По геометрии

← →
Merlin (2003-02-28 04:58) [0]

Треугольники.
Для прямоугольного треугольника имеем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2
Если прямой угол развернуть до 180 градусов, то получим треугольник у которого все стороны лежат на одной прямой и: a+b=c
Т.е. формула осталась прежняя, только степень = 1.
Логично предположить, что меняя угол в пределах 180-90 градусов, должно сохраняться a^n + b^n = c^n , где 1<=n<=2
Есть ли такая зависимость? В любом случае докажите ;)

← →
Думкин (2003-02-28 05:15) [1]

Оба предположения лежат в пределах теоремы косинусов(что естественно).
В первом случае: c^2=a^2+b^2 - 2abcos(90)=a^2+b^2
Во втором: c^2=a^2+b^2-2abcos(180)=(a+b)^2
То есть в этой связи о логичности сделанного вывода говорить рано.
Далее возмем равносторонний треугольник, должно быть
a^n+a^n=a^n
2*a^n=a^n
2=1 или a^n=0. DIXI.

← →
Skyle (2003-02-28 05:19) [2]

Если N - натуральное, то это называется большая теорема Ферма..:)
Она вроде как даже лет 5 назад доказана для общего случая (до этого были доказательства только для частных случаев, дошли примерно до N = 600). Доказательство вроде как через гипотезу Танаямы о каких-то элипсоидах. А по поводу float степени я навскидку даже не уверен, что такая зависимость есть.:) В том смысле, что я не уверен, что c может быть выражено конечной дробью. Простой пример: N = 1/2 (корень). Если A и B не являются полным квадратом, то число получается иррациональное. Поэтому эта формула может быть применена с некоторой степенью точности.

← →
Думкин (2003-02-28 05:21) [3]

> Skyle © (28.02.03 05:19)

Не выспался, чтоль?

← →
Merlin (2003-02-28 05:49) [4]

> Думкин © (28.02.03 05:15)
> ... Далее возмем равносторонний треугольник

В условии угол 90-180 градусов. У равностороннего углы = 60 градусов, т.е. мы его не рассматриваем :)

> Skyle © (28.02.03 05:19)
> ... Простой пример: N = 1/2 (корень).

В условии N от 1 до 2.

Хотелось бы доказательства. Если формула неверна, то почему. Если верна, то какова зависимость N от угла?

← →
Думкин (2003-02-28 05:53) [5]

> Merlin © (28.02.03 05:49)

Да этого не заметил %-), но док-во будет заключаться в том что также надыбаю примерчик и все. :-)

← →
Думкин (2003-02-28 06:26) [6]

Если взять треугольник со сторонами 1,1,a(>ыйке(2)).
То в случае верности гипотезы получаем такую зависимость:
1-cos(fi)= 2^(2/n-1)

Теперь надо показать, что это нарушается: например при угле 135 с другими сторонами.

← →
Думкин (2003-02-28 06:26) [7]

ыйке - sqrt :-)

← →
Думкин (2003-02-28 06:39) [8]

Например это нарушается для треугольника со сторонами 3,5,7.

← →
int64 (2003-02-28 07:03) [9]

Думкин © (28.02.03 06:39)
Конечно нарушается, когда доп. условий нет.

Задача сводится к следующему:
Существует ли такое 1<=n<=2, что a^n + b^n = c^n ?
Существует. Это и наглаз видно отсюда:
a^1 + b^1 > c^1
a^2 + b^2 < c^2
А вот можно ли вывести зависимость/функцию n=F(fi)?
Условий маловато. Вот если a и b константы.

Наверное, можно. Только вот задача с левыми условиями уже не красивая, а значит не интересная.

← →
Думкин (2003-02-28 07:08) [10]

> int64 © (28.02.03 07:03)

Я понял так
f(90)=2
f(180)=1
Предполагалось, что подобное верно и для промежуточных углов.
Конечно, я не доказал, что больше таких красивых углов нет, но показал, что углы с нарушением есть - например, тупой угол в приведенном мной треугольнике.
Сейчас, нет времени, но я думаю, что это можно показать для всего открытого интервала(90,180).

← →
Merlin (2003-02-28 07:56) [11]

> Думкин ©
Не понял я твоего доказательства.
Для треугольника 3,5,7 степерь = 1.25666 при этом погрешность составляет 2.32887713238483e-005 , можно степерь и более точно вычислить.

← →
Думкин (2003-02-28 08:07) [12]

> Merlin © (28.02.03 07:56)

Я показал, что если такая зависимость и существует, то она может быть такой
> 1-cos(fi)= 2^(2/n-1)
Ведь от сторон наша функция не доложна зависеть, а должна зависеть только от угла. Так вот в случае треугольника 1,1,a - исходя из теоремы косинусов и гипотезы и следует указанная мной зависимость.
Если гипотеза верна, то это должно быть верно для всех треугольников с однинаковым углом раствора. Так(Ведь n=1,2 верно для всех треугольников с заданным углом)?
Для треугольника 3,5,7 - cos(fi)=-0,5
Отсюда n=1,58496250072116....
Что несколько расходится с Вашим предположением, либо вы поставили задачу не верно, либо я вас не понял.

← →
Merlin (2003-02-28 08:41) [13]

Можно подробнее выкладки?
Я получил: 2*cos(fi) = 2 - 4^(1/n)
Для треугольника 3,5,7, cos(fi)=-0.5, имеем 3=4^(1/n) , отсюда n~1.25 что соответствует цифре найденной мною экспериментально.

← →
Думкин (2003-02-28 09:00) [14]

> Merlin © (28.02.03 08:41)

> Отсюда n=1,58496250072116....

Это - да приврал - одна штука выпала. Поспешишиь .... :-)
Но в любосм случае, получилось что n = 1/Log4(3)=1,26185950714291....
Но 3^n+5^n=11,621...
7^n=11.652....
Что согласитесь несколько иное. Хотя если опять бес попутал и просчитался - готов получить нарекания.

← →
Merlin (2003-02-28 10:17) [15]

Полагаю ошибка в исходных предположениях. Формула выводилась для b=c=1. А потом ее приложили к треугольнику 3,5,7
Если вязть треугольник 1,1,1.5 , из полученной формулы n=1.70951129135145...
и (1.5)^n = 2 совершенно строго.

Отсюда можно сделать вывод, что n зависит не только от угла, но и от сторон...

← →
Думкин (2003-02-28 10:28) [16]

> Merlin © (28.02.03 10:17)

Так об этом и речь. Но тогда это другая задача - совсем не та о которой была речь вначале.

> Полагаю ошибка в исходных предположениях. Формула выводилась
> для b=c=1.

Это не ошибка - так и задумано. Просто я опровергаю гипотезу, для этого я строю соответствующий пример. Просто теорема Пифагора и второе(ваше) утверждения верны всегда - зависимость только от угла, - а тут нет. Тоесть это функция нескольких переменных. Но тогда решение существует всегда.
Начертите графики степенных функций и вспомните что против тупого угла лежит самая длинная сторона - все и станет ясно.

> А потом ее приложили к треугольнику 3,5,7

Не я приложил - гипотеза. Если бы ваша гипотеза была верна, то есть зависимость была бы от угла, то все было бы пучком, а оно не срослось. Значит гипотеза не верна.

Или меня терзают смутные сомнения, а вы задачу то сами как видите?

← →
pasha676 (2003-02-28 10:37) [17]

Что то не понял очем Вы все спорите. По условиям задача маразматическая.

Постоновка вопроса Мерлином
Теорема Пифагора - a^2+b^2=c^2
Если развернуть угол в 180 градусов то получим a+b=c
Ну раз так, то значение степени должны плавать.

Постановка задачи не правильная!!! По теореме Пифагора - для ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Для НЕПРЯМОУГОЛЬНОГО действует другая формула, а именно теорема косинусов, как правильно сказал Думкин.
Ввиду того, что постановка задачи в корне не верна, то и обсуждать ее нечего.

← →
Думкин (2003-02-28 10:38) [18]

> pasha676 (28.02.03 10:37)

Извини, но ты немного не въехал.

← →
pasha676 (2003-02-28 10:53) [19]

2Думкин

Да нет почему. Посмотри на постановку.
Предполагается наличие одинаковой степени у всех составляющих.

Теорема косинусов
с^2=a^2+b^2-2abcos(ab).

Мне кажется как не крути, а привести ее к виду
с^n=a^n+b^n - удасться только в частных случаях.

← →
Думкин (2003-02-28 11:13) [20]

> pasha676 (28.02.03 10:53)

Бабке тоже много чего кажется.
Вот я даром Ферма не обладаю, чтоб записать такое на полях и потом люди будут корячится ... много в общем лет, и ты окажешься прав. Поэтому по старинке - доказывать надо.

← →
BALU1111 (2003-02-28 11:22) [21]

Доказывая теорему Пифагора тянете на Нобелевскую. :)

← →
Merlin (2003-02-28 11:29) [22]

> pasha676

А привести теорему косинусов к виду
sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
Посильная задача?
Кто сказал, что решать надо только математическими методами? Чего ты зациклился на теореме косинусов? Будто для треугольников других теорем нет...

← →
myor (2003-02-28 11:30) [23]

2 pasha676 (28.02.03 10:37)
если не ошибаюсь, т пифагора- частный случай т косинусов для прямоугольного треугольника:
a^2+b^2-2*a*b*cos(fi)=c^2, где fi=90,
так что- формула одно.

merlin предланает "разворачивать" прямой угол треугольника. при этом, ессно, увеличивается сторона, противоположная углу. подразумеваем, что остальные стороны- неизменны.
имеем уравнение:
a^f(fi)+b^f(fi)=c^f(fi) fi Є (0..180)
преобразуем для наглядности:
f(fi)=x.
тогда:
a^x+b^x=c^x
кто-нибудь сможет найти x без значений a, b и c?
решение такого уравнения возможно только для частного случая.
для общего случая x=f(fi, a, b, c).

по-моему, данный пример- красивая случайность геометрии, и только. буду рад ошибиться.

← →
Думкин (2003-02-28 11:32) [24]

> Merlin © (28.02.03 11:29)
В данном случае, - только математически. Теоремы есть, но ведь не об этом речь. Просто они вас не поняли.

> BALU1111 © (28.02.03 11:22)
А это в каком классе проходят?

← →
Думкин (2003-02-28 11:34) [25]

> myor © (28.02.03 11:30)

Я считаю, что зависимость такая
n=f(fi,a/b).

← →
Skyle (2003-02-28 11:43) [26]

> > Skyle © (28.02.03 05:19)
>
> Не выспался, чтоль?

Шаришь... Плюс к тому с похмела... Прошу пардона за мусор в ветке.:)

← →
pasha676 (2003-02-28 11:58) [27]

2Merlin

> А привести теорему косинусов к виду
> sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c
> Посильная задача?

Как не странно, но эта задача (и подобные) гораздо реальней. Одно дело приводить формулы содержащие переменные и тригонометрию к формуле с переменной и тригонометрией, другое дело приводить к уровнению n-ого порядка.
Это разные задачи!!!

← →
Merlin (2003-02-28 12:06) [28]

Для частного случая, когда две стороны = 1, а третью меняем от 2 до 1.42 получаем такие графики:
зависимость степени n от стороны: http://delphi.mastak.ru/tmp/Na.png
зависимость степени n от угла: http://delphi.mastak.ru/tmp/Nugol.png

← →
myor (2003-02-28 12:11) [29]

Думкин © (28.02.03 11:34)

запись x=f(fi,a,b,c) всего лишь обозначает, что x- это функция параметров fi, a, b и c, а какие между ними соотношения, я не знаю.
возможно, что x~a/b, или b/a.
возможно, что x_для_a=f(fi, a), а x_для_b=f(fi, b).
я всего лишь привел возможные, на мой взгляд, параметры ф-ии.

← →
BALU1111 (2003-02-28 12:11) [30]

> Думкин
А разве в школе ее доказывали? Я что-то такого не помню.
Да и доказательства для детского ума непонятные.
http://www.1september.ru/ru/mat/2001/24/no24_01.htm

← →
Думкин (2003-02-28 12:28) [31]

> myor © (28.02.03 12:11)

Это все ясно. Просто я немного сузил возможности, вот и все.
Ведь согласитесь, что для треугольника достаточно трех параметров. Значит из fi,a,b,c - один можно убрать. Например c.
Далее я сно, что для подобных треугольников вид функции будет один и тот же, следовательно не важны абс значения a,b - достаточно их отношения. Отсюда и видно, что
x=f(fi,a/b). Только это и ничего личного.

> BALU1111 © (28.02.03 12:11)
%-)

← →
myor (2003-02-28 12:43) [32]

а давайте уменьшать угол (fi<90).
пусть fi=0, тогда
c=b-a.
ну и как это связать с
a^x+b^x=c^x?
f(a,x)+f(b,x)=f(c,x)?
стоит ли пытаться?

← →
Думкин (2003-02-28 12:47) [33]

> myor © (28.02.03 12:43)
> а давайте уменьшать угол

Но в первом посте заявлено, что меньше 90 не ходить.

← →
Merlin (2003-02-28 12:48) [34]

Вообще графики выглядят идеинтично для разных значений a,b,c
График достаточно красивый чтобы описываться простой математической функцией. Полагаю, решение этой задачи есть и оно простое (вполне по силам программерам с высшим образованием :)))

> myor ©

Речь идет о тупоугольном треугольнике.

← →
myor (2003-02-28 12:53) [35]

возьмем равнобедренный треугольник и уменьшим угол при вершине до нуля, получим:
a^x+a^x=0, где a>0!
повторюсь, это случайность, красивая, забавная, но- случайность.
оставьте это школьникам:
a^x+b^x=c^x, где a, b и c задаются в условии.

← →
Думкин (2003-02-28 12:56) [36]

> Merlin © (28.02.03 12:48)

Все-таки, какой задачи? Тут много чего наколбасили уже, но по-моему задачу вы так и не сформулировали достаточно четко.

← →
Думкин (2003-02-28 12:57) [37]

> myor © (28.02.03 12:53)

А вы бы тоже сформулировали чего хотите, а то как-то странно наблюдать.

← →
myor (2003-02-28 13:06) [38]

Думкин © (28.02.03 12:47)
Merlin © (28.02.03 12:48)

спасибо за замечания, но я лишь хотел обратить внимание на то, что ограниченный диапазон параметра (fi) свидетельствует о возможности только частных решений (для заданных a, b и c).

не уверен, что графики будут идентичны. попробуйте взять значения a и b с разницей на порядок.

← →
myor (2003-02-28 13:10) [39]

Думкин © (28.02.03 12:57)
что-то я медленно по клаве стучу.
myor © (28.02.03 13:06)
я ничего не хочу, просто пытаюсь обосновать некоторую бессмысленность поставленной задачи.

← →
Думкин (2003-02-28 13:16) [40]

> myor © (28.02.03 13:06)
> о возможности только частных решений

Что значит частных? В виде элементарной формулы, или очем речь?

← →
Merlin (2003-02-28 13:16) [41]

> Думкин

Формулирую. Доказать, что равенство
c^n + b^n = a^n
справедливо (или ошибочно) для любого прямо/тупоугольно треугольника (где угол меняется от 90 до 180 градусов) (где a - сторона противолежащая прямому/тупому углу). Если данное равенство верно, то вывести зависимость n от сторон или углов треугольника.

Доказать, что оно ошибочно просто - привести такие стороны треугольника, при которых n - несуществует. Но пока все проведенные мною расчеты говорят об обратном.

← →
Думкин (2003-02-28 13:17) [42]

> myor © (28.02.03 13:10)

Здача как выясняется еще не поставлено. А бесмысленность - так интересно просто. Разве этого мало?

← →
Думкин (2003-02-28 13:24) [43]

> Merlin © (28.02.03 13:16)

Если не требовать зависимости n только от угла, то смотри

> Но тогда решение существует всегда.
> Начертите графики степенных функций и вспомните что против
> тупого угла лежит самая длинная сторона - все и станет ясно.

Вот и все.
Далее вам нужна зависимость n=f(fi,a/b).
В явном виде она вряд ли выражается через элементарные функции. В произвольном - решаем систему
1. a^n+b^n=c^n
2. c^2=a^2+b^2-2abcos(fi).

Получаем нечто аналогичное приведенной выше формуле.

Так вся байда с этим была?

← →
nikkie (2003-02-28 13:34) [44]

>Думкин
>Так вся байда с этим была?
просто видимо не один Skyle сегодня не выспался и "болеет" :)

← →
myor (2003-02-28 13:44) [45]

Думкин © (28.02.03 13:16)
частное- это решение для заданных значений a, b и c.
merlin нашел честное решение и построил графики (a=1,42..2; b=c=1). но решение этой задачи сводится к школьной программе:
(1,42..2)^n=1^n+1^n.
а нам предлагается решить уравнение вида:
a^n=b^n+c^n, где n=f(a, b, c).
согласитесь, это "несколько сложнее".
таким образом получим:
a^f(a, b, c)=b^f(a, b, c)+c^f(a, b, c).
при заданных трех сторонах треугольника значение угла- лишнее.
n=f(fi), fi=g(a, b, c) => n=h(a, b, c).
попробовать, конечно, можно. если интересно.

← →
Думкин (2003-02-28 13:54) [46]

> myor © (28.02.03 13:44)

В данной задаче лишней лучше считать все-таки сторону - т.к. на угол накладывается ограничение, что он тупой.

> но решение этой задачи сводится к школьной программе:
> (1,42..2)^n=1^n+1^n.
Эта задача решена - ответ в первых постах.

Я просто думал, что гипотеза заключена в возможной универсальности показателя - зависимости только от угла.

А та задача о который вы говорите - смотри
> Думкин © (28.02.03 13:24)

И если гипотеза в более простом утверждении -- то ответ дан - да такой показатель всегда найдется.

← →
SergeN (2003-02-28 13:56) [47]

Ну Вас и понесло...

← →
myor (2003-02-28 14:11) [48]

Думкин © (28.02.03 13:54)
>В данной задаче лишней лучше считать все-таки сторону - т.к. на угол накладывается ограничение, что он тупой.

уравнение имеет вид
a^n=b^n+c^n
т е, a, b и c- задаются. лишний- угол (его можно найти по сторонам).

> Эта задача решена - ответ в первых постах.
а я и не решал, а ссылался на нее, как на пример частного решения.

> Думкин © (28.02.03 13:24)
я, наверное, сидел на ветке и не видел обновления- вот и повторился.
без обид.

надо завязывать- все уже сказано и написано.

← →
Думкин (2003-02-28 14:17) [49]

> myor © (28.02.03 14:11)
> надо завязывать- все уже сказано и написано.

Угу - в конце концов - последний день зимы, пятница - надо к Delirium^.Tremensу валить в ветку.

← →
Merlin (2003-02-28 14:34) [50]

Построил кучу графиков. Зависимость явно не только от угла. Чем длиннее стороны тем глубже он "прогибается".
Тогда задача снимается. Ожидалось, что будет зависимость только от угла. Жаль.

← →
Думкин (2003-02-28 14:43) [51]

← →
McSimm (2003-02-28 14:53) [52]

> Чем длиннее стороны тем глубже он "прогибается".
Или я недопонял что ты имеешь в виду, или тут какая-то ошибка.

При постоянном соотношении a/b вид функции не должен менятся.
(иначе получается, что если измерять стороны в сантиметрах, то n будет одно, а если в дециметрах, то другое?)

При пропорциональном изменении сторон (т.е. a/b,fi - const) имеем:
(M*a)^n = (M*b)^n + (M*c)^n
Откуда легко выбрасывается M.

← →
myor (2003-02-28 15:07) [53]

McSimm © (28.02.03 14:53)
a/b<>const
зачем же рассматривать пропорциональные треугольники (M- целое)?
а сколько ртеугольников при этом не учитывается?
да, для треугольников 3, 4, 5 и 6, 8, 10 графики будут одинаковые.
но это же иррациональное уравнение. я предложил рассмотреть труегольник 3, 4, 50, ессно, его график будет отличаться (myor © (28.02.03 13:06)).

← →
Merlin (2003-02-28 15:15) [54]

> 3, 4, 50

Это при сколькомерности из таких отрезков можно треугольник построить? :)

← →
MBo (2003-02-28 15:21) [55]

для равностороннего треугольника

X=2*ln(2)/(ln2+ln(1-Cos(Gamma)))

← →
McSimm (2003-02-28 15:24) [56]

> для треугольников 3, 4, 5 и 6, 8, 10 графики будут одинаковые.
Для этих треугольников вообще не будет графиков, т.к. нет переменной.

А вот для треугольников A/B = const, графики n=F(fi) должны быть одинаковыми.
Другими словами возможно существование функции
n = F(A/B, fi)

← →
MBo (2003-02-28 15:29) [57]

Упрощение

2/(1+Log2(1-Cos(Gamma)))

← →
Merlin (2003-02-28 15:42) [58]

> MBo © (28.02.03 15:21)
> для равностороннего треугольника

Не напрягайся, для равностороннего треугольника формула не работает :) Т.к. a^x + b^x никак не может быть равно c^x когда a=b=c ;)

← →
MBo (2003-02-28 15:47) [59]

пардон, описАлся - для равнобедренного, конечно.
Gamma - угол между бедрами ;)

← →
myor (2003-02-28 15:49) [60]

Merlin © (28.02.03 15:15)
ну, бывает-бывает. человеку свойственно (что?).
идея была в разнице на порядок, и вы ее поняли.

McSimm © (28.02.03 15:24)
я уверен, треугольнички вы узнали.
а далее по задаче: разворачиваем прямой угол до 180.
графики n будут одинаковые (для всех треугольников с одинаковым отношением a/b).

← →
MBo (2003-02-28 16:17) [61]

>Merlin
Ты проверь, проверь для равнобедренного

← →
McSimm (2003-02-28 17:04) [62]

MBo © (28.02.03 16:17)
проверь для равнобедренного

Я проверил - верно для всего диапазона Gamma. (0 - 2pi)
Точки разрыва 60 и 300 градусов.

← →
MBo (2003-02-28 17:30) [63]

для произвольного соотношения двух сторон сторон a и b уравнение тоже есть, но X в явном виде из него не получить, IMHO

ln(1+k^X)/X=ln(1+k^2-2k*Cos(Gamma))

где k=b/a, Gamma-угол между a и b

← →
Думкин (2003-03-01 06:08) [64]

> MBo © (28.02.03 17:30)

Ну вот хоть чуть навелся порядок в хаосе. Только ветка по одному и тому же кругу, каться, раза 3 прошла.
А все почему? Не было четкой постановки вначале и потом она пиналась долго. Хотя...
С 1 марта всех.

По геометрии Найти похожие ветки