Пятничные задачки для brain разминки ;)

← →
MBo © (2006-06-16 13:27) [0]

1. Медианы AA" и BB" треугольника ABC пересекаются под прямым углом.
BC = 3, AC = 4, найти AB.

2. Последовательность положительных вещественных чисел задана так:
a(0) = 1
a(n+2) = 2*a(n) - a(n+1), для n = 0, 1, 2, ... .
Найти a(2005).

3. Что больше для вещественных x, sin(cos x) или cos(sin x)?

4. Вася Пупкин стоит на квадратном поле ABCD, и знает расстояния от себя
до углов B - 13м, С - 20м, D - 17м. Как ему найти размер поля?

5. Если числа 2^n и 5^n начинаются с одной и той же цифры, то какая это может быть цифра?

6. Есть 59049 монет (3^10). Среди монет имеется одна фальшивая.
Известно, что фальшивая монета немного тяжелее настоящей.
Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь,
чтобы определить фальшивую монету, если известно,
что во время одного из взвешиваний весы могут показать неверный результат?

7. Вася Пупкин был на бегах, и задумался, сколькими способами,
включая одновременный финиш, 8 лошадей могут прийти к финишу?
(Для двух лошадей A и B, есть 3 варианта - победа A, победа B, равенство)

8. Минутная стрелка часов вдвое длиннее часовой.
В какое время от полудня до следующей встречи стрелок (примерно в 1.05)
расстояние между их концами увеличивается с наибольшей скоростью?

9. Какая 1000-я цифра справа от запятой в десятичном представлении
числа (1 + Sqrt(2))^3000 ?

10. Сколько существует способов представления числа 50! в виде суммы двух
или более последовательных натуральных чисел?

← →
default © (2006-06-16 13:39) [1]

спасибо, Борис
я уже на пробежку собирался, но отложу её ненадолго:)

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 13:46) [2]

5. 0 :)

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 13:47) [3]

В смысле n=0

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 13:50) [4]

6. 10 взвешиваний. Количество монет делим на три и взвешиваем две из трех кучек.

← →
MBo © (2006-06-16 13:57) [5]

>Александр Иванов © (16.06.06 13:50) [4]
А учел, что весы могут один раз соврать?

>Александр Иванов © (16.06.06 13:46) [2]
>5. 0 :)
Ну это несерьезно ;)

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 14:03) [6]

7. 41432

Сначала число перестановок 8 = 8!
плюс:
число сочетания 2 из 8, число перестановок 6,
число сочетания 3 из 8, число перестановок 5,
число сочетания 4 из 8, число перестановок 4,
число сочетания 5 из 8, число перестановок 3,
число сочетания 6 из 8, число перестановок 2,
число сочетания 7 из 8, 1
1

← →
tesseract © (2006-06-16 14:08) [7]

> Александр Иванов © (16.06.06 13:46) [2]

вот до 20 степени, дальше какой-то error :-)

2^5=32 5^5=3125
2^14=16384 5^14=1808548329
2^20=1048576 5^20=1977800241

> 8.

Между концами стрелок? и по какому принципу расстояние считать?

← →
MBo © (2006-06-16 14:08) [8]

>Александр Иванов © (16.06.06 14:03) [6]
>7. 41432
неверно
можно сначала для небольшого числа попробовать, например, для 4

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 14:11) [9]

по второму - чему равно a(1)?

← →
MBo © (2006-06-16 14:12) [10]

>Между концами стрелок? и по какому принципу расстояние считать?
По прямой

← →
MBo © (2006-06-16 14:13) [11]

>Александр Иванов © (16.06.06 14:11) [9]
>по второму - чему равно a(1)?
Это тоже надо определить ;)

← →
tesseract © (2006-06-16 14:14) [12]

> 7.

ммм.. У нас число значений мест - 8, степеней свободы места - 3.

3^8=6561 вариантов.

← →
tesseract © (2006-06-16 14:23) [13]

Сорри это всего вариантов распределения лошадей включая все третьи все вторые и тд.

← →
Александр Иванов © (2006-06-16 14:26) [14]

7. 69527?

← →
For kaif (2006-06-16 14:34) [15]

10. 24. По 3,5,7,..49 чисел в каждой.

← →
For kaif (2006-06-16 14:37) [16]

Это тоже надо определить ;)
Тогда a(n)=1, n E N :)

← →
SergP. (2006-06-16 14:39) [17]

> [4] Александр Иванов © (16.06.06 13:50)
> 6. 10 взвешиваний. Количество монет делим на три и взвешиваем
> две из трех кучек.

Не проверял или 10 это правильно если бы весы совсем не врали.
Но если правильно, то учитывая то что весы могут один раз соврать навскидку предположу что 10+4, т.е.14

← →
Bless © (2006-06-16 15:04) [18]

1. AB =2

← →
evvcom © (2006-06-16 15:13) [19]

3. sin(x) и cos(x) изменяются от -1 до 1
при x = (0; pi/2; pi; 3pi/2; 2pi)
cos(sin x) = (1; cos(1)=0,54; 1; cos(1); 1; cos(1))
sin(cos x) = (sin(1)=0,84; 0; -sin(1); 0; sin(1))
В итоге cos(sin x) > sin(cos x). Максимум sin(cos x), конечно больше, чем минимум cos(sin x), но по фазе макс. синуса приходится на макс. косинуса, тогда как мин. косинуса приходится на 0 синуса.

← →
default © (2006-06-16 15:21) [20]

7. 545835?
F(N)=C(N,1)F(N-1)+C(N,2)F(N-2)+...+C(N,N)F(0), F(0)=1
C(n,k)-сочетания из n по k

← →
tesseract © (2006-06-16 15:33) [21]

> 7. 545835?

Столько не может количество вариантов меньше.

На самом деле сущевтует два варианта - лошадь пришла первой, или лошадь не пришла первой (если вместе пришла с кем то, вероятность не меняеться) Итого 2^8= 256 - 1 (какая-то лошадь должна придти). Итого 255 вероятностей.

ЗЫ : DMclient test

← →
DesWind © (2006-06-16 15:43) [22]

Для второй ответ a(2005)=1 ?

← →
default © (2006-06-16 15:44) [23]

tesseract © (16.06.06 15:33) [21]
я рассматривал и варианты: 1,3 лошади пришли первыми, 4,5,7 вторыми и тд
все варианты

← →
tesseract © (2006-06-16 15:49) [24]

> я рассматривал и варианты: 1,3 лошади пришли первыми, 4,
> 5,7 вторыми и тдвсе варианты

перебор. Всего распределения лошадей 2^8 - она пришла или не пришла. Это энтропия или число состояний системы. А тут больше вероянтонстей чем позиций лошадей.

← →
default © (2006-06-16 15:52) [25]

tesseract © (16.06.06 15:49) [24]
я понял задачу так как решил:)
дождёмся судьи он рассудит по справедливости:)

← →
DesWind © (2006-06-16 15:54) [26]

Ответ на пятую 2

← →
DesWind © (2006-06-16 16:04) [27]

> [26] DesWind © (16.06.06 15:54)
> Ответ на пятую 2

плохо, полохо считаю.... 3 )))

← →
DesWind © (2006-06-16 16:06) [28]

Я геометрию забыл... что следует из равенства двух сторон треугольника?

> [28] DesWind © (16.06.06 16:06)

Ошибся. Что если равны две стороны у двух треугольников... Но чувствую, что это уже не важно...

> Что если равны две стороны у двух треугольников...

Ничего. Вот если бы еще угол между ними... :)

на 1 вроде корень из 5.
Хотя уже запутался.

> 9. Какая 1000-я цифра справа от запятой в десятичном представлениичисла
> (1 + Sqrt(2))^3000 ?

должна быть 0.

>default © (16.06.06 15:21) [20]
>7. 545835?
Да, верно

>tesseract © (16.06.06 16:55) [32]
>на 1 вроде корень из 5.
Правильно

решающим 2) и 5)
хорошо бы хотя бы минимальное доказательство

> MBo © (16.06.06 18:10) [34]
> >default © (16.06.06 15:21) [20] >7. 545835?Да, верно

Для 8-ми лошадей как-то не стыкуется с теорией чисел. больше 255 имхо не получиться.

>tesseract © (16.06.06 18:15) [36]
>Для 8-ми лошадей как-то не стыкуется с теорией чисел. больше 255 имхо не получиться.

Для 1,2,3,4,5,6,7 вариантов будет:
1, 3, 13, 75, 541, 4683, 47293

> 5. Если числа 2^n и 5^n начинаются с одной и той же цифры,
> то какая это может быть цифра?

Тройка.

> 2. Последовательность положительных вещественных чисел задана
> так:
> a(0) = 1
> a(n+2) = 2*a(n) - a(n+1), для n = 0, 1, 2, ... .
> Найти a(2005).

Общее решение: a(n)=(1-a(1))/3*(-2)^n+(2+a(1))/3
(-2)^n гасим условием a(1)=1.
Получается, a(n)=1
a(2005)=n

Пятничные задачки для brain разминки ;) Найти похожие ветки