет.

← →
isasa © (2006-09-17 16:01) [8]

Да, если степень полинома не равна N-1, то это уже не интерполяция, а апроксимация. Здесь метод наименьших квадратов как рулил, так и рулит.

← →
Колдун © (2006-09-17 16:26) [9]

Та это всё лажа :-)

← →
TUser © (2006-09-17 16:28) [10]

> Да, если степень полинома не равна N-1

Даже если степень полинома равно 100*N, то надо аппроксимировать, т.к. из-за экспериментальных ошибок всегда есть "шум". И если по этому шуму интерполировать, то бедет лажа.

Эсть такая штука - "Теория эксперимента" называется. Вот там есть куча методик по отбраковке точек. Правда, я сейчас, даже под пыткой, уже ничего не вспомню, из того, что нам читали в вузе.

По-моему, автор четко указал условия.
Ни о каких шумах и восстановлениях исходного вида функции в условии ни слова.

> Ketmar © (17.09.06 15:24) [5]

И Лагранж и сплайны - дадут.
Но вот полиномом будет Лагранж(Ньютон). А сплайны - не полином, а сшивка других элементарных функций.
Через N точек можно провести единственный полином степени не выше N-1. И он и находится например методами Лагранжа или Ньютона.
А лажа или нет - этого в вопросе нет. :)

> ArtemESC © (17.09.06 15:23) [4]
> Я думаю, что если точки указанных массивов брать стационарными

Это что за зверь?

А есть еще дробная интерполяция. В ЯФ пользуют.

Думкин © (18.09.06 06:39) [13]
>>Это что за зверь?
Точка области задания функции называется стационарной, если первая производная (при условии существования оной) в этой точке равна нулю...

> ArtemESC © (18.09.06 17:09) [14]

? А откуда такое определение? В чем суть?
И как точки в массиве могут быть стационарными?

Полином Найти похожие ветки